Bài tập Xác xuất thống kê BA 2019

Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một người ở công ty đó, thì: a Người ấy dùng ít nhất một trong ba loại thẻ nói trên.. a Một hộ đã vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, thì xác suất hộ đó

BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

- 2019 -

1

Chương 1

Biến cố và xác suất

Tính xác suất bằng định nghĩa Mối quan hệ giữa các biến cố

1 Một người rút tiền ở cây ATM nhưng quên mất 3 số cuối của mã PIN và chỉ nhớ rằng chúng khác nhau Tìm xác suất để người đó nhập một lượt được đúng mã PIN của mình

2 Một công ty cần tuyển ba nhân viên Có 30 người nộp đơn, trong đó có 18 nam và 12 nữ Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 30 người là như nhau

a) Tính xác suất để 3 người trúng tuyển đều là nam

b) Tính xác suất để cả 3 người trúng tuyển đều là nữ

c) Mỗi người ra ở một tầng khác nhau

4 Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy Tính xác suất để có 3 người vào quầy số 1

5 Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga Có 5 hành khách bước lên tàu Mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách mới bước lên tàu

6 Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên ba người không quen biết nhau ở ngoài đường (giả thiết những người này đều không sinh vào năm nhuận) thì họ:

a) Có ngày sinh nhật khác nhau

b) Có ngày sinh nhật trùng nhau

7 Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ Tính xác suất để: a) Chỉ có một lá thư bỏ đúng địa chỉ

b) Cả 3 lá thư đều được bỏ không đúng địa chỉ

8 Một công ty tham gia đấu thầu 2 dự án Gọi A k là biến cố công ty đó thắng thầu dự án k

(k 1, 2) Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:

a) Công ty chỉ thắng thầu một dự án

b) Công ty không thắng thầu dự án nào

Công thức cộng, công thức nhân xác suất, công thức Becnulli

10 Một người mua ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số

a) Tính xác suất để được vé không có chứ số 1 hoặc không có chữ số 5

b) Tính xác suất để được vé có chữ số 2 và có chữ số lẻ

11 Ba người chia nhau 2 vé đi xem phim Chứng minh bốc thăm là phương thức công bằng

12 Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập nhau Xác suất nhận cùng một điểm số nào

đó ở cả 3 môn đều như nhau Xác suất để thu được một môn điểm 8 là 0,18, dưới 8 là 0,65, xác suất cả 3 môn đều được điểm 10 là 0,000343 Tính xác suất để sinh viên thi 3 môn được

ít nhất là 28 điểm Điểm thi được cho theo thang điểm 10, không có điểm lẻ

13 Một công ty đầu tư vào hai dự án A và B Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư vào 2 dự án này tương ứng là 9%, 7% và gặp rủi ro đồng thời khi đầu tư cả hai dự án là 4% Nếu đầu tư cả hai dự án, tính xác suất để:

a) Ít nhất một dự án gặp rủi ro

b) Chỉ dự án A gặp rủi ro

14 Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 3 sản phẩm Nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra thì không mua lô hàng Tính xác suất lô hàng được mua

15 Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập với nhau Xác suất để các bộ phận bị hỏng lần lượt là 0,1; 0,3 và 0,2 Tính xác suất của các biến cố sau:

a) Có đúng 2 bộ phận bị hỏng

b) Có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng

16 Có ba người A, B và C cùng phỏng vấn xin việc ở một công ty Xác suất trúng tuyển của mỗi người lần lượt là 0,8; 0,6 và 0,7 Việc trúng tuyển của mỗi người là độc lập

a) Tính xác suất có hai người trúng tuyển

b) Biết rằng có hai người trúng tuyển Tính xác suất để hai người đó là A và B

17 Một tờ tiền giả lần lượt được hai người A và B kiểm tra Xác suất để người A phát hiện ra

tờ này giả là 0,7 Nếu người A cho rằng tờ này là giả, thì xác suất để người B cũng nhận

b) Phải chọn bao nhiêu lần để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 0,9

19 Một sinh viên phải thi 6 môn kết thúc học kì Khả năng thi được trên 5 điểm của mỗi môn

là 0,8 và độc lập nhau Tính xác suất để trong học kì này người đó:

a) Được 5 môn trên 5 điểm

b) Được ít nhất 4 môn trên 5 điểm

20 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm Xác suất làm ra một phế phẩm của máy là 0,01 a) Cho máy xản suất 10 sản phẩm Tính xác suất có 2 phế phẩm; có ít hơn 3 phế phẩm b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm trên 0,99

21 A chơi cờ với B với xác suất thắng mỗi ván là p Tìm giá trị của p để A thắng chung cuộc trong bốn ván dễ hơn trong sáu ván Biết rằng để thắng chung cuộc thì phải thắng ít nhất 1 nửa tổng số ván

22 Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 10 viên đạn vào cùng một bia Xác suất bắn trúng đích mỗi lần của 2 xạ thủ tương ứng là 0,7 và 0,8 Tính xác suất:

a) Bia bị trúng đạn

b) Bia bị trúng 2 viên đạn

23 Theo điều tra của một ngân hàng về sử dụng thẻ tín dụng ở công ty, có 50% dùng thẻ A, 40% dùng thẻ B, 30% dùng thẻ C, 20% dùng thẻ A và B, 15% dùng thẻ A và C, 10% dùng thẻ B và C, 5% dùng cả ba thẻ A, B, C Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một người ở công ty đó, thì:

a) Người ấy dùng ít nhất một trong ba loại thẻ nói trên

b) Người ấy dùng thẻ B, biết rằng người ấy dùng thẻ A

24 Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến chào hàng ở công ty Phương Đông ba lần Xác suất

để lần đầu bán được hàng là 0,8 Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng là 0,9, còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng chỉ là 0,4 Tìm xác suất để:

a) Cả ba lần đều bán được hàng

b) Có đúng hai lần bán được hàng

4

Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes

25 Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của máy thứ hai là 0,85 Từ một kho chứa 1

3 sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ hai) lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra

a) Tính xác suất lấy được phế phẩm

b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm Tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất

26 Trong 20 tờ tiền có 3 tờ giả Một tờ bị rút đi không rõ thật hay giả Người ta rút ngẫu nhiên trong các tờ còn lại hai tờ

a) Tính xác suất để hai tờ tiền được rút ra ở lần thứ hai là tiền thật

b) Nếu biết rằng hai tờ tiền rút ra ở lần thứ hai là tiền thật Tìm xác suất để tờ tiền bị rút đi trước đó cũng là tiền thật

27 Người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 500 khách hàng về một loại sản sẩm mới dự định đưa ra

thị trường và thấy có: 160 người trả lời “Sẽ mua”, 240 người trả lời “Có thể sẽ mua”, 100 người trả lời “Không mua” Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm

tương ứng với những cách trả lời trên là 40%, 20% và 2%

a) Hãy ước tính tỉ lệ người thực sự mua sản phẩm đó?

b) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có khoảng bao nhiêu phần trăm đã trả

lời “Sẽ mua”?

28 Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung bình, rủi ro cao Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng với các loại trên là: 5%, 10%, 25% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung bình; 30% rủi ro cao

a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm

b) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là bao nhiêu?

29 Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá Xác suất để câu được cá ở những chỗ đó tương ứng là: 0,6; 0,8 và 0,7 Biết rằng ở một chỗ người đó đã thả câu 3 lần và chỉ câu được một con cá Tìm xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất

30 Xác suất bắn trúng mục tiêu của 3 người đi săn tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5 Ba người này cùng bắn một con nai và con nai bị trúng 1 viên đạn Tính xác suất bắn trúng của mỗi người

5

31 Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B bằng nhau Người ta lấy ngẫu nhiên

1 chai rượu trong kho và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác định xem đây là loại rượu nào Giả sử mỗi người có khả năng đoán đúng là 0,8 Có 3 người kết luận chai rượu thuộc loại A và một người kết luận chai rượu thuộc loại B Vậy chai rượu được chọn thuộc loại A với xác suất bằng bao nhiêu?

32 Trong những hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, tỉ lệ hộ làm ăn không có lãi là 5% Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn không có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không đúng hạn là 88% Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn có lãi, tỉ lệ trả

nợ ngân hàng không đúng hạn là 2%

a) Một hộ đã vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, thì xác suất hộ đó không trả nợ ngân hàng đúng hạn là bao nhiêu

b) Một hộ nuôi tôm đã không trả nợ ngân hàng đúng hạn, thì xác suất hộ đó làm ăn không

có lãi là bao nhiêu

33 Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5% Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động đạt được

độ chính xác khá cao song vẫn có sai sót Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% còn đối với phế phẩm là 1% Nếu sản phẩm bị kết luận là phế phẩm thì bị loại

a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm

b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm mà thực ra là chính phẩm

34 Sản phẩm sản xuất ra phải qua hai máy kiểm tra 1 và 2 Nếu được máy 1 chấp nhận thì mới được chọn để máy 2 kiểm tra tiếp Sau khi máy 2 chấp nhận thì sản phẩm mới được đưa ra thị trường Xác suất máy 1 chấp nhận là 0,9 và xác suất để máy 2 chấp nhận là 0,8 Biết rằng việc kiểm tra của 2 máy là độc lập

a) Tính tỉ lệ sản phẩm sản xuất ra không được đưa ra thị trường

b) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm không được đưa ra thị trường Tính xác suất để sản phẩm đó bị loại là do máy 2

35 Một túi chứa 9 nhẫn bạc và 1 nhẫn vàng Túi kia có 1 nhẫn bạc và 5 nhẫn vàng Từ mỗi túi rút ra ngẫu nhiên một nhẫn Những chiếc nhẫn còn lại được dồn vào một túi thứ ba Từ túi thứ ba này lại rút ngẫu nhiên một chiếc nhẫn Tính xác suất để ta rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba

28 Chọn ngẫu nhiên một người Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người được chọn

thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao {H1, H2, H3} lập nên một nhóm đầy

đủ các biến cố Gọi A = “chọn được người gặp rủi ro”

a) Tính P(A) bằng công thức xs đầy đủ Tính được P(A) = 0,135 Suy ra, tỉ lệ dân gặp rủi

ro trong một năm là 13,5%

b) Xác suất cần tính là P(H1|𝐴̅), sử dụng công thức Bayes để tính

29 Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người đó chọn câu chỗ thứ nhất, thứ hai và thứ 3

tương ứng {H1, H2, H3}lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố

Gọi A = “thả câu ba lần và chỉ câu được 1 con cá”, tính P(A) theo công thức xs đầy đủ,

các xs P(A|Hi) có thể tính theo công thức Becnulli

Xác suất cần tính là: P(H1|A), sử dụng công thức Bayes để tính xs này

30 Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba bắn

trúng mục tiêu A = “con nai bị trúng một viên đạn” = H H H1 2 3H H H1 2 3H H H1 2 3

Cần tính các xác suất P(H1|A), P(H2|A) và P(H3|A)

31 Gọi A = “chai rượu lấy ra thuộc loại A”, B = “chai rượu lấy ra thuộc loại B”, K = “3

người kết luận chai rượu loại A và 1 người kết luận loại B” XS cần tính là P(A|K), tính

xs này theo công thức Bayes (nhóm đầy đủ các biến cố là A, B)

Chú ý, biến cố (K|A) = “3 người kết luận đúng và 1 người kết luận sai” và (K|B) = “3

người kết luận sai và một người kết luận đúng” do đó các xs P(K|A) và P(K|B) có thể

tính theo công thức Becnulli

Đ/s: ( | ) 16

17

P A K 

35 Gọi H1 = “Hai nhẫn được ra từ mỗi túi là nhẫn vàng”, H1 = “Hai nhẫn được rút ra từ

mỗi túi là nhẫn bạc”, H3 = “Hai nhẫn được rút ra từ mỗi túi gồm 1 vàng và 1 bạc” {H1,

H2, H3}lập nên nhóm đầy đủ các biến cố

Gọi A = “rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba” Tính P(A) theo công thức xs đầy đủ

8

Chương 2

Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

1 Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong thời gian t các bộ

phận bị hỏng tương ứng là 0,15; 0,1; 0,13 Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t

a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Viết biểu thức hàm phân phối của X

c) Tìm xác suất trong thời gian t thiết bị có không quá một bộ phận bị hỏng

4 Trong 100 000 vé xổ số phát hành có 1 giải trị giá 100 triệu đồng, 20 giải trị giá 20 triệu đồng, 150 giải trị giá 5 triệu đồng, 1500 giải trị giá 1 triệu đồng Tìm số tiền lãi kì vọng của một người khi mua một vé xổ số, biết giá vé là 10 000 đồng

5 Có hai hộp sản phẩm; hộp thứ nhất có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, hộp thứ hai có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm a) Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra

b) Tìm xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm được lấy ra và kỳ vọng toán của nó nhỏ hơn 1

6 Một hộp có 10 sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm Gọi X là số phế phẩm có trong hộp X có bảng phân phối xác suất như sau:

Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 20 ngàn đồng, bán ra với giá 25 ngàn đồng song nếu

bị ế thì cuối ngày phải bán với giá 15 ngàn đồng mới bán hết Để lợi nhuận trung bình là

lớn nhất thì mỗi ngày cửa hàng nên đặt mua bao nhiêu kg thực phẩm

8 Một công ty thuê một luật sư trong một vụ kiện với hai phương án trả công như sau:

Phương án 1: Trả 7 triệu đồng bất kể thắng hay thua kiện

Phương án 2: Trả 1 triệu đồng nếu thu kiện và 15 triệu đồng nếu thắng kiện

Luật sư đã chọn phương án 2 Vậy theo đánh giá của luật sư thì khả năng thắng kiện của công ty tối thiểu là bao nhiêu

9 Theo thống kê, một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm một năm nữa với xác suất 0,995 Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó với giá là

1 triệu đồng Trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi thường là 100 triệu đồng Giả thiết bỏ qua toàn bộ các chi phí khác ngoài việc chi trả tiền bảo hiểm cho khác thì lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm loại này là bao nhiêu

10 Trong một cuộc thi, người ta có hai hình thức thi như sau:

Hình thức thứ nhất: Mỗi người phải trả lời hai câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm Hình thức thứ hai: Nếu trả lời đúng câu thứ nhất thì mới được trả lời câu thứ hai, nếu

không thì dừng Trả lời đúng câu thứ nhất được 5 điểm, trả lời đúng câu thứ hai được 10 điểm

Trong cả hai hình thức thi, các câu trả lời sai đều không được điểm Giả sử xác suất trả lời đúng mỗi câu đều là 0,8; việc trả lời đúng mỗi câu là độc lập với nhau Theo bạn, nên chọn hình thức nào để số điểm trung bình đạt được nhiều hơn

11 Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:

với  là số dương cho trước Tìm m0 (mốt) của X

13 Theo dõi hiệu quả kinh doanh của một công ty qua nhiều năm, các chuyên gia thiết lập bảng phân phối xác suất của lãi suất đầu tư của công ty như sau:

10

(%)

a) Khả năng đầu tư vào công ty đó để đạt lãi suất ít nhất 11% là bao nhiêu?

b) Tìm mức lãi suất nhiều khả năng nhất và mức lãi suất trung bình khi đầu tư vào công

ty đó

c) Tìm mức độ rủi ro khi đầu tư vào công ty đó

14 Thống kê về tai nạn giao thông cho thấy tỉ lệ tai nạn xe máy (vụ/tổng số xe/năm) chia theo mức độ nhẹ và nặng tương ứng là 0,001 và 0,005 Một công ty bán bảo hiểm xe máy với

mức thu phí hàng năm là 30 000 đồng và số tiền bảo hiểm trung bình một vụ là 1 triệu đồng đối với trường hợp nhẹ và 3 triệu đồng đối với trường hợp nặng Hỏi lợi nhuận trung bình

hàng năm mà công ty thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm là bao nhiêu? Biết rằng thuế doanh thu phải nộp là 10% và tổng tất cả các chi phí khác chiếm 15% doanh thu

15 Một cửa hàng mua vào bốn thùng hàng với giá 120 nghìn đồng/thùng Số thùng hàng chưa

bán được, khi hết hạn sử dụng được nhà phân phối mua lại với số tiền bằng 3

4 số tiền cửa hàng đã mua vào Gọi X là số thùng hàng bán được của cửa hàng, X có phân phối xác suất như sau:

15

2 15

2 15

6 15

4 15Nếu giá bán ra của mỗi thùng hàng trên như nhau, thì giá đó là bao nhiêu để lợi nhuận kì vọng đối với 4 thùng hàng này là 40 nghìn đồng/thùng

16 Thống kê về mức độ hỏng và chi phí sửa chữa của hai loại động cơ A và B, có bảng số liệu sau:

1 khi 5

x

x x

a) Tìm k? Tính xác suất để trong 10 sản phẩm có 3 sản phẩm hỏng trước 6 năm

b) Một công ty kinh doanh sản phẩm này khi bán được một sản phẩm lãi 500.000 đồng Nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì phải bỏ ra 1.000.000 đồng cho chi phí sửa chữa Muốn có tiền lãi trung bình là 300.000 đồng cho một sản phẩm bán được thì công ty phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu năm

19 Thời gian (phút) xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối xác suất như sau:

0 voi 0F( ) 3 2 voi 0 1

b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình

20 Tuổi thọ của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất:

3

0 khi 5( )

khi 5

x

f x k

x x

a) Tìm k? Tính tuổi thọ trung bình của sản phẩm

b) Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 20% thì phải quy định thời gian bảo hành

12

a) Xác định k để f x( ) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X và tìm hàm phân phối xác suất

b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X

23 Nhu cầu hàng năm về mặt hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm):

(30 ), 0;30 ( )

c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về mặt hàng A

24 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất như sau:

b) Tìm hàm phân phối của X

c) Tìm kì vọng và phương sai của X

c) X và Y có độc lập với nhau không? Tính 𝜌𝑋𝑌

d) Lập bảng phân phối của T = X + Y Tính E(T) và V(T)

28 Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp có 3 cầu đỏ, 4 cầu trắng, 5 cầu vàng Gọi X, Y tương ứng là số cầu đỏ, cầu vàng có trong 3 quả chọn ra

a) Lập bảng phân phối đồng thời của X và Y

b) Tìm các phân phối biên của X và Y

c) Tìm phân phối của số cầu đỏ biết số cầu vàng đã chọn được là 1

c) Tìm 𝜌𝑋𝑌, từ đó cho kết luận về sự phụ thuộc giữa thu nhập của vợ chồng

d) Lập bảng phân phối xác suất của tổng thu nhập của các cặp vợ chồng Tính trung bình của tổng thu nhập đó

8 HD: Luật sư lựa chọn phương án 2, như vậy theo đánh giá của luật sự thì:

E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 2”)  E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 1”)

9 Gọi X là lợi nhuận (triệu đồng) của công ty khi bán 1 thẻ bảo hiểm, lập bảng phân phối xác suất của X, tính E(X)

10 Gọi X, Y lần lượt là số điểm đạt được khi chọn hình thức thi 1 và 2 tương ứng Lập bảng ppxs của X, Y, tính và so sánh E(X), E(Y)

17 HD: Gọi H1, H2, H3 tương ứng là các biến cố tình trạng thời tiết năm đó là “xấu”, “bình thường” và “tốt”, { H1, H2, H3} tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố; A = “sản xuất nông nghiệp được mùa” và X = “mức xuất khẩu lương thực” (triệu tấn)

Khi đó: (X = 2,5) = (H1|A); (X = 3,3) = (H2|A); (X = 3,8) = (H3|A)

18 a) k = 25 Sử dụng công thức công thức Becnulli

19 a) a = 2

b) Gọi X là thời gian (phút) xếp hàng chờ mua hàng của khách, cần tính E(X)

20 a) k = 50 Gọi X là tuổi thọ (năm) của sản phẩm, cần tính E(X)

b) Gọi t (năm) là thời gian bảo hành sản phẩm Cần tìm t sao cho: P(X ≤ t) = 0,2

15

Chương 3

Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Phân phối nhị thức – B(n, p)

1 Thống kê cho thấy cứ 3 lần chào hàng thì có một lần bán được hàng Nếu chào hàng 20 lần

và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo quy luật gì?

2 Một người trả lời ngẫu nhiên 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng Gọi X là số câu trả lời đúng của người đó

a) Nêu quy luật phân phối xác suất của X

b) Tìm số câu trả lời đúng trung bình của người đó

c) Tìm số câu trả lời đúng có xác suất cao nhất của người đó

3 Gieo 100 hạt đậu tương Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,9 Tính xác suất để trong 100 hạt

6 Xác suất để máy bị hỏng trong một ngày hoạt động là 0,01 Mỗi lần máy hỏng chi phí sửa

chữa hết 1 triệu đồng Vậy có nên kí một hợp đồng bảo dưỡng là 120 ngàn đồng một tháng

để giảm xác suất hỏng của máy đi một nửa hay không và nếu kí thì hiệu quả mang lại là bao nhiêu

Phân phối siêu bội – H(N, M, n)

7 Trong 20 giấy báo thuế có 3 giấy mắc sai sót Lấy ngẫu nhiên 5 giấy để kiểm tra Tìm phân phối xác suất; trung bình và phương sai của số giấy mắc sai sót có trong 5 giấy lấy ra

8 Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp lẫn 5 tờ 50 ngàn tiền

giả với 15 tờ tiền thật Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ đem đi kiểm tra và giao hẹn, nếu phát hiện có tiền giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật Tìm số tiền phạt trung bình mà khách hàng phải trả

16

Phân phối Poisson – P(λ)

9 Một cửa hàng có 4 chiếc ô tô cho thuê, lượng cầu (đơn vị chiếc) thuê xe trong một ngày là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với E X( )2

a) Tìm luật phân phối xác suất của số ô tô cửa hàng này cho thuê được trong một ngày b) Tính số ô tô trung bình mà cửa hàng cho thuê trong một ngày?

10 Số khách hàng vào một siêu thị trong 20 phút là biến ngẫu nhiên phân phối Poisson với số khách trung bình là 6 Tính xác suất để trong 10 phút nào đó có hơn 2 khách vào siêu thị

11 Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 150 cú điện thoại trong 1 giờ Tìm xác suất

để trung tâm này nhận được không quá 2 cuộc điện thoại trong 1 phút

12 Một cửa hàng có 3 xe ô tô cho thuê Hàng ngày phải nộp thuế 50 ngàn đồng/1 xe dù xe có được thuê hay không Mỗi chiếc xe được thuê với giá 700 ngàn đồng/1 ngày Giả sử yêu

cầu thuê xe của cửa hàng là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số 2,8 Tính số tiền lãi trung bình của trạm thu được trong một ngày

Phân phối đều – U(a; b)

13 Một xe buýt xuất hiện tại bến đợi lúc 7 giờ sáng, cứ 15 phút một chuyến Giả sử thời gian xuất hiện tại bến đợi ( kí hiệu là X ) tại bến đợi của một hành khách có phân phối đều từ 7 giờ đến 7 giờ 30

a) Viết hàm phân phối xác suất của X

b) Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi ít hơn 5 phút; nhiều hơn 10 phút

14 Một nhà kinh doanh muốn đầu tư 10 triệu đồng vào một công ty mà nếu trong năm tới công

ty làm ăn thuận lợi có thể sẽ mang lại lãi suất đến 14% còn nếu gặp khó khăn thì lãi suất có thể giảm đến mức 4% Trong khi đó nếu gửi tiền vào ngân hàng thì lãi suất đảm bảo 8%/năm Vậy nếu dùng tiền để đầu tư thì khả năng có lãi hơn gửi ngân hàng là bao nhiêu

Phân phố mũ – E(λ)

15 Thời gian phục vụ mỗi khách hàng (phút/khách hàng) tại một cửa hàng là biến ngẫu nhiên

có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất như sau:

5

5e voi 0( )

b) Tìm thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng

16 Khoảng thời gian mà hai khách hàng kế tiếp nhau đến ngân hàng là biến ngẫu nhiên phân phối mũ với trung bình là 3 phút Giả sử vừa có một khách đến Tìm xác suất để trong vòng

ít nhất 2 phút nữa mới có người khách tiếp theo đến ngân hàng

17

Phân phối chuẩn – N(μ; σ 2 )

17 Chiều cao của một người trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 175 cm và độ lệch chuẩn 4 cm Hãy xác định:

a) Tỉ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180 cm

b) Tỉ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm

c) Giá trị m, biết 33% người trưởng thành có chiều cao dưới mức m

d) Giới hạn biến động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung bình

18 Thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay tới lúc trả tiền của một khách hàng tại một ngân hàng

là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 18 tháng, độ lệch tiêu chuẩn 4 tháng a) Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng trong khoảng từ 10 đến 19 tháng; không

ít hơn một năm; ít hơn 9 tháng

b) Khoảng thời gian tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng vượt thời gian đó không quá 1%

19 Gọi X là lượng điện tiêu thụ (tính bằng kWh) hàng tháng của một hộ gia đình.Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn với tham số 70kWh và   40kWh Giá tiền điện một tháng là 1500 đồng/kWh nếu lượng điện tiêu thụ trong tháng đó không quá 50 kWh Tháng nào dùng quá mức này sẽ phải trả 700 đồng cho 1 kWh dôi ra Gọi Y là tiền

điện (nghìn đồng) phải trả hàng tháng của một hộ gia đình Tính các xác suất:

a) P(60 Y 317) b) P Y( 251)

HD: a) (60 Y 317)(60 Y 75) (75  Y 317)(4X 50) (50 X 160)

20 Thời gian hoạt động tốt (không phải sửa chữa) của một máy tính là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn với  4300giờ và   250giờ Giả thiết mỗi ngày một chiếc máy loại này được dùng trong 10 giờ

a) Tìm tỉ lệ máy tính loại này phải bảo hành, nếu thời gian bảo hành là 360 ngày

b) Phải nâng chất lượng máy tính loại này bằng cách làm cho thời gian hoạt động tốt trung bình của sản phẩm lên bao nhiêu để tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành và  vẫn như

trên song có thể nâng thời gian bảo hành lên thành 720 ngày

21 Khi thâm nhập một thị trường mới, doanh nghiệp chỉ dự kiến được rằng doanh số hàng tháng có thể đạt tuân theo luật phân phối (xấp xỉ) chuẩn Khả năng đạt được doanh số trên

40 triệu là 0,2 và dưới 25 triệu là 0,1

a) Tìm kì vọng và phương sai của doanh số hàng tháng này

b) Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt được doanh số ít nhất là 32 triệu/tháng

18

22 Tuổi thọ của một loại bóng đèn (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 4,2 năm, phương sai 2,25 (năm)2 Khi bán một bóng đèn thì công ty lãi 100 ngàn đồng, song nếu đèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng

a) Nếu quy định thời gian bảo hành là 3 năm thì tiền lãi trung bình khi công ty bán một bóng đèn là bao nhiêu

b) Để tiền lãi trung bình khi bán một bóng đèn là 30 ngàn đồng thì phải quy định thời gian

bảo hành là bao nhiêu?

23 Độ dài chi tiết (cm) do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối (xấp xỉ) chuẩn với độ lệch chuẩn là 9 cm Nếu được biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất có độ dài không vượt quá 84 cm thì xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết được ít nhất 1 chi tiết có độ dài không dưới 80 cm là bao nhiêu

24 Đầu tư vào hai thị trường A và B, có lãi suất là các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối chuẩn

Lãi trung bình Độ lệch chuẩn

a) Muốn có lãi hơn 8%, trong ba phương án sau phương án nào là tốt nhất:

Phương án 1: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường A

Phương án 2: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường B

Phương án 3: Chia đều vốn vào cả hai thị trường

b) Muốn rủi ro (phương sai) là nhỏ nhất thì phải đầu tư vào hai thị trường theo tỉ lệ nào