TanATanBTanCTanA.TanB.TanC tam giác ABC không vuông 4/.
Trang 1
1
CĂN BẬC HAI
1 A2 A 2 AB A B(A0, B0) 3
B
A
B A (A0, B>0)
4 A2B A B(B0) 5.A B A2B(A0, B0) 6.A B A2B(A<0, B0)
7
B
B
A
B
A (B>0) 8 AB
B B
A 1 (AB0, B≠0) 9) ( 2 )
B A
B A C B A
C
(A0, A≠B2)
10) C C( A B)
A B
A B
(A0, B0, A≠B) 11)0 A < B A B BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
2 2 2
(A B ) A 2ABB 2 2 2
(A B ) A 2ABB
2 2
A B A B A B
3 3 2 2 3
A B A A B AB B 3 3 2 2 3
A B A A B AB B
3 3 2 2 3
A B AB A ABB AB AB AB
3 3 2 2
A B A B A ABB
2 2 2
2
A B A B AB
AxB
A 0 : phương trình có nghiệm duy nhất :
A
B
x
A = 0 và B 0 : phương trình vô nghiệm
A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm.( x R )
AxB
A > 0 :
A
B
x A 0 x B
A
A = 0 và B 0 : vô nghiệm A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm.( x R)
NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 1/ Dạng :
/ / /
c y b x a
c by ax
b a
b a
/
b c
b c
/
c a
c a
/
D 0 : hệ có nghiệm duy nhất
D
D
y y
D D
Trang 2
2
D = 0 và Dx 0
Hệ vô nghiệm
D = 0 và Dy 0
D = Dx = Dy = 0 : Hệ vô số nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/
NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax2 + bx + c = 0 ( a 0)
= b2 – 4ac
> 0
a
b x
2 1
a
b x
2 2
= 0 Nghiệm kép
a
b x
x
2
2
1
< 0 Vô nghiệm
/ = b/ 2 – ac
/ > 0
a
b x
/ / 1
a
b x
/ / 2
/ = 0
Nghiệm kép
a
b x x
/ 2
1
/ < 0 Vô nghiệm
Chú ý: a + b + c = 0 : Nghiệm x1 = 1, x2 =
a
c a – b + c = 0 : Nghiệm x1 = –1, x2 =
a
c
Cho tam th c f(x) = ax2
+ bx + c (a0) cĩ b24ac
f(x) = 0 cĩ hai nghi m 0;f(x) = 0 cĩ nghi m kép 0; f(x) = 0 vơ nghi m 0
f(x) = 0 cĩ hai nghi m trái d u 0
0
a P
f(x) = 0 cĩ hai nghi m cùng d u
0 0
a P
f(x) = 0 cĩ hai nghi m âm
0 0 0 0
a
S P
f(x) = 0 cĩ hai nghi m d ng
0 0 0 0
a
S P
f(x) > 0 0
0
a x
0 0
a x
f(x) < 0 0
0
a x
0 0
a x
f(x) > 0 vơ nghi m f(x) 0 x 0
0
a
f(x) 0 vơ nghi m f(x) 0 x
0 0
a
f(x) < 0 vơ nghi m f(x) 0 x 0
0
a
f(x) 0 vơ nghi m f(x) 0 x
0 0
a
Trang 3
3
NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a 0)
x –
a
b
+
f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a
f(x) = ax2 + bx + c ( a 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
0
0
a
0
0
a
f(x) > 0, x
f(x) < 0, x
0
0
a
0
0
a
f(x) > 0, x
a
b
2
f(x) < 0, x
a
b
2
> 0 x – x1 x2 +
f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
Hoặc :
f(x) = ax2bx c (a 0)
< 0 a.f(x) > 0, x R
= 0 a.f(x) > 0, x R b
a
\ 2
> 0 a.f(x) > 0, x (–∞; x 1 ) (x 2 ; + ) ∞
a.f(x) < 0, x (x 1 ; x 2 )
NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ
Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a 0) và , là hai số thực( )
1/ x1 < < x2 af(x) < 0 2/ x2 > x1 >
0 2
0 ) ( 0
S
af 3/ x1 < x2 <
0 2
0 ) ( 0
S af
4/ x1< < < x2
0 ) (
0 ) (
af
af
5/ x1< < x2 <
0 ) (
0 ) (
af af
6/
2 1
2 1
x x
x x
f( f) ()0 7/ < x1 < x2 <
2
0 ) (
0 ) ( 0
S af af
Chú ý:
Trang 4
4
1/ x1 < 0 < x2 P < 0 2/ x2 > x1 > 0
0 0 0
S
P 3/ x1 < x2 < 0
0 0 0
S
P
1/
K
B A
B B
2/
) 0 (
0 2
2
hayB A
B A B
A K K
g x
f x g x
f x g x 2
( ) 0 ( ) ( )
( ) ( )
f x hoặc g x
f x g x
f x g x
( ) ( )
1/
K K
B A B
A B
A
2
0 2/
K K
B A B A B B
A
2
2
0 0
0 3/ 2K 1A B A B2K 1
f x
f x g x g x
f x g x 2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x
f x g x g x
f x g x 2
( ) 0 ( ) 0
( ) ( )
NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/
0
0
B
B A B
B A B
B A
B A B
0
) ( ) ( 0
) ( ) ( )
( ) (
x
x g x f x
x g x f x
g x f
NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/
0
B
B A B B
0
0
0
B
A B
A B
B
A B B
B A B
nếu 0
nếu 0
A
A A ; A2 A2,A
Trang 5
5
NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/ ĐỊNH NGHĨA :
Dạng : A > B, A B , A < B, A B
2/ TÍNH CHẤT :
a) a bba; b) a c
c b
b a
c b c a b
a ;d)
0 ,
0 ,
c bc ac
c bc ac b
a
d
c
b
a
bd ac d
c
b a
0
0
;g)
0
; 1 1
0
; 1 1
ab khi b a
ab khi b a b a
3/ BĐT Cô Si :
Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3, , an
n
n
n
a a
a
a
3 2 1 3
2
Hay
n n n
n
a a
a a a a a
3 2
1
Dấu đẳng thức xảy ra a1 = a2 = a3 = = an
Cơ si cho 2 s khơng âm: a b, 0: a b 2 ab.D u “=” x y ra khi a b
Tính ch t: Cho 2 s khơng âm a b,
N u a b h ng s thì a b đ t giá tr l n nh t khi a b
N u a b h ng s thì (a b )đ t giá tr nh nh t khi a b
4/ BĐT Bunhia Côp ski :
Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn là những số tực khi đó:
)
)(
( )
(a1b1a2b2 a n b n 2 a12 a22 a n2 b12b22 b n2
Dấu đẳng thức xảy ra ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3, , n
5/ BĐT BecnuLi :
Cho : a > –1, n N.Ta có : (1 + a)n 1 + na Đẳng thức xảy ra
1
0
n a
6/ BĐT tam giác :
B A B
A .Đẳng thức xảy ra AB 0
NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
1
sin x cos x 2/ tanx sinx
cosx
3/ cotx cosx
sinx
4/ tanx cotx 1 5/ 2
2
1
1 tan x
cos x
2
1
1 cot x
sin x
Điều kiện tồn tại :
tanx là(x / 2 + k , k Z) cotx là (x k , k Z)
sinx là – 1 Sinx 1 cosx là – 1 Cosx 1
Chú ý :
a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)
B CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ):
Trang 6
6
7/ cos a b( ) cos a cosbsin a sinb 8/ cos a b( ) cos a cosbsin a sinb
9/ sin a b( )sin a cosbcos a sinb 10/.sin a b( ) sin a cosb cosa sinb
1 tan
tana tanb tan a b
a tanb
tana tanb tan a b
tana tanb
13/.cot a b( ) cot a cotb 1
cota cotb
14/.
( ) acotb
cot a b
cota cotb
C CÔNG THỨC NHÂN:
I NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/ sin a2 2 sin a cosa 16/ cos a2 2cos a2 1 1 2sin a2 cos a2 sin a2
1
tana tan a
tan a
II NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/ Cos3a4Cos3a3Cosa 19/ Sin3a3Sina4Sin3a 20/
a Tan
a Tan Tana a
3 3 1
3 3
III HẠ BẬC : ( 4 công thức)
21/
2
2 1
a Sin
a Sin a Cos2 2 2
22/
2
2 1
a Cos
a Cos a
Cos2 2 2
23/
4
3 3
3 Sina Sin a a
Sin 24/
4
3 3
a
IV GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) với
2
x Tan
t
1
2
t
t Sinx
26/ 22
1
1
t
t Cosx
, 27/ 2
1
2
t
t Tanx
D TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
28/
2 2
2Cos a b Cos a b Cosb
2 2
2Sin a b Sin a b Cosb
30/
2 2
2Sin a b Cos a b Sinb
2 2
2Cos a b Sin a b Sinb
32/
CosaCosb
b a Sin Tanb Tana ( ) 33/
CosaCosb
b a Sin Tanb Tana ( )
34/
SinaSinb
b a Sin Cotb Cota ( ) 35/
SinaSinb
b a Sin Cotb
Cota ( )
E TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
2
1
b a Cos b a Cos
2
1
b a Cos b a Cos SinaSinb
2
1
b a Sin b a Sin SinaCosb
Trang 7
7
CHUÙ YÙ:
1 sin 2 sin cos ;1 sin 2 (sin cos ) ;1 sin (sin cos ) ;1 sin sin cos
1 cos 2 2 sin ;1 cos 2 2 cos ;1 cos 2 cos ;1 cos 2 sin
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
F CUNG LIEÂN KEÁT :
sin( ) sin sin cos
2
cos( ) cos cos sin
2
tan( ) tan tan cot
2
cot( ) cot cot tan
2
cos( ) cos sin( ) sin sin cos
2
sin( ) sin cos( ) cos cos sin
2
tan( ) tan tan( ) tan tan cot
2
cot( ) cot cot( ) cot cot tan
2
Trang 8
8
G Giá tr l ng giác c a các gĩc cĩ liên quan đ c bi t:
A CƠ BẢN :
Sinu = Sinv
2
2
k v u
k v u
k Z Cosu = Cosv u vk2
Tanu = Tanv uvk
Cotu = Cotv u vk
Sinu = 0 u k
Sinu = 1 u/2k2
Sinu = –1 u /2k2
Cosu = 0 u /2k
Cosu = 1 u 2
Cosu = – 1 u k2
B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng: aSinx + bCosx = c (1) ( a2 + b2 0 ) Phương pháp :
Cách 1: Chia hai vế cho 2 2
b
b a
b Cos
b a
a
(1)
2 2
) (
b a
c x
Sin
2
b a
c a2b2 c2 (*) Vô nghiệm khi 2 2 2
c b
a
0
6
4
3
2
2
3
4
00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
2
2 2
3
3 2
2
2
2 2
1
1 2
2
3 3
Trang 9
9
Cách 2: Kiểm chứng x = (2k + 1) có phải là nghiệm của phương trình hay không?
Xét x (2k + 1) .Đặt :
2
x Tan
1
1
; 1
2
t
t Cosx t
t Sinx
Vào phương trình (1) t ? x ?
C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/ Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a 0
aSin2xbSinxc0( đặt tSinx , t 1)aCos2xbCosxc0(đặt tCosx , t 1) aTan2xbTanxc0( đặt tTanx x k
2
aCot2xbCotxc0( đặt tCotx ,xk )
2/ Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng: aSin2xbSinxCosxcCos2x0 (1)
aSin3xbSin2xCosxcSinxCos2xdCos3x0 (2) Phương pháp :
Cách 1:
Kiểm x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ?
Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx
Cách 2:
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và
2
2x Sin SinxCosx thế vào
3/ Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
4 (
0
2
1 (*)
2
at b t c ( nếu có) t x
Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự :
4 (
0 2
1 (*)
2
at b t c t ? ( nếu có) x ?
D PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/ Tổng bình phương :
A2 + B2 + + Z2 = 0 A = B = = Z = 0
A 0, B 0, , Z 0
Ta có : A + B + + Z = 0 A = B = = Z = 0
2/ Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B(*) Nếu ta chứng minh
K B
K A
K B
K A
(*)
3/
k l B A
k B
l A
k B l A
Trang 10
10
H B
C A
4/ A B1, 1
1
1 1
B
A
1
1
B A
1.TAM GIÁC THƯỜNG ( các định lý)
Hàm số Cosin a2 b2 c22bcCosA
bc
a c b CosA
2
2 2
2
Hàm số Sin
SinC
c SinB
b SinA
a
2
R
a SinA RSinA
a
2 ,
b a
b a B A Tan
B A Tan
2 2
Các chiếu a bCosCcCosB
4
) (
a
A
bc Cos l
b c
Diện tích
S ah a bh b ch c
2
1 2
1 2
S bcSinA acSinB abSinC
2
1 2
1 2
1
S pr
R
abc S
4
S p(pa)(pb)(pc)
Chú ý:
2 ) ( 2 ) ( 2 ) (p a Tan A p b Tan B p c Tan C p
S
SinC
c SinB
b SinA
a S
abc R
2 2
2
a, b, c : cạnh tam giác
A, B, C: góc tam giác
ha: Đường cao tương ứng với cạnh a
ma: Đường trung tuyến vẽ từ A
R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác
2
c b a
p Nữa chu vi tam giác
2.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
AC AB BC AH
CH BH AH
2
2 2 2
1 1 1
AC AB
AH
Trang 11
11
AB2 BH.BC
AC2 CH.CB
AC AB
NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ
CHO TAM GIÁC ABC :
1/
2 2 2
4Cos A Cos B Cos C SinC
SinB SinA
2/
2 2 2 4
1 Sin A Sin B Sin C CosC
CosB CosA
3/ TanATanBTanCTanA.TanB.TanC ( tam giác ABC không vuông)
4/
2
2
2 2
2 2
C Cot B Cot A Cot C Cot B Cot A
2
2 2
2 2
2 Tan B Tan B Tan C Tan C Tan A
A Tan
6/ Sin 2A Sin 2B Sin2C 2 2CosA CosB CosC
7/ Cos2ACos2BCos2C 12CosA.CosB.CosC
8/ Sin(A )B SinC; Cos(A )B CosC;
2 2
C Cos B A Sin ;
2 2
C Sin B A Cos
2 2
C Cot B A Tan
9/
8
3 3
.SinB SinC
8
1
.CosB CosC
8
3 3 2
2
2 Cos B Cos C
A Cos
12/
8
1 2
2
2 Sin B Sin C
A Sin 13/
4
3 2 2
2ACos BCos C
Cos
14/
9
4 2 2
2ASin BSin C
Sin 15/ Tan2ATan2BTan2C9
2 2
2 4
Sin A Sin B Sin C 17/
4
9 2 2
2
2Cos2 ACos2 BCos2C
2 2
2
2 2
2 ATan BTan C
2 2
2
2 2
2 ACot B Cot C
Cot
20/
2
3 3 2 2
2ASin BSin C
2
3 2
2
2ACos BCos C
Cos
NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.a)ĐỊNH NGHĨA 1: Hàm số y f (x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :
1/ f (x) xác định tại điểm x = a 2/ lim f(x) f(a)
a
b)ĐỊNH NGHĨA 2: f (x)liên tục tại điểm x = a lim f(x) lim f(x) f(a)
a x a
2 ĐỊNH LÝù : Nếuf (x)liên tục trên [a, b] và f(a).f(b)0thì tồn tại ít nhất một điểm c (a, b) sao cho f(c)0
NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ
Trang 12
12
1/ ĐỊNH NGHĨA : Cho a > 0, a 1 ( cố định) Hàm số mũ là hàm số xác định bởi công thức :
y = a x ( x R)
2/ TÍNH CHẤT :
a) Hàm số mũ liên tục trên R b) y = a x
> 0 mọi x R
c) a > 1 : Hàm số đồng biến : a x1 a x2 x1 x2
d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến: a x1 a x2 x1 x2
3/ ĐỒ THỊ :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y
1 1
4.CÔNG THỨC: 1)a a a ; 2)a a ; 3)(a ) a . ; 4)(ab) a b ; 5) a a a b b
6) ; 7)
n n n n n n a a a b a b b b 8) n a m n a m;n k. a m k. n a m , . 9) ;10) , n n a n m n m a a a a 11) 0 1 a a n 1 n a 12) (**)(n n ) m n m n a a a b b a
5.PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 0 a 1 : a f x( ) a g x( ) f x( )g x( ) 6.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ: ( ) ( )
1 : f x g x ( ) ( ) a a a f x g x ( ) ( )
0 a 1 : a f x a g x f x( )g x( ) NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT 1/ Định nghĩa : a V i s 0a1,b0 loga b a b b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = log a x ( với x > 0, a > 0, a 1)
2/ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ logarit : 1) log 1 0 ;a loga a 2) 1 loga(b.c)loga bloga c 3) b c c b a a a log log log ;
4) loga b .loga b 5) log 1loga a b b 6)log loga a b b 6) log 1 log ;log n 1log a a b a b a b b n 7) b c c b c c a b a a a b log log log log log log ;
log
a
b
b
a
9) loga b
a b; 10) logb c logb a
a c
