Chuyên đề 4: Đường tròn27884

ΧΗΥΨΕℜΝ ∇Εℵ 4

∇√¬ΝΓ ΤΡΟ¬Ν

1 ∇ε∑ τm πηνγ τρνη χυα mοτ 〉νγ τρον τα χα◊ν λυ ψ:

Πηνγ τρνη χυα 〉νγ τρον (Χ) ταm Ι(α, β) βαν κνη Ρ λα :

( )2 + ( = Ρ2

ξ−α )2

ψ−β

Πηνγ τρνη χυα (Χ)  δανγ κηαι τριε∑ν :

ξ2 + ψ2 – 2αξ – 2βψ + χ = 0 ( ηαψ ξ2 + ψ2 + 2αξ + 2βψ + χ = 0)

ϖι χ = α2 + β2 – Ρ2 ⇔ Ρ2 = 2 2

α + β −χ

Dο 〉ο τα πηαι χο 〉ιε◊υ κιεν α2 + β2 – χ 0 ≥

Πηνγ τρνη τηαm σο〈 χυα 〉νγ τρον ταm Ι(α, β) βαν κνη Ρ λα:

(τ

= +

⎧

⎨ = +

2 ∇ε∑ ϖιε〈τ πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν ϖι mοτ 〉νγ τρον τα χα◊ν πηαν βιετ :

α) Τρνγ ηπ βιε〈τ τιε〈π 〉ιε∑m : τα δυνγ χονγ τηχ πηαν 〉οι τοα 〉ο :

Τιε〈π τυψε〈ν (Δ) ται τιε〈π 〉ιε∑m Μ0(ξ0, ψ0) ϖι :

− 〉νγ τρον (Χ) : ( )2 + = Ρ2 λα

ξ−α ( 2

ψ−β)

)

(ξ0 – α) (ξ – α) + (ψ0 – β) (ψ – β) = Ρ2

− 〉νγ τρον (Χ) : ξ2 + ψ2 – 2αξ – 2βψ + χ = 0 λα

ξ0ξ + ψ0ψ – α(ξ0 + ξ) – β(ψ0 + ψ) + χ = 0

β) Τρνγ ηπ κηονγ βιε〈τ τιε〈π 〉ιε∑m, τα απ δυνγ τνη χηα〈τ :

∇νγ τηανγ (Δ) τιε〈π ξυχ ϖι 〉νγ τρον ταm Ι βαν κνη Ρ

⇔ δ( Ι , )Δ = Ρ

χ) 〉νγ τρον (Χ) : ( ) + = Ρ2 χο 2 τιε〈π τυψε〈ν χυνγ πηνγ ϖι Οψ λα ξ =

α Ρ Νγοαι 2 τιε〈π τυψε〈ν ξ = α

2

ξ−α ( 2

ψ−β

δανγ ψ = κξ + m ηοαχ δανγ ψ = κ ( ξ –ξ0 ) + ψ0 νε〈υ τιε〈π τυψε〈ν 〉ι θυα ( ξ0 , ψ0 ) λα

〉ιε∑m ναm νγοαι 〉νγ τρον

ς δυ

Τρονγ mατ πηανγ Οξψ χηο Α(–2, 0), Β(0, 4)

α) ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τρον (Χ) θυα 3 〉ιε∑m Ο, Α, Β

β) ςιε〈τ πηνγ τρνη χαχ τιε〈π τυψε〈ν ϖι 〉νγ τρον (Χ) ται Α, Β

χ) ςιε〈τ πηνγ τρνη χαχ τιε〈π τυψε〈ν ϖι (Χ) πηατ ξυα〈τ τ 〉ιε∑m Μ(4, 7)

Γιαι

α) Πηνγ τρνη 〉νγ τρον (Χ) χο δανγ :

ξ2 + ψ2 – 2αξ – 2βψ + χ = 0

∇νγ τρον (Χ) θυα 3 〉ιε∑m Ο, Α, Β νεν :

0

χ

=

⎧

⎪ + + =

⎨

⎪ − + =

⎩

⇔

0 1 2

χ α β

=

⎧

⎪ = −

⎨

⎪ =

⎩ ςαψ (Χ) : ξ2 + ψ2 + 2ξ – 4ψ = 0

Χαχη κηαχ: Ταm γιαχ ΑΒΧ ϖυονγ ται Ο νεν χο ταm λα τρυνγ 〉ιε∑m χυα ΑΒ ϖα 〉νγ κνη λα

ΑΒ νεν πτ δνγ τρον (Χ) λα:

Χαχη κηαχ: Ταm γιαχ ΑΒΧ ϖυονγ ται Ο νεν ϖι M x y( , )∈( )C τα χο

0

=

ΑΜ.ΒΜ

iiiif iiiif

ςαψ πτ 〉νγ τρον ( Χ ) λα ( ξ− ξ )( ξΑ − ξ )Β +( ψ− ψ )( ψΑ − ψ )Β =0 β) Πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν ϖι (Χ) ται :

Τιε〈π 〉ιε∑m Α(–2, 0) λα : –2ξ + 0.ψ + (–2 + ξ) – 2(0 + ψ) = 0

⇔ ξ + 2ψ + 2 = 0 Τιε〈π 〉ιε∑m Β(0, 4) λα : 0.ξ + 4.ψ + (0 + ξ) – 2(4 + ψ) = 0

⇔ ξ + 2ψ – 8 = 0 χ) ∇νγ τρον (Χ) : ξ2 + ψ2 + 2ξ – 4ψ = 0 χο ταm Ι(–1, 2) ϖα βαν κνη Ρ = 2

1+2 −0 =

5.Ηαι τιε〈π τυψε〈ν χυνγ πηνγ ϖι Οψ λα ξ= ±α Ρ = − ±1 5 Ηαι τιε〈π τυψε〈ν ναψ κηονγ θυα Μ(4, 7)

ςαψ πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν θυα Μ(4, 7) χο δανγ:

( )Δ : ψ – 7 = κ(ξ – 4)

⇔ κξ – ψ + 7 – 4κ = 0

( )Δ τιε〈π ξυχ ϖι 〉νγ τρον (Χ) ⇔ δ( Ι , )Δ = Ρ

⇔

2

1

κ

− − + −

1

κ +

⇔ 4κ2 – 10κ + 4 = 0 ⇔ κ = 2 ηαψ κ = 1

2

ςαψ χο 2 τιε〈π τυψε〈ν ϖι 〉νγ τρον (Χ) πηατ ξυα〈τ τ 〉ιε∑m Μ(4, 7) ϖι πηνγ τρνη λα :

κ = 2 ⇒ 2ξ – ψ – 1 = 0

κ = 1

2 ⇒ 1

2ξ – ψ + 5 = 0

ς δυ (∇Η ΚΗΟℑΙ Β−2003)

Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο ∇εχαχ ϖυονγ γοχ Οξψ χηο ταm γιαχ ΑΒΧ χο ΑΒ=ΑΧ, ‹ 0

90

BAC= Βιε〈τ Μ(1,–1) λα τρυνγ 〉ιε∑m χανη ΒΧ ϖα Γ(2

3; 0) λα τρονγ ταm ταm γιαχ ΑΒΧ Τm τοα 〉ο χαχ

〉νη Α , Β, Χ

Γ λα τρονγ ταm ΔΑΒΧ ⇔ iiif = iiiif

ΑΓ 2ΓΜ

⎨

⎪− = − − = −

⎩

Α

Α

⇔ ⎧⎨

=

⎩

Α Α

2 ⇔ Α (0, 2) ψ

ΠΤ: ΒΧ θυα Μ (1, −1) ⊥ ΑΜiiiif = (1, −3): ξ – 3ψ – 4 = 0

ΠΤ 〉.τρον (Χ) ταm Μ, βαν κνη Ρ = ΑΜ= 1 9 + = 10

(ξ – 1)2 + (ψ + 1)2 = 10

Τοα 〉ο Β, Χ τηοα : ⎧⎨ − − =

ξ 3ψ 4 0

ξ 3ψ 4

(3ψ 3) (ψ 1) 10 (ψ 1) 1

=

⎧

⎩

ξ 4

ψ 0 ∨ ⎧⎨ = −

= −

⎩

ςαψ Β (4, 0); Χ(−2, −2) ηαψ Β(−2, −2); Χ (4, 0)

ς δυ (∇Η ΚΗΟℑΙ D−2003) Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο ∇εχαχ ϖυονγ γοχ Οξψ χηο 〉νγ

τρον (Χ): (ξ – 1)2 + (ψ – 2)2 = 4 ϖα 〉νγ τηανγ δ: ξ – ψ – 1 = 0 ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τρον (Χ’) 〉ο〈ι ξνγ ϖι 〉νγ τρον (Χ) θυα 〉νγ τηανγ δ Τm τοα 〉ο χαχ γιαο 〉ιε∑m (Χ) ϖα (Χ’)

Γιαι

(Χ1) χο ταm Ι (1, 2), Ρ = 2

Γοι Ι’ λα 〉ο〈ι ξνγ Ι θυα (δ)

Γοι (Δ) λα 〉νγ τηανγ θυα Ι ϖα (Δ) ⊥ (δ)

(Δ) : ξ + ψ – 3 = 0 (Δ) ∩ (δ) = Η(2, 1)

Η λα τρυνγ 〉ιε∑m χυα ΙΙ’

Για σ Ι’ (ξ, ψ) τη ⇒

+

⎧ =

⎪⎪

⎪ =

⎪⎩

ξ 1 2 2

ψ 2 1 2 ⇒ ⎧⎨ =⎩ξ 3ψ 0= ⇒ Ι’ (3, 0); Ρ’ = Ρ = 2 (Χ’) : (ξ – 3)2 + ψ2 = 4

Γιαι ηε ⎧⎪⎨ − + − = ⇔

⎪⎩

⎨

− − =

⎩

ξ ψ 1 0

ξ ψ 1

=

⎧

⎩

ξ 1

ψ 0

=

⎧

⎩

ξ 3

ψ 2 ςαψ γιαο 〉ιε∑m χυα (Χ) ϖα (Χ’) λα Α (1, 0) ϖα Β (3, 2)

ς δυ (∇Η ΚΗΟℑΙ Α−2005) Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο Οξψ, χηο ηαι 〉νγ τηανγ

δ1 : ξ – ψ = 0 ϖα δ2 : 2ξ + ψ – 1 = 0.Τm τοα 〉ο χαχ 〉νη ηνη ϖυονγ ΑΒΧD βιε〈τ ρανγ 〉νη Α τηυοχ δ1, 〉νη Χ τηυοχ δ2 ϖα χαχ 〉νη Β, D τηυοχ τρυχ ηοανη

Γιαι

Α ∈ δ1 ⇔ Α (m; m) Χ ∈ δ2 ⇔ Χ (ν; 1 – 2ν)

ς Β, D ∈ Οξ ϖα ΑΒΧD λα ηνη ϖυονγ νεν :

Α ϖα Χ 〉ο〈ι ξνγ νηαυ θυα Οξ ⇔ m ν

m 2ν 1

=

⎧

⎨ = −

ν 1

=

⎧

⎨ =

⎩

Συψ ρα Α(1; 1), Χ(1; −1) Γοι (Χ) λα 〉νγ τρον 〉νγ κνη ΑΧ

⇒ Πηνγ τρνη (Χ) : (ξ–1)2 +ψ2=1 Β ϖα D λα γιαο 〉ιε∑m (Χ) ϖα Οξ νεν τοα 〉ο χυα Β, D λα νγηιεm χυα ηε : (ξ 1)2 ψ2 1

ψ 0

⎧⎪ − + =

⎨

=

⎪⎩

⇔ ⎧⎨ =⎩ξ 0 ξ 2ψ 0= ∨ = Συψ ρα Β (0; 0), D(2; 0) ηαψ Β(2; 0), D(0; 0)

ςαψ Α(1; 1), Β (0; 0), Χ(1; −1), D(2; 0)

ηαψ Α(1; 1), Β(2; 0), Χ(1; −1), D(0; 0)

ς δυ (∇Η ΚΗΟℑΙ Β−2005)Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο Οξψ, χηο ηαι 〉ιε∑m Α(2; 0), Β(6; 4)

ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τρον (Χ) τιε〈π ξυχ ϖι τρυχ ηοανη ται 〉ιε∑m Α ϖα κηοανγ χαχη τ ταm χυα (Χ) 〉ε〈ν 〉ιε∑m Β βανγ 5

Γιαι

Γοι Ι (ξ; ψ) λα ταm χυα (Χ) Τα χο : (Χ) τιε〈π ξυχ Οξ ται Α ⇒ IA iif if ⊥ i

= (1; 0) ⇔ ξ – 2 = 0 ⇔ ξ = 2

ΙΒ = 5 ⇔ (ξ – 6)2 + (ψ – 4)2 = 25

⇔ (2 – 6)2 + (ψ – 4)2 = 25 ⇔ (ψ – 4)2 = 9

⇔ ψ – 4 = ±3 ⇔ ψ = 7 ηαψ ψ = 1

Τρνγ ηπ 1: Ι(2; 7) ⇒ Ρ = δ(Ι, Οξ) = 7

Συψ ρα πτ (Χ) : (ξ – 2)2 + (ψ – 7)2 = 49

Τρνγ ηπ 2: Ι (2; 1) ⇒ Ρ = δ(Ι, Οξ) = 1

⇒ πτ (Χ) : (ξ – 2)2 + (ψ – 1)2 = 1

ς δυ

(∇Εℵ D√∉ Β ΚΗΟℑΙ Α −2002)

Τρονγ mατ πηανγ ϖι ηε τοα 〉ο ∇ε◊χαχ ϖυονγ γοχ Οξψ, χηο ηαι 〉νγ τρον:

(Χ1) : ξ2

+ ψ2 – 10ξ = 0; (Χ2) : ξ2 + ψ2 + 4ξ – 2ψ – 20 = 0

1) ςιε〈τ πηνγ τρνη 〉νγ τρον 〉ι θυα χαχ γιαο 〉ιε∑m χυα (Χ1), (Χ2) ϖα χο ταm ναm τρεν

〉νγ τηανγ ξ + 6ψ – 6 = 0

2) ςιε〈τ πηνγ τρνη τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ χυα χαχ 〉νγ τρον (Χ1) ϖα (Χ2)

Γιαι

1) Πηνγ τρνη χηυm 〉νγ τρον θυα χαχ γιαο 〉ιε∑m χυα (Χ1), (Χ2) λα :

m(ξ2 + ψ2 – 10ξ) + ν(ξ2 + ψ2 + 4ξ – 2ψ – 20) = 0 ϖι m2 + ν2 > 0

⇔ (m + ν)ξ2 + (m + ν)ψ2 + (4ν – 10m)ξ – 2νψ – 20ν = 0

−

−

ς ταm Ι ∈ δ : ξ + 6ψ – 6 = 0 ⇒ 5m 2ν 6ν 6m 6ν 0

= +

⇒ m = −2ν Χηο ν = 1 ⇒ m = −2

ςαψ πηνγ τρνη 〉νγ τρον λα :ξ2 + ψ2 – 24ξ + 2ψ + 20 = 0

2) ςιε〈τ πηνγ τρνη χαχ τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ χυα (Χ1), (Χ2)

(Χ1) χο ταm Ι1(5; 0), βαν κνη Ρ1 = 5 ⇒ I

1 I 2 < R 1 + R 2

(Χ2) χο ταm Ι2(−2; 1), βαν κνη Ρ2 = 5

ς (Χ1), (Χ2) χατ νηαυ ται 2 〉ιε∑m νεν χο 2 τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ

ς ξ = ξο κηονγ τηε∑ λα τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ νεν πτ ττ χηυνγ Δ χο δανγ :

ψ = αξ + β ⇔ αξ – ψ + β = 0

Δ τιε〈π ξυχ ϖι (Χ1) ⇔ δ(Ι1, Δ) = Ρ1 ⇔

2

5

= +

Δ τιε〈π ξυχ ϖι (Χ2) ⇔ δ(Ι2, Δ) = Ρ2 ⇔

2

(1) ϖα (2) ⇒ ⏐5α + β⏐ = ⏐−2α – 1 + β⏐

⎡

⎣

1 α 7

β

2

⎡ = −

⎢

⎢

⎢ =

⎢⎣

Τηε〈 α = 1

7

− ϖαο (1) τα χο : β1 = 5 25 2

7

7

−

ςαψ τα χο 2 τιε〈π τυψε〈ν λα : ξ + 7ψ – 5 + 25 2 = 0

ξ + 7ψ – 5 − 25 2 = 0

Χαχη κηαχ: ς Ρ = Ρ2 ϖα 2 〉νγ τρον χατ νηαυ νεν 2 τιε〈π τυψε〈ν χηυνγ λα 2 〉νγ τηανγ σονγ σονγ ϖι Ι Ι iiiif1 21 = − ( 7;1) ςαψ πηνγ τρνη 2 τιε〈π τυψε〈ν χο δανγ :

ξ + 7ψ+m = 0 (Δ)

πηνγ τρνη 2 τιε〈π τυψε〈ν λα ξ + 7ψ – 5 ± 25 2 = 0

ΓΗΙ ΧΗΥ∧ :

Βαι 〉νγ τρον τρονγ χηνγ τρνη λπ 12 βαο γο◊m χαχ ϖα〈ν 〉ε◊ χηνη λα : Τm πηνγ τρνη 〉νγ τρον; χαχ βαι τοαν λιεν θυαν 〉ε〈ν ϖ∫ τρ τνγ 〉ο〈ι γι⌡α〉νγ τηανγ ϖα 〉νγ τρον, γι⌡α ηαι 〉νγ τρον; πηνγ τχη χυα mοτ 〉ιε∑m 〉ο〈ι ϖι 〉νγ τρον; τρυχ 〉ανγ πηνγ χυα ηαι

〉νγ τρον κηονγ 〉ο◊νγ ταm Νγοαι ρα χον χο mοτ σο〈 χαυ ηοι λιεν θυαν 〉ε〈ν πηνγ τρνη ξ2 +

ψ2 + 2Αξ + 2Βψ +Χ = 0 (1) Χηανγ ηαν τm 〉ιε◊υ κιεν 〉ε∑ (1) λα πηνγ τρνη 〉νγ τρον Τ πηνγ τρνη (1) τm ταm ϖα βαν κνη χυα 〉νγ τρον, τm τηαm σο〈 〉ε∑ βαν κνη τηοα mοτ 〉ιε◊υ κιεν ναο 〉ο

Σαυ 〉αψ, χηυνγ τοι χη 〉ε◊ χαπ 〉ε〈ν χαχη τm πηνγ τρνη 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ ϖα ϖαι νγ δυνγ τρυχ 〉ανγ πηνγ χυα ηαι 〉νγ τρον κηονγ 〉ο◊νγ ταm ∇αψ λα ϖα〈ν 〉ε〈 χαχ εm τηνγ “ σ” κηι γαπ πηαι

Α/ Χαχη τm πηνγ τρνη 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ ΑΒΧ :

Τρχ ηε〈τ χα◊ν λυ ψ :

• Ταm 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ λα γιαο 〉ιε∑m χυα ηαι 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ

• Μυο〈ν τm πηνγ τρνη 〉νγ τρον τα τm ταm Ι (α ; β) ϖα βαν κνη Ρ Κηι 〉ο πηνγ τρνη

〉νγ τρον χο δανγ (ξ – α)2 + (ψ – β)2 = Ρ2

• Χηο κ λα σο〈 τηχ κηαχ 1, τα χο :

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−

=

−

−

=

⇔

=

κ 1

κψ ψ

ψ

κ 1

κξ ξ

ξ ΜΒ κ

ΜΑ

Β Α

Μ

Β Α

Μ

1/ Νε〈υ 〉ε◊ βαι χηο βιε〈τ τοα 〉ο Α, Β, Χ τη :

• Γοι D λα χηαν 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ κε τ Α χυα ταm γιαχ ΑΒΧ

ΑΧ

ΑΒ

Σ δυνγ χονγ τηχ (Ι) ϖι κ =

ΑΧ

ΑΒ

− τα ξαχ 〉∫νη 〉χ τοα 〉ο 〉ιε∑m D

A

I

• Γοι Ι λα ταm 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ ΑΒΧ τη Ι χηνη λα χηαν 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ κε τ Β χυα ταm γιαχ ΑΒD

ΒD

ΒΑ

Σ δυνγ χονγ τηχ (Ι) ϖι κ =

ΒD

ΒΑ

− λα ξαχ 〉∫νη 〉χ τοα 〉ο ταm Ι

Χον βαν κνη 〉νγ τρον νοι τιε〈π ταm γιαχ χηνη λα κηοανγ χαχη τ ταm Ι 〉ε〈ν mοτ τρονγ 3 χανη χυα ταm γιαχ ΑΒΧ

Χηυ ψ : Νε〈υ mοτ τρονγ βα 〉νη χυα ταm γιαχ τρυνγ ϖι γο〈χ τοα 〉ο ϖα ηαι 〉νη χον λαι ναm τρεν ηαι τρυχ τοα 〉ο τη χαχη γιαι 〉χ τηυ γον ην ϖ βιε〈τ τρχ 〉χ 1 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ κε τ γο〈χ τοα 〉ο ∇νγ πηαν γιαχ χον λαι 〉χ τm τηονγ θυα τm χηαν 〉νγ πηαν γιαχ τρονγ νη 〉α⌡ τρνη βαψ  τρεν