Tài liệu Bài giảng kỹ thuật số P1 pdf

Đổi giữa các cơ số Phần nguyên và phần thập phân được đổi một cách riêng biệt Phần nguyên được đổi bằng cách sử dụng phép chia lặp cho cơ số mới và sử dụng chuỗi các số dư phát sinh để

CHƯƠNG 1 HỆ THỐNG SỐ ĐẾM

1.1 CƠ SỐ - CHUYỂN ĐỔI CƠ SỐ

1.1.1 Khái niệm

Bất cứ một số nguyên dương R (R>1) đều có thể được chọn làm cơ số cho một

hệ thống số

Nếu hệ thống có cơ số R thì các số từ 0 đến (R-1) được sử dụng

Ví dụ: nếu R=8 thì các chữ số cần thiết là 0,1,2,3,4,5,6,7

Các hệ thống cơ số thông dụng trong kỹ thuật số:

• Thập phân (cơ số 10)

• Nhị phân (cơ số 2)

• Bát phân (cơ số 8)

• Thập lục phân (cơ số 16)

Một hệ thống với cơ số R được biểu diễn dưới dạng

(…a 3 a 2 a 1 a 0 a -1 a -2 a -3 …) R

Khai triển theo hàm mũ của R

N =(a3a2a1a0a-1a-2a-3)R

= a3.R3 + a2.R2 + a1.R1 + a0.R0 + a-1.R-1 + a-2.R-2 + a-3.R-3 Với các cơ số lớn hơn 10 thì cần phải thêm các ký hiệu để biểu hiện các số lớn

hơn 10 Ví dụ hệ thập lục phân (hex) có cơ số 16 thì A biểu thị 10, B biểu thị

11,…, F biểu thị 15

Đổi giữa các cơ số

Phần nguyên và phần thập phân được đổi một cách riêng biệt

Phần nguyên được đổi bằng cách sử dụng phép chia lặp cho cơ số mới và sử dụng chuỗi các số dư phát sinh để tạo ra số mới Phép tính số học được thực hiện trên các số hạng của cơ số cũ

Phần thập phân được đổi bằng cách nhân lặp lại cho cơ số mới, sử dụng các

số nguyên được tạo ra để biểu thị phân số được chuyển đổi, phép tính số học được thực hiện trên các cơ số cũ

Phần nguyên

Phần thập phân

Ví dụ: Biến đổi phần nguyên trong hệ cơ số 10 sang hệ cơ số R

N = (anan-1…a2a1a0)R = an.Rn + an-1.Rn-1 + … + a2.R2 + a1.R1 + a0 Nếu chia N cho R, nhận được số dư là a0

R

N = an.Rn-1 + an-1.Rn-2 + … + a2.R1 + a1 +

R

a0 = Q1 + số dư a0 Chia Q1 cho R

R

Q1

= an.Rn-2 + an-1.Rn-3 + … + a3.R1 + a2 +

R

a1

= Q2 + số dư a1 Quá trình trên được thực hiện tiếp tục cho đến khi tìm được tất cả các hệ số an

Ví dụ: Biến đổi phần thập phân của hệ cơ số 10 sang hệ cơ số R

F = (a-1a-2a-3…a-m)R

= a-1.R-1 + a-2.R-2 + a-3.R-3 +… + a-m.R-m Nhân F với R

FR = a-1 + a-2.R-1 + a-3.R-2 +… + a-m.R-m+1 = a-1 + F1 Với a-1 là phần nguyên, F1 là phần lẻ của phép nhân Tiếp tục nhân R với F1

F1.R = a-2 + a-3.R-1 + a-4.R-2 + … + a-m.R-m+2 = a-2 + F2 Tiếp tục quá trình cho đến khi xác định hết các hệ số a-m

Biến đổi giữa 2 cơ số khơng phải là cơ số 10 cĩ thể thực hiện dễ dàng bằng cách

đầu tiên biến đổi sang cơ số 10 rồi biến đổi tiếp từ cơ số 10 sang cơ số mới

1.1.2 Hệ thập phân (hệ cơ số 10)

Hệ thập phân được kết hợp bởi 10 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Một chữ số trong hệ thập phân được biểu diễn theo các số mũ của 10

Số mang trọng số lớn nhất gọi là MSD (most significant digit) Số mang trọng số nhỏ nhất gọi là LSD (least significant digit)

Ví dụ: Số 5346,72 biểu diễn như sau:

5346,72 = 5.103 + 3.102 + 4.10 + 6 + 7.10-1 + 2.10-2

10 3

,

10 2 10 1 10 0 10 -1 10 -2

phân

LSD Trọng số

• Đếm trong hệ thập phân:

5 105

6 106

7 107

8 108

Tổng quát với N chữ số có thể đếm được 10N số khác nhau, bao gồm cả số 0 Số

thập phân lớn nhất là 10N – 1

1.1.3 Hệ nhị phân (hệ cơ số 2)

Hệ nhị phân dùng hai chữ số 0, 1

Một số trong hệ nhị phân được biểu diễn theo số mũ của 2

Một chữ số nhị phân gọi là bit

Chuỗi 4 bit nhị phân gọi là nibble

Chuỗi 8 bit gọi là byte

Chuỗi 16 bit gọi là word

Chuỗi 32 bit gọi là double word

Chữ số nhị phân bên phải nhất của chuỗi bit gọi là bit có ý nghĩa nhỏ nhất (least

significant bit – LSB)

Chữ số nhị phân bên trái nhất của chuỗi bit gọi là bit có ý nghĩa lớn nhất (most

significant bit – MSB)

Thường dùng chữ B cuối chuỗi bit để xác định đó là số nhị phân

Ví dụ: Số 1011,101B biểu diễn giá trị số:

1011,101B = 1.23 + 0.22 + 1.21 +1.20 + 1.2-1 + 0.2-2 + 1.2-3

2 3

1

2 2 2 1 2 0 2 -1 2 -3

phân

LSB

• Đếm trong hệ nhị phân

Xét bộ đếm 4 bit, bắt đầu với tất cả các bit = 0

23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

Cũng như trong hệ thập phân, nếu dùng N bit sẽ đếm được 2N lần

• Chuyển số nhị phân thành số thập phân:

Phương pháp: Cộng trọng số các bit 1

Ví dụ: 1011,11B = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1 + 1.2-1 + 1.2-2 = 11,75

• Chuyển số thập phân thành số nhị phân:

Phương pháp:

Phần nguyên: Chia 2, nhớ lại số dư

Phần thập phân: Nhân 2, nhớ lại phần nguyên

Ví dụ: Chuyển (25)10 ra số nhị phân

12 2

25 = + số dư 1 6

2

12 = + số dư 0 3

2

6 = + số dư 0

1 2

3 = + số dư 1 0

2

1 = + số dư 1

Trọng số

Ví dụ: Chuyển (0,625)10 thành số nhị phân

0,625 × 2 = 1,25 0,25 × 2 = 0,5 0,5 × 2 = 1,0 0,625 = 0,101B

1.1.4 Các phép tốn số học trên số nhị phân

Các phép toàn số học trên số nhị phân chủ yếu vẫn giống các phép toán trên số

thập phân, ngoại trừ phép cộng và phép nhân thì đơn giản hơn

Bảng phép cộng cho số nhị phân

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 nhớ 1 cho số hạng kế tiếp

Ví dụ: cộng 1310 với 1110 dưới dạng nhị phân

1111 ← các số nhớ

1310 = 1101

1110 = 1011

11000 =2410

Bảng phép trừ cho số nhị phân

0 - 0 = 0

0 - 1 = 1 mượn 1 từ số hạng kế tiếp

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0 Mượn1 từ 1 cột tương đương với việc trừ 1 tại cột đó

Ví dụ:

1010

← (mượn 1 từ cột thứ 3)

1101

← (mượn)

Bảng phép nhân cho số nhị phân

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

Ví dụ: Nhân 1310 với 1110 ở dạng nhị phân

1101 1011

1101

1101

0000

1101

10001111 =14310 Đối với máy tính, phép nhân được thực hiện bằng phương pháp cộng và dịch

trái:

- Thành phần đầu tiên của tổng sẽ chính là số bị nhân nếu như LSB của số

nhân là 1 Ngược lại, LSB của số nhân bằng 0 thì thành phần này bằng 0

- Mỗi thành phần thứ i kế tiếp sẽ được tính tương tự với điều kiện là phải dịch

trái số bị nhân i bit

- Kết quả cần tìm chính là tổng các thành phần nói trên

Phép chia cho số nhị phân

Phép chia các số nhị phân cũng tương tự như đối với các số thập phân

Ví dụ: 30/6

011

000

110

110

0 Tương tự như đối với phép nhân, ta có thể dùng phép trừ và phép dịch phải cho

đến khi không thể thực hiện phép trừ được nữa

1.1.5 Số cĩ dấu - khơng dấu

Hệ thống số được chia làm 2 loại: không dấu và có dấu

Trong hệ thống có dấu: để biểu thị số nhị phân có dấu thường sử dụng bit MSB

để chỉ dấu: bit 0 chỉ số dương, bit 1 chỉ số âm, các bit còn lại để chỉ độ lớn

Như vậy, nếu ta dùng 8 bit để biểu diễn thì sẽ thu được 256 tổ hợp ứng với các

giá trị 0 255 (số không dấu) hay –127 –0 +0 … +127 (số có dấu)

Tuy nhiên, không đơn giản là cứ thay đổi bit MSB bằng 1 để biểu diễn giá trị

âm, ví dụ như 01000001 (+65) thành 11000001 (-65), các phép tính số học sẽ

không còn đúng

Giá trị âm được mô tả dưới dạng số bù 2

Số bù 2 (2’s component)

Số bù 2 của một số nhị phân xác định bằng cách lấy đảo các bit rồi cộng thêm 1

Ví dụ: Trong hệ thống có dấu 8bit

Số +65 biểu diễn là: 0100 0001

Số bù 2 của +65 là: 1011 1110 + 1 = 1011 1111 (– 65)

Nhưng nếu đổi ngược 1011 1111 sang thập phân sẽ không nhận được -65 Để

xác định giá trị tuyệt đối của một số nhị phân âm, thực hiện lại các bước trên

Thử lại bằng cách lấy tổng của +65 và –65, kết quả phải bằng 0

+65 -65 +1011111101000001

Trong phép cộng với số bù 2, ta bỏ qua bit nhớ cuối cùng bởi vì có một bit gán

cho bit dấu nên kết quả vẫn đúng

Khi biểu diễn theo số bù 2, nếu sử dụng 8 bit ta sẽ có các giá trị số thay đổi từ

-128 127

Phép trừ thông qua số bù 2

Ngoài cách trừ như trên, ta cũng có thể thực hiện phép trừ thông qua số bù 2 của

số trừ: A-B=A+(-B)

- 0011 0001 → + 1100 1111

Số bù 1 Nhớ

1100 1110 + 1 = 1100 1111 (Số bù 2)

Kết quả 0011 1100, Bit MSB = 0 cho biết kết quả là số dương

Xét khoảng thay đổi sau

0 00000000 -1 11111111 -2 11111110 -3 11111101

Thấy rằng các bit 0 ở số nhị phân âm biểu thị giá trị thập phân của nó: tính giá

trị của các bit 0 theo vị trí giống như với bit 1, cộng các giá trị lại và cộng 1

1.1.6 Hệ bát phân (hệ cơ số 8)

Hệ bát phân được kết hợp bởi 8 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Vị trí của mỗi chữ số có trọng số như sau:

84 83 82 81 80 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5

¾ Đếm trong hệ bát phân

3

4

5

Với N chữ số bát phân, ta có thể đếm từ 0 đến 8N-1, 8N lần đếm khác nhau

¾ Chuyển số bát phân sang số thập phân:

Ví dụ: (24.6)8 = 2.81 + 4.80 + 6.8-1 =(20.75)10

¾ Chuyển số thập phân sang bát phân:

Ví dụ: đổi (266)10 sang hệ bát phân

33 8

266 = + số dư 2

4 8

33 = + số dư 1

0

84 = + số dư 4

26610 =

Ví dụ: Chuyển 0,3125 thành số bát phân

0,3125 × 8 = 2.5 0,5 × 8 = 4.0 ( 0,3125 = 0,248 )

Điểm bát phân

4128

¾ Chuyển số bát phân sang số nhị phân:

Phương pháp: Biến đổi mỗi chữ số bát phân sang 3 bit nhị phân tương ứng

Số nhị phân

tương đương

000 001 010 011 100 101 110 111

Ví dụ: Biến đổi (472)8 sang số nhị phân như sau:

4 7 2

Vậy (472)8 chuyển sang nhị phân là 100111010B

¾ Chuyển số nhị phân sang số bát phân

Phương pháp: nhóm từng 3 bit bắt đầu tại LSB, sau đó chuyển mỗi nhóm

này sang số bát phân tương ứng (theo bảng chuyển đổi ở trên)

Ví dụ: chuyển 100111010B sang số bát phân

1 0 0 1 1 1 0 1 0 ↓ ↓ ↓ (4 7 2)8 Trường hợp các số nhị phân không đủ thành 1 nhóm 3 bits, ta thêm 1 hoặc 2

số 0 về bên trái của MSB

Ví dụ: chuyển 11010110 sang số bát phân

0 1 1 0 1 0 1 1 0 ↓ ↓ ↓ (3 2 6)8

¾ Lợi ích của hệ bát phân

Việc dễ dàng chuyển từ hệ bát phân sang nhị phân và ngược lại làm cho hệ

bát phân rất có lợi trong việc rút ngắn các số nhị phân lớn Trong máy tính,

các số nhị phân này không phải luôn luôn biểu hiện một con số mà thường

biểu thị dưới dạng mã mang thông tin, ví dụ:

• dữ liệu bằng số thực

• các số tương ứng với các vị trí (địa chỉ) trong bộ nhớ

• mã lệnh

• mã biểu thị số học và các đặc điểm khác

• một nóm các bit biểu hiện trạng thái của các thiết bị trong và ngoài mày tính

Khi giải quyết một lượng lớn các số nhị phân với nhiều bit, thường dùng các

số dưới dạng bát phân hơn là nhị phân để tăng độ tiện lợi, mặc dù các mạch

số và các hệ thống số làm việc hoàn toàn trên số nhị phân

Ví dụ: Chuyển số 11710 sang hệ bát phân rồi chuyển sang hệ nhị phân

8

177 = + số dư 1

8

22 = + số dư 6

82 = + số dư 2 Vậy (177)10 =(261)8 = (10110001)2

Phương pháp chuyển số thập phân thành số nhị phân này thường nhanh hơn

việc chuyển thẳng từ thập phân sang nhị phân, đặc biệt đối với các số lớn

Cũng như vậy đối với việc chuyển ngược lại từ nhị phân sang thập phân

bằng cách chuyển sang số bát phân

1.1.7 Hệ thập lục phân (hệ cơ số 16)

Trong hệ thống này, ta dùng các số 0 9 và các kí tự A F để biểu diễn cho một

giá trị số (tương ứng với 10 đến 15 trong hệ 10) Thông thường, ta dùng chữ H ở

cuối để xác định đó là số thập lục phân

Hệ thập lục phân Hệ thập phân Hệ nhị phân

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

¾ Đếm trong hệ thập lục phân (hex)

Khi đếm trong hệ thập lục phân mỗi chữ số tăng từ 0 đến F sau đó về 0 và

chữ số có trọng số lớn hơn kế tiếp sẽ tăng lên 1

0 10 20

¾ Chuyển số hex sang thập phân

Ví dụ: 35616 = 3.162 + 5.161 + 6.160 = 85410

¾ Chuyển số hex sang nhị phân

Phương pháp: mỗi chữ số hex được biến đổi thành số nhị phân 4 bit tương

ứng

¾ Chuyển đổi số nhị phân sang số hex

Phương pháp: các bit nhị phân được nhóm vào nhóm 4 bit từ LSB, mỗi

nhóm 4 bit được biến đổi sang số hex tương ứng Nếu số bit không đủ 4, thì

cộng thêm bit 0 vào MSB

Ví dụ: 11101001102 = 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 = 3A616

3 A 6

Ví dụ: Chuyển (378)10 sang số hex rồi chuyển sang số nhị phân, nhận xét

Ví dụ: Chuyển B2F16 sang bát phân

1.2 CÁC BỘ MÃ HĨA SỐ HỆ MƯỜI THƠNG DỤNG

Khi các số, mẫu tự hoặc các từ words được biểu thị dưới dạng một nhóm các ký

hiệu khác, ta nói rằng chúng được mã hóa và nhóm ký tự đó được gọi là một

mã

Một trong những mã thông dụng nhất là mã Morse, chúng bao gồm các chấm và

gạch để biểu hiện các mẫu tự hay các chữ cái

Bất cứ số thập phân nào cũng có thể được mô tả bằng số nhị phân tương ứng,

một nhóm các số nhị phân 0 và 1 có thể được xem là một mã cho số thập phân

Khi một số thập phân được mô tả bằng số nhị phân tương ứng với nó, người ta

gọi là mã nhị phân trực tiếp (straight binary code)

Tất cả các hệ thống số dùng một số dạng các số nhị phân cho việc thực thi bên

trong, nhưng các từ bên ngoài thì thường là thập phân, nghĩa là có một sự biến

đổi thường xuyên từ thập phân sang nhị phân, sự biến đổi từ thập phân sang nhị

phân có thể chiếm một khoảng thời gian lâu và phức tạp đối với một số lớn Vì

lý do đó, việc mã hóa các số thập phân bằng cách kết hợp một vài chức năng

của cả hệ thống thập phân và nhị phân được sử dụng trong các tình huống

1.2.1 Mã BCD (Binary-Coded-Decimal Code)

Nếu mỗi chữ số của số thập phân được mô tả bằng số nhị phân tương ứng với

nó, kết quả ta được 1 mã gọi là mã BCD, vì chữ số thập phân lớn nhất là 9, cần

4 bit để mã hóa

Các số 8,4,2,1 được gọi là trọng số của mã và được gọi là mã BCD 8-4-2-1

Đôi khi trọng số 8-4-2-1 tỏ ra không thuận tiện trong tính toán, một số trọng số

khác cũng được sử dụng như 2-4-2-1, 5-4-2-1, 7-4-2-1…

MÃ BCD Trọng số Trọng số Trọng số Trọng số

Thập

phân

8 4 2 1 7 4 2 1 2 4 2 1 5 1 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1 Lưu ý rằng các loại mã 5-1-2-1 và 2-4-2-1 là không duy nhất trong khi mã

8-4-2-1 và 7-4-8-4-2-1 lại duy nhất

Ví dụ: Số thập phân 874 chuyển sang tương đương nhị phân như sau:

1000 0111 0011 (BCD 8-4-2-1)

1011 1010 0011 (BCD 5-1-2-1) hoặc 1011 1101 0110 (BCD 5-1-2-1) Một lần nữa, mỗi chữ số thập phân được biến đổi trực tiếp sang số nhị phân

tương ứng, lưu ý rằng 4 bit luôn được dùng cho mỗi chữ số thập phân

Trong bài giảng này lấy mã BCD 8-4-2-1 làm ví du Mã BCD biểu thị mỗi chữ

số của số thập phân bằng số nhị phân 4 bit, sử dụng các số nhị phân 4 bit từ

0000 đến 1001, không sử dụng các số 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 và 1111

Ví dụ: Biến đổi 0110100000111001 (BCD 8-4-2-1) sang giá trị thập phân

Giải

Chia số BCD thành các nhóm 4 bit và biến đổi sang thập phân

0110 1000 0011 1001 = 6839

So sánh BCD và nhị phân Một điều quan trọng là mã BCD không giống như

mã nhị phân trực tiếp Mã nhị phân trực tiếp biến đổi số thập phân sang nhị

phân trong khi mã BCD biến đổi mỗi chữ số trong số thập phân sang nhị phân

Xét ví dụ biến đổi 137 sang mã nhị phân trực tiếp và sang BCD 8-4-2-1 như sau:

13710 = 100010012 (nhị phân)

13710 = 0001 0011 0111 (BCD 8-4-2-1)

Mã BCD cần 12 bit trong khi mã nhị phân trực tiếp chỉ cần 8 bit để biểu thị số

137 Mã BCD cần nhiều bit hơn là bởi vì BCD không dùng hết các khả năng của

các nhóm 4 bit và vì vậy có phần nào đó không hiệu quả

Ưu điểm chính của BCD là dễ dàng chuyển sang thập phân Chỉ phải nhớ các

nhóm mã 4bit cho các số thập phân từ 0 đến 9 Sự dễ dàng chuyển đổi này đặc

biệt quan trọng theo quan điểm về phần cứng vì trong một hệ thống số, nó là

các mạch logic để tạo nên sự chuyển đổi sang và từ thập phân

1.2.2 Các phép tốn số học với mã BCD

Cộng BCD

Cộng hai số BCD có điểm khác so với cộng hai số nhị phân Khi tổng của mỗi

số hạng BCD ≤ 9 thì tổng đó là kết quả cuối cùng

Ví dụ,

Khi tổng hai số nhị phân ≥ 9 thì tổng phải được cộng thêm 6 và nhớ 1 lên hàng

BCD có nghĩa cao hơn

Ví dụ,

0001 0111 (17)

0010 0101 (25)

0011 1100 Kết quả ≥ 9

0110 (6)

0100 0010 (42)