Chuyền đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 79166

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính: 1.. Các kiến thức vận dụng: - Tính chất của phép cộng , phép nhân - Các phép toán về lũy thừa:

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

PHẦN ĐẠI SỐ

Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:

1 Các kiến thức vận dụng:

- Tính chất của phép cộng , phép nhân

- Các phép toán về lũy thừa:

an = ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, m n)

n

(am)n = am.n ; ( a.b)n = an bn ; ( ) ( 0)

n n n

b

2 Một số bài toán :

Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +… + n , 1+ 3 + 5 +… + (2n -1)

b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1)

1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

Với n là số tự nhiên khác không

HD : a) 1+2 + 3 + + n = n(n+1)

1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2

b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)

= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3

= n(n+ 1)(n+2) :3

1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4

Tổng quát:

Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an

b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k

a a a a  a  a

HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an aS = a + a2 +… + an + an+1

Ta có : aS – S = an+1 – 1  ( a – 1) S = an+1 – 1

Nếu a = 1 S = n

Nếu a khác 1 , suy ra S = 1 1

1

n

a a

 



b) Áp dụng 1 1 với b – a = k

.

a b k ab

Ta có : A =

k a a k a a  k a  a

=

c

k a a a a  a  a

=

1

n

c

k a a

Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + ….+ n2

b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3

HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6

b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2

-Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

a) A = ( 1 1 1 1 )1 3 5 7 49

    





HD : A = 9 ; B =

28

2

Bài 4: 1, Tính: P =



2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025

Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203

2005

1890 : 12

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0

25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 , 1





















































A

b) Cho 2 3 4 2004 2005

3

1 3

1

3

1 3

1 3

1 3

1















B

Chøng minh r»ng

2

1



B

Bài 6: a) Tính :











 











 













  

7

2 14 3

1 12 : 3

10 10

3 1

4

3 46 25

1 230 6

5 10 27

5 2 4

1 13

b) TÝnh

P

   



HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = …

MS

2012 2012 2012 2011 =

2    3 4  2012

c)

100 99

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

3 2 1 (





































A

Bài 7: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

50

31 93

14 1

3

1 5 12 6

1 6

5 4

19

2 3

1 6 15 7

3 4 31

11 1















































 













 





A

b) Chøng tá r»ng:

2004

1 2004

1

3

1 3

1 2

1 1

2 2

2





B

Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

25

13 : ) 75 , 2 ( 53 , 3 88 , 0 : 25 11

4

3 125 505

, 4 3

4 4 : 624 , 81

2

2 2

2































































A

b) Chøng minh r»ng tæng:

2 , 0 2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2004 2002

4 2 4 6

4

S

Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

1 Kiến thức vận dụng :

- a c a d. b c.

 

 

- Có a c e = k Thì a = bk, c = d k, e = fk

b  d f

2 Bài tập vận dụng

Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức

Bài 1: Cho a c Chứng minh rằng:



HD: Từ a c suy ra

.

c a b

khi đó

.

= ( )







Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0   thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng:

=

c

2

( 2012 ) ( 2012 )





HD: Ta có (a + 2012b)2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 b 2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 ac

= a( a + 2.2012.b + 20122 c)

(b + 2012c)2 = b 2 + 2.2012.bc + 2012 2 c 2 = ac+ 2.2012.bc + 2012 2 c 2

= c( a + 2.2012.b + 20122 c)

Suy ra : =

c

2

( 2012 ) ( 2012 )





Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu th×

d

c b

a 

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5











HD : Đặt a c k a = kb, c = kd

b  d 

-Suy ra : 5 3 (5 3) 5 3 và

Vậy

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5











Bài 4: BiÕt 22 22 với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :

hoặc

b  c

HD : Ta có a22 b22 ab= (1)



2

2 2

a22 b22 ab= (2)







2

2 2



Từ (1) và (2) suy ra : 2 2



 Xét 2 TH đi đến đpcm

Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc Chøng minh r»ng:

d

c b

a 

22 22 vµ

d c

b a cd

ab





2

d c

b a d c

b a























HD : Xuất phát từ biến đổi theo các

d

c b

a 

hướng làm xuất hiện 2 2 2 2 2 2 2

Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

























TÝnh

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

























HD : Từ

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

























Suy ra : 2a b c d 1 a 2b c d 1 a b 2c d 1 a b c 2d 1

 a b c d a b c d a b c d a b c d

Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) 

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

M

























Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d    = 4

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

























Bài 7 : a) Chøng minh r»ng:

NÕu

c b a

z c

b a

y c

b a

x















Th×

z y x

c z

y x

b z

y x

a















b) Cho:

d

c c

b b

a





Chøng minh:

d

a d c b

c b a





















HD : a) Từ

c b a

z c

b a

y c

b a

x















2( 2 ) (2 ) 4 4 (2)

 

Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :

z y x

c z

y x

b z

y x

a















Bài 8: Cho

z y x

t y

x t

z x

t z

y t

z y

x























chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn

z y

x t y x

t z x t

z y t z

y x P

























HD Từ

z y x

t y

x t

z x

t z

y t

z y

x





















 y z t 1 z t x 1 t x y 1 x y z 1

 x y z t z t x y t x y z x y z t

Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4

Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4 

Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x z x y x y z

Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z

Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 Tính

T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011

Biết x,y,z,t thỏa mãn:

2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010

b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:

M = a + b = c +d = e + f

Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và 14; ;

22

a

13

c

17

e

f 

c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :

Tớnh giỏ trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2

Một số bài tương tự

Bài 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau:

2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d

Tính

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

























Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khỏc 0 thỏa món điều kiện :

y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt ( n là số tự nhiờn)

và x + y + z + t = 2012 Tớnh giỏ trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t

D ạng 2 : Vận dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để tỡm x,y,z,…

Bài 1: Tỡm cặp số (x;y) biết : 1+3y 1+5y 1+7y 

HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y

=> 2 2 với y = 0 thay vào khụng thỏa món

x  x

Nếu y khỏc 0

=> -x = 5x -12

=> x = 2 Thay x = 2 vào trên ta được:

=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y =

y



1 15



Vậy x = 2, y = 1 thoả mãn đề bài

15



Bài 3 : Cho a b c và a + b + c ≠ 0; a = 2012

b  c a

Tớnh b, c

HD : từ a b c a b c 1 a = b = c = 2012

 

Bài 4 : Tỡm cỏc số x,y,z biết :

y x 1 x z 2 x y 3 1

 

HD: Áp dụng t/c dóy tỉ số bằng nhau:

Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đú tỡm được x, y, z

Bài 5 : Tỡm x, biết rằng: 1 2 1 4 1 6

x

HD : Từ 1 2 1 4 1 6 2(1 2 ) (1 4 ) 1 2 1 4 (1 6 )

Suy ra : 1 1 1

6  6x x

y x

z z

x

y y

z

x





















x y z

 

Từ x + y + z = 1 x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức

2

1 2

1 2

ban đầu để tìm x

Bài 7 : T×m x, y, z biÕt vµ

216

3 64

3 8



Bài 8 : Tìm x , y biết : 2 1 4 5 2 4 4

x

Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y

1 Kiến thức vận dụng :

- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực

- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A  0 với mọi A ; , 0

A A A

A A







- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A B  A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0;  A B  A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0









- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0  với mọi A ; - A2n 0  với mọi A

Am = An m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn)

0< A < B  An < Bn ;

2 Bài tập vận dụng

Dạng 1: Các bài toán cơ bản

Bài 1: Tìm x biết

a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013

HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013

x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013

.2011.2012 2012.2013

2

x

2011

x

 

b) Nhận xột : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4

Từ 1 2 3 4

2

x

x

Bài 2 Tỡm x nguyờn biết

1.3  3.5  5.7   (2x 1)(2x 1)  99

b) 1- 3 + 3 2 – 3 3 + ….+ (-3) x =

1006

4



Dạng 2 : Tỡm x cú chứa giỏ trị tuyệt đối

 Dạng : x  a x b và x    a x b x c

Khi giải cần tỡm giỏ trị của x để cỏc GTTĐ bằng khụng, rồi so sỏnh cỏc giỏ trị

đú để chia ra cỏc khoảng giỏ trị của x ( so sỏnh –a và –b)

Bài 1 : Tỡm x biết :

a) x 2011  x 2012 b) x 2010  x 2011  2012

HD : a) x 2011  x 2012 (1) do VT = x 2011   0, x

nờn VP = x – 2012    0 x 2012(*)

Kết hợp (*) x = 4023:2

b) x 2010  x 2011  2012 (1)

Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy) 

Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) Nếu x  2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy)

Vậy giỏ trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2

Một số bài tương tự:

Bài 2 : a) Tìm x biết x 1  x 3  4

b) Tìm x biết: x2  6x 2  x2  4

c) Tìm x biết: 2x 3  2 4 x  5

Bài 3 : a)Tìm các giá trị của x để: x 3  x 1  3x

b) Tìm x biết: 2x   3 x 2 x

Bài 4 : tìm x biết :

a) x  1 4 b) x 2011  2012

Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối

Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x        1 x 3 x 5 x 7 8

b) Tìm x biết : x 2010  x 2012  x 2014  2

HD : a) ta có x                1 x 3 x 5 x 7 x 1 7 x x 3 5 x 8(1)

Mà x        1 x 3 x 5 x 7 8 suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”

x

x x

 



  

  

b) ta có x 2010  x 2012  x 2014  x 2010 2014    x x 2012  2(*)

Mà x 2010  x 2012  x 2014  2 nên (*) xẩy ra dấu “=”

x

x x



 



Các bài tương tự

Bài 2 : Tìm x nguyên biết : x    1 x 2  x 100  2500

Bài 3 : Tìm x biết x    1 x 2  x 100  605x

Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x  1 x  2 y 3 x 4 = 3

Bài 5 : Tìm x, y biết : x 2006y  x 2012  0

HD : ta có x 2006y  0với mọi x,y và x 2012  0 với mọi x

Suy ra : x 2006y  x 2012  0 với mọi x,y mà x 2006y  x 2012  0

2012 0

x y

x

 



Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n

2004    x 4 x 10  x 101  x 990  x 1000

Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162

HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650  5x = 25 x = 2

b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162  3x – 1 = 27  x = 4

Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:

a) 2x + 1 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y

HD : a) 2x + 1 3y = 12x  2 1

1

Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1 

b) 10x : 5y = 20y  10x = 102y  x = 2y

Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :

a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256

HD: a) 2m + 2n = 2m +n  2m + n – 2m – 2n = 0  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1

 (2m -1)(2n – 1) = 1  2 1 1 1

n

  



 



b) 2m – 2n = 256  2n ( 2m – n - 1) = 28

Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp :

+ Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9

+ Nếu m – n 2 thì 2 m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà

VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9

Bài 4 : Tìm x , biết :   1   11

HD :

x



   1  10

8 6

1

10

1 ( 7) 0

( 7) 1

10

x

x x

x

x

x

x





 





   





 











HD : ta có x 2011y  0 với mọi x,y và (y – 1)2012 0  với mọi y

Suy ra : 2012 với mọi x,y Mà

 2011 0 2011, 1

1 0

y

  



Các bài tập tương tự :

Bài 6 : Tìm x, y biết :

a) 2012 b)

(2x 1)  2y  x 8 12 5.2 

Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức :

1 Các kiến thức vận dụng:

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

- Tính chất chia hết của một tổng , một tích

- ƯCLN, BCNN của các số

2 Bài tập vận dụng :

* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 2 2

23 ) 2004 (

c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6

d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1

HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nờn x   2

mà x NT x = 2 Lại cú 1000 – 13y , 1000 – 13y > 0 và y NT y =  51 

b) Từ 2 2(1)

23 ) 2004 (

do 7(x–2004)2 0  2 2

Mặt khỏc 7 là số NT 2 vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)

suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4

c) Ta cú xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3  1 1 hoặc

x y

 



  



x y

  



   



hoặc 1 3 hoặc

3 1

x

y

 



  



x y

  



   



do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khỏc y nguyờn tố 1 2 3

Bài 2 a) Tỡm cỏc số nguyờn thỏa món : x – y + 2xy = 7

b) Tỡm x y,  ฀ biết: 2 2

25 y  8(x 2012)

HD : a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13 

b) Từ 2 2 y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc

25 y  8(x 2012)  

y = 3 hoặc y = 5 , từ đú tỡm x

Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 1 1 1

x  y  5 b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :

b và

a

a3 3 2  5  5 c

a 3  5

HD : a) Từ 1 1 1 5 ( x + y) = xy (*)

5

x xy

y











+ Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiờn khỏc 0) thay vào (*) suy ra: 5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y Do q = 1 khụng thỏa món , nờn với q khỏc 1 ta cú

Ư(5) , từ đú tỡm được y, x

q

b) b a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà a2 5c = 5( 5b – 1 – 1)

a

a 3  5 

Do a, b, c nguyờn dương nờn c = 1( vỡ nếu c >1 thỡ 5b – 1 - 1 khụng chia

1 2

1

5

b

c

a







hết cho 5 do đú a khụng là số nguyờn.) Với c = 1 a = 2 và b = 2

Bài 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

2

5 p 2013  5 p q

5 p  2013  5 p q  2013 q  25p  25p  2013 q  25 (25p p 1)

Do p nguyờn tố nờn 2 2 và 2013 – q2 > 0 từ đú tỡm được q

2013  q 25

Bài 5 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n  1 chia hết cho 7

HD : Với n < 3 thỡ 2n khụng chia hết cho 7

Với n khi đú n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (  3 *)

kN

Xột n = 3k , khi đú 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A  7

Xột n = 3k +1 khi đú 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khụng chia hết cho 7