Các bài toán hình GK2 toán 9

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN ACDAMD mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau, cùng nhìn cạnh AD nên tứ giác ACMD nội tiếp.. CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

TỔNG HỢP: GV- NGUYỄN CHÍ THÀNH

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2 – LỚP 9 CÁC TRƯỜNG HÀ NỘI

Bài 1 Tây Hồ-2018-2019 Cho đường tròn O R;  và đường thẳng d không có điểm chung với đường

tròn Từ điểm M thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến MA MB tới đường tròn Hạ OH vuông góc ,

với đường thẳng d tại H Nối AB cắt OH tại K , cắt OM tại I Tia OM cắt đường tròn O R;  tại

E

a) Chứng minh: AOBM là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: OI OM OK OH

c) Chứng minh: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

d) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn nhất

A

O

M

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

Xét tứ giác AOBM có: MAOMBO180

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau Suy ra AOBM là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

- Xét (O) có AOEBOE (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

sđ cung AE = sđ cung BE BAE MAE

- Xét ABM có:

+) MO là phân giác thứ nhất (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

+) AE là phân giác thứ hai (cmt)

+) MO cắt AE tại EE là tâm đường tròn nội tiếp AMB (đpcm)

d) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn nhất

Bài 2 – Nam Từ Liêm- 2018-2019

Cho đường trònO R , dây cung BC không đi qua tâm Điểm ;  A di động trên cung nhỏBC AB AC

Kẻ đường kính AP Gọi D là hình chiếu của A trên BC , gọi , E F lần lượt là hình chiếu của điểm , B C

trên AP

a) Chứng minh tứ giác là tứ giácABDE nội tiếp

b) Chứng minhBD AC AD PC

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

DBACPA ( chắn cung AC )

Vậy BDA PCA g g  BD PC

c) I là trung điểm của BCOI BCIK∥AD

Xét PDA có O trung điểm PA , OK AD∥ Vậy K là trung điểm PD

Xét PDN có I trung điểm DN , K là trung điểm PD Vậy IK NP∥

Ta có IK∥NPBNP 90 Ta có N E, nhìn PB dưới một góc vuông nên BENP nội tiếp

BNEBPE( chắn cung BE) (*)

BPE BCA( chắn cung BA) (**)

Từ (*) và (**) suy ra BNE BCA Vậy EN AC∥

d) Ta có EDCBAP( tứ giác ABDE nội tiếp)

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

Bài 3 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC, ABAC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính

R Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD BE CF, , của tam giác ABC

1) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn

2) Vẽ đường kính AK của đường tròn  O Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng

dạng với nhau Suy ra AB AC 2 R AD

3) Chứng minh rằng OC vuông góc với DE

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

TỔNG HỢP: GV- NGUYỄN CHÍ THÀNH

1) Ta có : AEH  90 và AFH  90

Do đó: AEHAFH 180 mà đây là hai góc đối nhau

 Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn

Ta lại có, AEB ADB 90

 E và D cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông

Vậy tứ giác AEDB nội tiếp được

2) Ta có ACK  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hai tam giác vuông ADB và ACK , có:

ABDAKC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra ABD AKC g g  AB AD AB AC AK AD AB AC 2 R AD

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ABAC nội tiếp đường tròn O Các đường cao AF và

CE của tam giác ABC cắt nhau tại H F( BC E; AB)

a) Chứng minh tứ giác BEHF nội tiếp được đường tròn

b) Kẻ đường kính AK của đường tròn O Chứng minh: Hai tam giác ABK và AFC đồng dạng

c) Kẻ FM song song vớiBK M( AK) Chứng minh: CM vuông góc với AK

Hướng dẫn

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

E F    E F   Vậy tứ giác BEHF nội tiếp được một đường tròn ( vì tổng hai góc đối bằng 1800)

b) Ta có : ABK 900 ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

c) CBK CAK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CK)

CBK CFM ( so le trong) CFM CAK  Tứ giác AFMC nội tiếp

và I ), tia AK cắt nửa đường tròn  O tại M , tia BM cắt tia CI tại D Chứng minh:

1) Các tứ giác: ACMD BCKM; nội tiếp đường tròn

2) CK CD  CA CB

3) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn  O chứng minh B K N, , thẳng hàng

4) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động

trên đoạn thẳng CI

Hướng dẫn

M K

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

ACDAMD mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau, cùng nhìn cạnh

AD nên tứ giác ACMD nội tiếp

BNA ( góc nt chắn nửa đường tròn) nên BN ADB K N, , thẳng hàng

4) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và EDCBDC, lại có: BDCCAK (cùng phụ

với B ), suy ra: EDCCAK Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì 'O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AE cố định

Bài 6 ( 3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C, là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại I K, là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI ( K khác C

và I ), tia AK cắt nửa đường tròn  O tại M , tia BM cắt tia CI tại D Chứng minh:

1) Các tứ giác: ACMD BCKM; nội tiếp đường tròn

O

K

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

4) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động

ACDAMD mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau, cùng nhìn cạnh

AD nên tứ giác ACMD nội tiếp

+ Xét tứ giác BMKC có BMKBCK 900900 1800 mà đây là hai góc đối nhau, nên tứ giác

BNA ( góc nt chắn nửa đường tròn) nên BN ADB K N, , thẳng hàng

4) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và EDCBDC, lại có: BDCCAK (cùng phụ

với B ), suy ra: EDCCAK Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O'cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AE cố định

Bài 7 - Hà Đông-2018-2019

Cho O R MN là dây không đi qua tâm ;  C D, là hai điểm bất kì thuộc dây MN ( C D,

không trùng với M N, ) A là điểm chính giữa của cung nhỏ MN Các đường thẳng AC và

AD lần lượt cắt  O tại điểm thứ hai là E F,

a).Chừng minh ACD = AFE và tứ giác CDEF nội tiếp

E

N

D

M I

O

K

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

Có I là tâm đường tròn ngoại tiếp MEC IM IEIC

Có AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Có 2IMC180 MIC180 2MEC (do MIC2MEC), mà CMAMEC

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

Suy ra M I B, , thẳng hàng

Bài 8 - (BTL-2017-2018) Cho nửa đường tròn  O , đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB .Trên cung KB lấy một điểm M (khác K B, ) Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN BM Kẻ dây / /

BP KM Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM E; là giao điểm của PB và AM .Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn

Q

E

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

Mà OSBOPM 450 Q OSB45 SO QA// hay SO AR// (1)

Ta có: QRS SMP (tứ giác PRSM nội tiếp) QRS QABRS AB// (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác ARSO là hình bình hành

Lấy điểm I C D, , lần lượt là trung điểm của RS AO, và OB như vậy ,C D là các điểm cố định Chứng minh dễ dàng các tứ giác ARIC BSID, là các hình bình hành 0

Bài 9 –Lê Quý Đôn-2017-2018

Cho đường tròn ( ; )O R Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn

( ,B C là hai tiếp điểm) Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( ) O tại D (D khác B), đường thẳng AD cắt ( )O tại E (E khác D)

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

b) Chứng minh AE AD AB2

c) Chứng minh góc CEA = góc BEC

d) Giả sử OA3R Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD theo R

Hướng dẫn

a) Ta có OBA OCA 1800 nên tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn

b) Xét ABE và ADB có EBA ADB ABE ADB g g( ) AB AE AE AD AB2

c) Ta có CEA1800ECA EAC 1800CBEADB1800CBEBCEBEC

d) Gọi K là giao điểm của OA BC, và H là giao điểm của CO BD,

Ta có OA là đường trung trực BC nên OACK

Áp dụng hệ thức lượng cho CAO ta có

2 2

B

C

H

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

TỔNG HỢP: GV- NGUYỄN CHÍ THÀNH

Bài 10 -Newton-2016-2017. Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vuông góc với

AB tại I (I nằm giữa A và O ) Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD

AID CIB  DAI BCI(2 góc nội tiếp cùng chắn DB)

nên AID CIB g g  AI ID IA IB IC ID

Chứng minh tương tự AIF∽AEB g g  AE AF AI AB

Mà ACB900 nên ACB vuông tại C có đường cao CI Áp dụng hệ thức lượng ta có:

2

AI AB AC

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

AE AFAC c) Gọi M là giao điểm của đường tròn  J ngoại tiếp tam giác CFE ta có

CMF CEF CBA  (góc nội tiếp cùng chắn một cung)

//

FM AB

 mà ABCIFMCICFM900 suy ra CM là đường kính  J nên JBC cố định

Bài 11 -Thái Thịnh-2018-2019. Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vuông góc

với AB tại I (I nằm giữa A và O ) Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

TỔNG HỢP: GV- NGUYỄN CHÍ THÀNH

nên AID CIB g g  AI ID IA IB IC ID

Chứng minh tương tự AIF∽AEB g g  AE AF AI AB

Mà ACB900 nên ACB vuông tại C có đường cao CI Áp dụng hệ thức lượng ta có:

2

AI AB AC

AE AFAC c) Gọi M là giao điểm của đường tròn  J ngoại tiếp tam giác CFE ta có

CMF CEF CBA  (góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O ; E

không trùng A , không trùng O ) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung

MC Dây AM cắt CD tại F Tia BM cắt đường thẳng CD tại K

a) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp

b) Chứng minh BF vuông góc với AK và EK EF EA EB

c) Tiếp tuyến của  O tại M cắt tia KD tạiI Chứng minhIK  IF

Hướng dẫn

I K

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

a) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp

Ta có FEBFMB900

Nên 4 điểm E, F, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính BF, suy ra tứ giác BMFE nội tiếp

b) Chứng minh BF vuông góc với AK và EK EF EA EB

IKM

  cân tại I IKIM

CMTT: IMF cân tại I IFIM IK  IF

Bài 13 Dịch Vọng-2017-2018: Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) không có điểm chung Kẻ OH vuông góc với đường thẳng d tại H Lấy điểm M bất kì thuộc d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O; R) Nối AB cắt OH, OM lần lượt tại K và I

a) Chứng minh 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh OK.OH = OI.OM

c) Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định

d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

TỔNG HỢP: GV- NGUYỄN CHÍ THÀNH

a) Ta có 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OM  AB tại I

Suy ra tứ giác MIKH nội tiếp

Do đó OIK đồng dạng OHM (g – g)

Vậy OK.OH = OI.OM

c) Ta có

2

Vậy K cố định hay khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định

d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

Bài 14 -Ngô Sĩ Liên Cho O đường kính AB M là một điểm cố định trên tiếp tuyến tại , A của O

Vẽ tiếp tuyến MC và cát tuyến MHK (H nằm giữa M và K tia ; MK nằm giữa hai tia MB MO , ).Các đường thẳng BH BK cắt đường thẳng MO tại , E và F

a) Chứng minh rằng tứ giác AMCO tứ giác MGKC và tứ giác MCHE nội tiếp ,

b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK cắt O tại , , I CI cắt MK tại N Chứng minh

NH NK

c) OEOF

Hướng dẫn

a) Chứng minh rằng tứ giác AMCO, tứ giác MGKC và tứ giác MCHE nội tiếp

*) Chứng minh tứ giác AMCO nội tiếp

Vì MAlà tiếp tuyến của  O (gt) nên MAAOMAO90

Vì MC là tiếp tuyến của  O (gt) nên MCCOMCO90

Xét tứ giác AMCO có MAO MCO90 90 =180

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn đường kính MO

*) Chứng minh tứ giác MFKC nội tiếp

Ta có BKC là góc nội tiếp chắn cung BC của  O nên =1

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

TỔNG HỢP: GV- NGUYỄN CHÍ THÀNH

COB là góc ở tâm chắn cung BC của (O) nên COB sđ BC COB2 BKC  1

Vì MA MC, là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của  O COM  AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà AOM  BOF(đối đỉnh) COM BOF

Vì MCO vuông tại O CMO COM 90 2 CMO2 COM 180

Hay 2CMO COM BOF180

Lại có COM BOCBOF180 BOC2CMO  2

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác MFKC nội tiếp

*) Chứng minh tứ giác tứ giác MCHE nội tiếp

Xét tứ giác MCHE có CME CHE180 cmt.

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác MCHE nội tiếp

b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK, cắt  O tại I CI, cắt MK tại N Chứng minh

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

12

Xét tứ giác MCNO có MOC HNC cmt 

Mà hai góc này là hai góc của 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh MC của tứ giác MCNO

⇒ Tứ giác MCNO nội tiếp

Lại có MCO90 cmtTứ giác MCNO nội tiếp đường tròn đường kính MO

90

MNO

  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MO )

hay ONHKNH NK(quan hệ đường kính vuông góc với dây cung của  O

c) OE = OF

Xét tứ giác AMNO có MAOMNO90 90 180

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AMNO nội tiếp

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM )

Mà AOM BOF(đối đỉnh)

Có BEOEMHEHM (góc ngoài của MEH )

Mà EHM BHK (đối đỉnh) BEOEMHBHK *

Có OAN EMH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON )

NAK NAO OAK EMH BHK

     (do OAK BHKhai góc nội tiếp cùng chắn cung BK) (**)

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

a) Chứng minh rằng tứ giác AMCO tứ giác MGKC và tứ giác MCHE nội tiếp ,

b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK cắt O tại , , I CI cắt MK tại N Chứng minh

NH NK

c) OEOF

Hướng dẫn

d) Chứng minh rằng tứ giác AMCO, tứ giác MGKC và tứ giác MCHE nội tiếp

*) Chứng minh tứ giác AMCO nội tiếp

CÁC BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI GK2-TOÁN 9-CÁC TRƯỜNG HN

Vì MAlà tiếp tuyến của  O (gt) nên MAAOMAO90

Vì MC là tiếp tuyến của  O (gt) nên MCCOMCO90

Xét tứ giác AMCO có MAO MCO90 90 =180

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn đường kính MO

*) Chứng minh tứ giác MFKC nội tiếp

Ta có BKC là góc nội tiếp chắn cung BC của  O nên =1

2

BKC sđ BC

COB là góc ở tâm chắn cung BC của (O) nên COB sđ BC COB2 BKC  1

Vì MA MC, là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của  O COM  AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà AOM  BOF(đối đỉnh) COM BOF

Vì MCO vuông tại O CMO COM 90 2 CMO2 COM 180

Hay 2CMO COM BOF180

Lại có COM BOCBOF180 BOC2CMO  2

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác MFKC nội tiếp

*) Chứng minh tứ giác tứ giác MCHE nội tiếp