Chuyên đề về Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu22840

Hình nón tròn xoay-kh i nón tròn xoay: nh ngh a Hình nón tròn xoay... Tính di n tích tam giác SBC.. a Tính di n tích xung quanh hình nón đã cho... Trong không gian cho hình vuông ABCD c

CH NG 2: M T NÓN M T TR M T C U

- Bài 1: KHÁI NI M V M T TRÒN XOAY

-

1 S T O THÀNH C A M T TRÒN XOAY: (sgk)

2 M T NÓN TRÒN XOAY:

2 a nh ngh a m t nón tròn xoay:

Trong m t ph ng (P), cho 2 đ ng th ng d, c t nhau t i O và chúng t o thành góc v i

0 < < 900 Khi quay mp(P) xung quanh tr c v i góc không thay đ i đ c g i là m t nón tròn xoay đ nh O (hình 1)

 Ng i ta th ng g i t t m t nón tròn xoay là m t nón

 ng th ng g i là tr c, đ ng th ng d đ c g i là đ ng sinh và góc 2 g i là góc đ nh

2b Hình nón tròn xoay-kh i nón tròn xoay:

nh ngh a Hình nón tròn xoay

Cho OIM vuông t i I quay quanh c nh góc vuông OI thì đ ng g p khúc OIM t o thành m t hình,

g i là hình nón tròn xoay(g i t t là hình nón) (hình 2)

 ng th ng OI g i là tr c, O là đ nh, OI g i là đ ng cao và OM g i là đ ng sinh c a hình nón

 Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy c a hình nón

nh ngh a kh i nón tròn xoay

Kh i nón tròn xoay là ph n không gian đ c gi i h n b i hình nón tròn xoay và c hình nón đó

2c Công th c di n tích và th tích c a hình nón

Cho hình nón có chi u cao lƠ h, bán kính đáy r vƠ đ ng sinh lƠ thì có:

 Di n tích xung quanh: Sxq= r.l

 Di n tích đáy (hình tròn): Str = r2

 Di n tích toàn ph n hình tròn: S = Str + Sxq

 Th tích kh i nón: 1 1 2

Tính ch t:

 N u c t m t nón tròn xoay b i m t ph ng đi qua đ nh thì có các tr ng h p sau x y ra:

+ M t ph ng c t m t nón theo 2 đ ng sinh Thi t di n là tam giác cân

+ M t ph ng ti p xúc v i m t nón theo m t đ ng sinh Trong tr ng h p này, ng i ta g i đó là

m t ph ng ti p di n c a m t nón

 N u c t m t nón tròn xoay b i m t ph ng không đi qua đ nh thì có các tr ng h p sau x y ra: + N u m t ph ng c t vuông góc v i tr c hình nón giao tuy n là m t đ ng tròn

+ N u m t ph ng c t song song v i 2 đ ng sinh hình nón giao tuy n là 2 nhánh c a 1 hypebol + N u m t ph ng c t song song v i 1 đ ng sinh hình nón giao tuy n là 1 đ ng parabol

Vd1: Tính di n tích xung quanh, di n tích đáy, di n tích toàn ph n và th tích kh i nón c a các hình nón th a đi u ki n sau

a) Có chi u cao b ng 2a và bán kính đ ng tròn đáy là a 3

b) Có đ ng sinh b ng 2a và chi u cao b ng a 2

c) Hình nón đ c t o b i tam giác đ u ABC quay quanh đ ng cao AM v i M trung đi m BC

Vd2: Thi t di n đi qua tr c c a hình nón là m t tam giác vuông cân có c nh c nh huy n b ng a 2

a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình nón, gi s nó có đ nh là S

b) Tính th tích c a kh i nón t ng ng

c) Cho dây cung BC c a đ ng tròn đáy hình nón, sao cho mp(SBC) t o v i m t ph ng ch a đáy hình nón m t góc 600 Tính di n tích tam giác SBC

Vd3: M t hình nón tròn xoay có đ ng cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm

a) Tính di n tích xung quanh hình nón đã cho

b) Tính th tích kh i nón t o nên b i hình nón đó

c) M t thi t di n đi qua đ nh có kho ng cách t tâm c a đáy đ n m t ph ng ch a thi t di n là 12cm Tính di n tích thi t di n đó

Bài t p rèn luy n:

Bài 1 M t hình nón có bán kính đáy b ng 2 cm, góc đ nh b ng 600

a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình nón

b) Tính th tích c a kh i nón t ng ng

Bài 2 M t nón tròn xoay có đ nh là S, O là tâm c a đ ng tròn đáy, đ ng sinh b ng a 2 và góc

gi a đ ng sinh và m t ph ng đáy b ng 600

a) Tính di n xung quanh, di n tích toàn ph n c a hình nón

b) Tính th tích c a kh i nón đ c t o nên

30 IOM  và c nh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh c nh góc vuông OI thì đ ng g p khúc OMI t o thành m t hình nón tròn xoay

a) Tính di n tích xung quanh c a hình nón đó

b) Tính th tích kh i nón tròn xoay đ c t o nên b i hình nón trên

Bài 4 Cho hình nón có thi t di n qua tr c là m t tam giác đ u c nh b ng 2a

a) Tính di n tích xung quanh c a hình nón và th tích c a kh i nón t o nên

b) Thi t di n qua đ nh c a hình nón và cách tâm c a đáy hình nón m t kho ng là a2 Tính di n

tích c a thi t di n t o thành đó

Bài 4 Hình nón có bán kính đáy b ng 2a, thi t di n qua tr c là m t tam giác đ u

a) Tính di n tích xung quanh, di n tích toàn ph n và th tích c a kh i nón

b) C t hình nón b i m t ph ng đi qua đ nh, ta đ c thi t di n là m t tam giác vuông Tính di n tích

c a thi t di n này và kho ng cách t tâm c a m t ph ng đáy đ n m t ph ng ch a thi t di n

Bài 5 Cho hình nón có thi t di n qua tr c là m t tam giác vuông cân, thi t di n này có di n tích

b ng 12a3

a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình nón

b) Tính th tích c a kh i nón t ng ng

c) M t ph ng (P) đi qua đ nh c a hình nón, c t m t ph ng đáy theo m t dây cung có đ dài b ng

2a 3 Tính góc t o b i m t ph ng (P) và m t ph ng đáy

Bài 6 Cho hình chóp tam giác đ u SABC có c nh đáy là a, góc gi a m t bên và m t đáy là 600

Hình nón đ nh S có đ ng tròn đáy ngo i ti p tam giác ABC (hình nón ngo i ti p hình chóp) a) Tính th tích c a hình chóp S.ABC

b) Tính di n tích xung quanh c a hình nón và th tích c a kh i nón trên

Bài 7 Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh bên b ng a, góc gi a c nh bên và m t ph ng đáy

b ng 450 Hình nón đ nh S có đ ng tròn đáy n i ti p t giác ABCD (đ c g i là hình nón n i ti p hình chóp)

a) Tính th tích c a hình chóp S.ABCD

b) Tính di n tích xung quanh c a hình nón và th tích c a kh i nón t o nên

3 M T TR TRÒN XOAY:

3a nh ngh a M t tr tròn xoay

Trong mp(P) cho hai đ ng th ng và song song nhau, cách nhau m t kho ng r Khi quay mp(P) quanh tr c c đ nh thì đ ng th ng sinh ra m t m t tròn xoay đ c g i là m t tr tròn xoay hay

g i t t là m t tr

 ng th ng đ c g i là tr c

 ng th ng đ c g i là đ ng sinh

 Kho ng cách r đ c g i là bán kính c a m t tr

3b Hình tr tròn xoay - kh i tr tròn xoay:

nh ngh a Hình tr tròn xoay

Khi quay hình ch nh t ABCD xung quanh đ ng th ng ch a m t c nh, ch ng h n c nh AB thì

đ ng g p khúcABCD t o thành m t hình, hình đó đ c g i là hình tr tròn xoay hay g i t t là hình tr

 ng th ng AB đ c g i là tr c

 o n th ng CD đ c g i là đ ng sinh

 dài đo n th ng AB = CD = h đ c g i là chi u cao c a hình tr

 Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC đ c g i là 2 đáy c a hình tr

nh ngh a kh i tr tròn xoay

Kh i tr tròn xoay là ph n không gian đ c gi i h n b i hình tr tròn xoay và c hình tr đó

3c Công th c tính di n tích và th tích c a hình tr

Cho hình tr có chi u cao là h và bán kính đáy b ng r, khi đó:

 Di n tích xung quanh c a hình tr : Sxq = 2 rh

 Di n tích đáy Sđ = r2

 Di n tích toàn ph n c a hình tr : Stp=Sxq+2Sđ

 Th tích kh i tr : V = Bh = r2

h

Tính ch t:

 N u c t m t tr tròn xoay (có bán kính là r) b i m t mp( ) vuông góc v i tr c thì ta đ c

đ ng tròn có tâm trên và có bán kính b ng r v i r c ng chính là bán kính c a m t tr đó

 N u c t m t tr tròn xoay (có bán kính là r) b i m t mp( ) không vuông góc v i tr c nh ng

c t t t c các đ ng sinh, ta đ c giao tuy n là m t đ ng elíp có tr nh b ng 2r và tr c l n

b ng 2rsin , trong đó là góc gi a tr c và mp( ) v i 0 < < 900

 Cho mp( ) song song v i tr c c a m t tr tròn xoay và cách m t kho ng k

+ N u k < r thì mp( ) c t m t tr theo hai đ ng sinh thi t di n là hình ch nh t

+ N u k = r thì mp( ) ti p xúc v i m t tr theo m t đ ng sinh

+ N u k > r thì mp( ) không c t m t tr

Vd1: Tính di n tích xung quanh, di n tích đáy, di n tích toàn ph n và th tích kh i tr c a các hình

tr th a đi u ki n sau

a) Hình tr có đ ng cao là a 2 và bán kính đ ng tròn đáy là a

b) Hình tr đ c t o thành b i hình vuông c nh a quay quanh b i m t c nh c a nó

c) Hình tr ngo i ti p l ng tr tam giác đ u c nh đáy là a c nh bên là a 3

Vd2: M t kh i tr có chi u cao b ng 20 cm và có bán kính đáy b ng 10 cm

a) Hãy tính di n tích xung quanh, di n tích toàn ph n c a hình tr và th tích c a kh i tr

b) Ng i ta k hai bán kính đáy OA và OB l n l t n m trên đ ng tròn sao cho chúng h p v i nhau m t góc b ng 600 C t m t tr b i m t m t ph ng ch a đ ng th ng AB và song song v i tr c

c a kh i tr đó Tính di n tích c a thi t di n t o b i m t ph ng c t hình tr trên

Vd3: Cho m t hình tr tròn xoay và hình vuông ABCD c nh a có hai đ nh liên ti p A, B n m trên

đ ng tròn đáy th nh t c a hình tr , hai đ nh còn l i n m trên đ ng tròn đáy th hai c a hình tr

M t ph ng (ABCD) t o v i đáy hình tr góc 450

Tính di n tích xung quanh hình tr và th tích c a

kh i tr

Bài t p rèn luy n:

Bài 1 Trong không gian cho hình vuông ABCD c nh a G i I, H l n l t là trung đi m c a các

c nh AB và CD Khi quay hình vuông đó xung quanh tr c IH, ta đ c m t hình tr tròn xoay a) Tính di n tích xung quanh c a hình tr đó

b) Tính th tích kh i tr tròn xoay đ c t o nên b i hình tr nói trên

Bài 2 M t kh i tr có bán kính đáy b ng R b ng a và có thi t di n qua tr c là m t hình vuông a) Tính di n tích xung, di n tích toàn ph n và th tích c a hình tr

b) Tính th tích hình l ng tr t giác đ u n i ti p hình tr đã cho (hình l ng tr này có đáy là hình vuông n i ti p trong đ ng tròn đáy c a hình tr )

Bài 3 M t hình tr có bán kính đáy là 20 cm, chi u cao là 30 cm

a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình tr

b) Tính th tích c a kh i tr t ng ng

c) Cho hai đi m A và B l n l t n m trên hai đ ng tròn đáy, sao cho góc gi a đ ng th ng ABvà

tr c c a hình tr b ng 600 Tính kho ng cách gi a đ ng th ng AB và tr c c a hình tr

Bài 4 M t kh i tr có bán kính đáy b ng 10 cm và chi u cao b ng 10 3 (cm) G i A, B l n l t là hai đi m trên hai đ ng tròn đáy, sao cho góc đ c t o thành gi a 2 đ ng th ng AB và tr c c a

kh i tr b ng 300

a) Tính di n tích c a thi t di n qua AB và song song v i tr c c a kh i tr

b) Tính góc gi a hai bán kính đáy qua A và qua B

c) Xác đ nh và tính đ dài đo n vuông góc chung c a AB và tr c c a kh i tr

Bài 5 M t hình tr có thi t di n qua tr là m t hình vuông, di n tích xung quanh b ng 4

a) Tính di n tích xung quanh c a hình tr và th tích c a kh i tr t o nên

b) M t mp( ) song song v i tr c c a hình tr và c t hình tr đó theo thi t di n ABA1B1 Bi t m t

c nh c a thi t di n là m t dây cung c a m t đ ng tròn đáy và c ng m t cung 1200

Tính di n tích

c a thi t di n này

-

Bài 2: M T C U – KH I C U

-

1 NH NGH A M T C U – KH I C U:

nh ngh a M t c u

T p h p các đi m M trong không gian cách đi m O c đ nh m t kho ng R g i là m t c u tâm O, bán kính R, kí hi u là: S(O, R) hay {M/OM = R}

nh ngh a kh i c u

Kh i c u là ph n không gian đ c gi i h n b i hình c u và c hình c u đó

Di n tích c a hình c u bán kính R: 2

4

Th tích kh i c u bán kính R: 4 3

3

V R

2 V TRÍ C A M T I M I V I M T C U:

Cho m t c u S(O, R) và m t đi m A b t kì, khi đó:

 N u OA=R A S(O;R) Khi đó OA g i là bán kính m t c u N u OA và OB là hai bán kính sao

cho A;O;B th ng hàng thì đo n th ng AB g i là 1 đ ng kính c a m t c u

 N u OA < R A n m trong m t c u

 N u OA > R A n m ngoài m t c u

Kh i c u S(O, R) là t p h p t t c các đi m M sao cho OM ≤ R.

3 V TRệ T NG I C A M T PH NG VÀ M T C U:

Cho m t c u S(O, R) và m t mp(P) G i d là kho ng cách t tâm O c a m t c u đ n mp(P) và H là hình chi u c a O trên mp(P) d = OH

 N u d < R mp(P) c t m t c u S(O, R) theo giao tuy n là đ ng tròn n m trên mp(P)có tâm là

H và bán kính r  R2  d2 (hình a)

 N u d > R mp(P) không c t m t c u S(O, R) (hình b)

 N u d = R mp(P) có m t đi m chung duy nh t là H

Lúc này, ta g i m t c u S(O, R) ti p xúc mp(P) H g i là ti p đi m (P) g i là ti p di n R (hình c)

Nh n xét mp(P) ti p xúc v i m t c u S(O, R) d O  ;(P)   R

4 XÁC NH TÂM VÀ BÁN KÍNH M T C U NGO I TI P M T S HỊNH A DI N C B N:

4a Các khái ni m c b n

Tr c c a đa giác đáy: là đ ng th ng đi qua tâm đ ng tròn ngo i ti p c a đa giác đáy và vuông

góc v i m t ph ng ch a đa giác đáy

B t kì m t đi m nào n m trên tr c c a đa giác thì cách đ u các đ nh c a đa giác đó

ng trung tr c c a đo n th ng: là đ ng th ng đi qua trung đi m c a đo n th ng và vuông

góc v i đo n th ng đó

B t kì m t đi m nào n m trên đ ng trung tr c thì cách đ u hai đ u mút c a đo n th ng

M t trung tr c c a đo n th ng: là m t ph ng đi qua trung đi m c a đo n th ng và vuông góc v i

đo n th ng đó

B t kì m t đi m nào n m trên m t trung tr c thì cách đ u hai đ u mút c a đo n th ng

4b Tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp (l ng tr )

Tâm m t c u ngo i ti p hình chóp: là đi m cách đ u các đ nh c a hình chóp Hay nói cách khác, nó chính là giao đi m I c a tr c đ ng tròn ngo i ti p m t ph ng đáy và m t ph ng trung tr c c a m t

c nh bên hình chóp

Bán kính: là kho ng cách t I đ n các đ nh c a hình chóp

4c Cách xác đ nh tâm và bán kính m t c u c a m t s hình đa di n c b n

a/ Hình h p ch nh t, hình l p ph ng.

 Tâm: trùng v i tâm đ i x ng c a hình h p ch nh t (hình l p ph ng)

Tơm lƠ I, lƠ trung đi m c a AC’

 Bán kính: b ng n a đ dài đ ng chéo hình h p ch nh t (hình l p ph ng)

Bán kính: '

2

A C

b/ Hình l ng tr đ ng có đáy n i ti p đ ng tròn.

Xét hình l ng tr đ ng A1A2A3 An.A1A2A3 An, trong đó có 2 đáy

A1A2A3 An và A1A2A3 Ann i ti p đ ng tròn (O) và (O’) Lúc đó, m t c u n i ti p hình l ng

tr đ ng có:

 Tâm: I v i I’ là trung đi m c a OO’

 Bán kính: R = IA1 = IA2= … = IA’n

c/ Hình chóp có các đ nh nhìn đo n th ng n i 2 đ nh còn l i d i 1 góc vuông

90

+ Tâm: I là trung đi m c a SC

+ Bán kính:

2

SC

90

+ Tâm: I là trung đi m c a SC

+ Bán kính:

2

SC

d/ Hình chóp đ u.

Cho hình chóp đ u S.ABC

 G i O là tâm c a đáy SO là tr c c a đáy

 Trong m t ph ng xác đ nh b i SO và m t c nh bên,

ch ng h n nh mp(SAO), ta v đ ng trung tr c c a c nh SA

là c t SA t i M và c t SO t i I I là tâm c a m t c u

 Bán kính: R  IS  IA IB   IC 

Ta có:

2

.

2

e / Hình chóp có c nh bên vuông góc v i m t ph ng đáy.

Cho hình chóp S.ABC…có c nh bên SA đáy (ABC…) và đáy ABC… n i ti p đ c trong đ ng tròn tâm O Tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC… đ c xác đ nh nh sau:

 T tâm O ngo i ti p c a đ ng tròn đáy, ta v đ ng th ng d vuông góc v i mp(ABC ) t i O

 Trong mp(d, SA), ta d ng đ ng trung tr c c a c nh SA, c t SA t i M, c t d t i I

I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS = …

 Tìm bán kính:

Ta có: MIOA là hình ch nh t

f/ Hình chóp khác

 D ng tr c c a đáy

 D ng m t ph ng trung tr c ( ) c a m t c nh bên b t kì

 ( ) = I I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp

 Bán kính: kho ng cách t I đ n các đ nh c a hình chóp

ng tròn ngo i ti p m t s đa giác th ng g p.

Khi xác đ nh tâm m t c u, ta c n xác đ nh tr c c a m t ph ng đáy, đó chính là đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng đáy t i tâm O c a đ ng tròn ngo i ti p đáy Do đó, vi c xác đ nh tâm ngo i O

là y u t r t quan tr ng c a bài toán

Vd1: Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có ABa và A C 5a, góc h p b i c nh AC’

v i mp(ABCD) là 600

a) Xác đ nh tâm và m t c u đi qua các đ nh c a hình h p

b) Tính di n tích m t c u và th tích c a kh i c u trên

Vd2: Cho hình l ng tr đ ng tam giác đ u ABC.A’B’C’ có c nh đáy là a c nh bên 7a

a) Xác đ nh tâm và m t c u đi qua các đ nh c a hình l ng tr

b) Tính di n tích m t c u và th tích c a kh i c u trên

Vd3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AC = 2a SA vuông góc v i

mp đáy và SA a 2

a) Xác đ nh tâm và m t c u đi qua các đ nh c a chóp đã cho

b) Tính di n tích m t c u và th tích c a kh i c u trên

Vd4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i mp đáy và

2

SA a