Tài liệu Bài giảng: Kỹ thuật điều khiển tự động doc

4 Hàm truyền đạt 5 Không gian trạng thái Sơ đồ khối và Graph tín hiệu là cách biểu diễn bằng đồ hoạ để diễn tả một hệ thống vật lý hoặc một hệ phương trình toán đặc trưng cho các phần

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

KHOA CƠ KHÍ

BỘ MÔN: CHẾ TẠO MÁY

BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN

(LƯU HÀNH NỘI BỘ)

Theo chương trình 150 TC hay 180 TC hoặc tương đương

Sử dụng cho năm học 2008 - 2009Tên bài giảng: Kỹ thuật điều khiển tự động

Số tín chỉ: 3

Thái Nguyên, năm 2008

Tên các tác giả:

BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN

(LƯU HÀNH NỘI BỘ)

Theo chương trình 150 TC hay 180 TC hoặc tương đương

Sử dụng cho năm học: 2008 - 2009Tên bài giảng: Kỹ thuật điều khiển tự động

Số tín chỉ: 3

Thái Nguyên, ngày….…tháng …… năm 200

Trưởng bộ môn Trưởng khoa

(ký và ghi rõ họ tên) (ký và ghi rõ họ tên)

MỤC LỤC

I Phần 1: Phần lý thuyết

Chương 1 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG1.1 Các nội dung cơ bản

1.2 Mô hình diễn tả hệ thống điều khiển

1.3 Mô tả toán học các phần tử điều khiển cơ bản

1.4 Phân loại hệ thống điều khiển

1.4.1 Hệ thống điều khiển hở và hệ thống điều khiển kín

1.4.2 Hệ thống điều khiển liên tục và gián đoạn

1.5 Tuyến tính hóa các hệ thống phi tuyến

1.6 Ứng dụng MatLab

Chương 2 HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.1 Hàm truyền đạt

2.2 Sơ đồ khối - Đại số sơ đồ khối

2.3 Graph tín hiệu và qui tắc Mason

2.4 Các hệ thống lấy mẫu dữ liệu

2.5 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc

2.6 Ứng dụng MatLab

Chương 3 KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

3.1 Các mô hình không gian trạng thái

3.2 Mô hình không gian trạng thái và các phương trình vi phân

3.3 Xác định biến trạng thái từ hàm truyền

5.1 Tính điều khiển được của các hệ thống liên tục.

5.2 Tính quan sát được của các hệ thống liên tục

5.3 Tính điều khiển được của các hệ thống gián đoạn

5.4 Tính quan sát được của các hệ thống gián đoạn

5.5 Ứng dụng MATLAB

Chương 6 THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN.

6.1 Mở đầu

6.2 Các khâu động học của hệ thống điều khiển

Chương 7 THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN BẰNG THUỶ LỰC.

I Phần 1: Phần lý thuyết

I.1 Yêu cầu đối với sinh viên

- Mục tiêu: Nội dung cơ bản của hệ thống điều khiển tự động, Phân tích và tổng hợpđược một hệ thống điều khiển

- Nhiệm vụ của sinh viên:

Dự học lý thuyết: đầy đủ

Thảo luận: đầy đủ

- Đánh giá: Chấm điểm Thảo luận : 20%

Kiểm tra giữa kỳ: 20%

Thi kết thúc học phần : 60%

I.2 Các nội dung cụ thể

Chương 1

CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU

KHIỂN TỰ ĐỘNG1.1- Các nội dung cơ bản của hệ thống điều khiển.

* Điều khiển: Là tác động lên đối tượng để đối tượng làm việc theo một

mục đích nào đó

* Hệ thống điều khiển: Là một tập hợp các thành phần vật lý có liên hệ tác

động qua lại với nhau để chỉ huy hoặc hiệu chỉnh bản thân đối tượng hay một hệthống khác

* Xung quanh ta có rất nhiều hệ thống điều khiển nhưng có thể phân chiathành 3 dạng hệ thống điều khiển cơ bản

- Hệ thống điều khiển nhân tạo

- Hệ thống điều khiển tự nhiên (bao gồm điều khiển sinh vật)

- Hệ thống điều khiển tự nhiên và nhân tạo

Trong các hệ thống đó đối tượng điều khiển có thể là hệ thống vật lý, thiết bị

kỹ thuật, cơ chế sinh vật, hệ thống kinh tế, quá trình v.v đối tượng nghiên cứu làcác thiết bị kỹ thuật gọi là điều khiển học kỹ thuật

Mỗi hệ thống (hoặc phần tử của hệ thống) kỹ thuật, đều chịu tác động củabên ngoài và cho ta các đáp ứng Gọi tác động vào là đầu vào, tác động ra là đầu ra( hoặc tín hiệu vào, tín hiệu ra)

Hình 1-1

* Nhiệm vụ của lý thuyết điều khiển tự động

Lý thuyết điều khiển tự động giải quyết 2 nhiệm vụ chính:

hệ thống)

Để giải quyết vấn đề trên dùng mô hình toán học, tức là các phần tử của hệ thốngđiều khiển đều được đặc trưng bằng mô hình toán của các phần tử sẽ cho mô hìnhtoán của toàn bộ hệ thống.

Có thể xác định đặc tính ổn định của hệ thống qua mô hình toán của hệ thống vớiviệc sử dụng lý thuyết ổn định trong toán học

Tổng hợp hệ thống:

Tổng hợp hệ thống là xác định thông số và cấu trúc của thiết bị điều khiển Giải bàitoán này, thực ra là thiết kế hệ thống điều khiển Trong quá trình tổng hợp nàythường kèm theo bài toán phân tích

Đối với các hệ thống điều khiển tối ưu và thích nghi, nhiệm vụ tổng hợp thiết bịđiều khiển giữ vai trò rất quan trọng Trong các hệ thống đó, muốn tổng hợp được

hệ thống phải xác định Algorit điều khiển tức là xác định luật điều khiển Đ(t) Hệthống điều khiển yêu cầu chất lượng cao thì việc tổng hợp càng trở nên phức tạp.Trong một số trường hợp cần đơn giản hoá một số yêu cầu và tìm phương pháp tổnghợp thích hợp để thực hiện

1.2- Các mô hình diễn tả hệ thống điều khiển.

Để tiện việc nghiên cứu về các vấn đề điều khiển cần sử dụng các sơ đồ (môhình) diễn tả các thành phần của hệ thống sao cho rõ ràng mọi mối quan hệ bêntrong và ngoài hệ thống để dễ dàng phân tích, thiết kế và đánh giá hệ thống

Thực tế sử dụng các mô hình sau là phổ biến và thuận tiện:

1) Hệ thống các phương trình vi phân

2) Sơ đồ khối

3) Graph tín hiệu

4) Hàm truyền đạt

5) Không gian trạng thái

(Sơ đồ khối và Graph tín hiệu là cách biểu diễn bằng đồ hoạ để diễn tả một

hệ thống vật lý hoặc một hệ phương trình toán đặc trưng cho các phần tử của hệthống - Diễn tả một cách trực quan hơn)

* Về mặt lý thuyết mỗi hệ thống điều khiển đều có thể diễn tả bằng các

phương trình toán Giải các phương trình này và nghiệm của chúng sẽ diễn tả trạng thái của hệ thống Tuy nhiên việc giải phương trình thường khó tìm nghiệm (có trường hợp không tìm được) lúc đó cần đặt các giả thiết để đơn giản hoá nhằm dẫn tới các phương trình vi phân tuyến tính thường – Hệ điều khiển tuyến tính liên tục.

* Phần lớn kỹ thuật điều khiển hiện đại, là sự phát triển của các mô hình toán học cho các hiện tượng vật lý Sau đó dựa vào các mô hình toán học để nghiên cứu các tính chất của hệ thống điều khiển.

1.2.1 Phương trình vi phân

Các hệ thống vật lý (hoặc các quá trình) cần được diễn tả chính xác mọi quan hệgiữa những đại lượng biến động bên trong của chúng Từ đó ta dễ dàng nghiên cứuđược các hiện tượng diễn biến của hệ thống; các định luật cơ bản của vật lý có thểgiúp ta giải quyết vấn đề đó Các quan hệ của các đại lượng cơ bản nói chung có thểbiểu diễn bằng các phương trình vi phân ( gọi là mô hình toán của hệ thống)

Ví dụ: Phương trình của định luật II Newton F = m.a

Trong phương trình đại số giá trị các đại lượng không thay đổi theo thời gian, vì thế nó chỉ diễn tả trạng thái ổn định của hệ Nhưng trong thực tế hệ không tĩnh Đầu ra thường biến động đối với các thay đổi của đầu vào, thêm vào đó tác động của nhiễu cũng thay đổi theo thời gian, nên hệ không ổn định tức là đầu ra dao động Vì thế cần phải phân tích hệ trong các điều kiện động lực hoặc gọi là trong trạng thái quá độ, lúc này các biến số không cố định mà thay đổi theo thời gian Phương trình vi phân mô tả hệ ở trạng thái động lực không chỉ chứa bản thân các biến số mà còn chứa tốc độ thay đổi hoặc gọi là đạo hàm của các biến số đó.

* Các nội dung cơ bản của phương trình vi phân:

+ an-1 n 1

1 n

dt

y d

* Các tính chất của phương trình vi phân:

Mọi hệ là tuyến tính nếu quan hệ vào- ra của nó có thể biểu thị bằng phương trình viphân tuyến tính:

 



i

i i n

i i

dt

x d b dt

y d

- Đáp ứng y(t) của một hệ tuyến tính do nhiều đầu vào x1(t), x2(t), , xn(t) tác độngđồng thời lên hệ bằng tổng các đáp ứng của mỗi đầu vào tác động riêng biệt(nguyên lý chồng chất)

y(t) = 



n i

i t y

0)(

t y

.)(2

2

Có hai nghiệm y1(t), y2(t) theo nguyên lý chồng chất thì y1(t) + y2(t) cũng là mộtnghiệm của phương trình đó

- Toán tử vi phân và phương trình đặc trưng:

Xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng cấp n

an

n

n dt

y d

y d

+ + a1.dt

dy

+ a0 y = x(t) Gọi toán tử vi phân D =

dt

d

, Dn= n n

dt d

Phương trình trên có thể viết thành:

Dny + an-1 Dn 1y + + a1Dy + a0y = x

(Dn + an-1 Dn 1 + + a1D + a0 )y = x (1.2)

Đa thức Dn + an-1 Dn 1 + + a1D + a0 gọi là đa thức đặc trưng

Phương trình Dn + an-1 Dn 1 + + a1D + a0 = 0 là phương trình đặc trưng

Nghiệm của phương trình đặc trưng rất có ý nghĩa khi xét tính ổn định của hệthống

Hình 1-2

* Các khối có thể là một thiết bị hoặc dụng cụ và có thể là một hàm (chứcnăng) xảy ra trong hệ thống

Khối: Ký hiệu thuật toán phải thực hiện đầu vào để tạo đầu ra

Đường nối: Đường nối giữa các khối biểu thị đại lượng hoặc biến số

trong hệ thống

Mũi tên: Chỉ tiêu của dòng thông tin hoặc tín hiệu “Các khối nối tiếp

nhau thì đầu ra của khối trước là đầu vào của khối sau”

Điểm tụ: Biểu hiện thuật toán cộng hoặc trừ ký hiệu bằng một vòng tròn đầu ra củađiểm tụ là tổng đại số của các đầu vào

Hình 1-3

* Điểm tán: Cùng một tín hiệu hoặc một biến số phân ra nhiều nhánh tạiđiểm đó gọi là điểm tán, tức là tại đó đầu ra áp lên nhiều khối khác “ký hiệu là mộtnốt tròn đen”

Hình 1-4

Cấu trúc sơ đồ khối của hệ thống điều khiển kín

Hình 1-5

Hình (1-5) diễn tả một hệ thống điều khiển kín bằng sơ đồ khối Các khối mô

tả các phần tử trong hệ được nối với nhau theo quan hệ bên trong của hệ thống

* Các biến số của hệ:

(1) Giá trị vào V: tín hiệu ngoài áp vào hệ

(2) Tín hiệu vào chuẩn R: rút từ giá trị vào V là tín hiệu ngoài hệ áp lên hệđiều khiển như một lệnh xác định cấp cho đối tượng R biểu thị cho một đầu vào lýtưởng dùng làm chuẩn để so sánh với tín hiệu phản hồi B

y (x-y)

-u

+y

(x+y)

+y

(x+y-u)-

u

(3) Biến số điều khiển M (tín hiệu điều chỉnh): là đại lượng hoặc trạng thái

mà phần tử điều khiển G1 áp lên phần từ (đối tượng) điều khiển G2 (quá trình đượcđiều khiển)

(4) Biến số ra C (tín hiệu ra): là đại lượng hoặc trạng thái của đối tượng(hoặc quá trình) đã được điều khiển

(5) Tín hiệu phản hồi B: là một hàm của tín hiệu ra C được cộng đại số vớivào chuẩn R để được tín hiệu tác động E

(6) Tín hiệu tác động E (cũng gọi là sai lệch hoặc tác động điều khiển) làtổng đại số (thường là trừ) giữa đầu vào là R với phần tử B là tín hiệu áp lên phần tửđiều khiển

(7) Nhiễu u: là tín hiệu vào không mong muốn ảnh hưởng tới tín hiệu ra C

Có thể vào đối tượng theo M hoặc một điểm trung gian nào đó (mong muốn đápứng của hệ đối với nhiễu là nhỏ nhất)

* Các phần tử của hệ:

(1) Phần tử vào chuẩn GV: chuyển đổi giá trị vào V thành tín hiệu vào chuẩn

R (thường là một thiết bị chuyển đổi)

(2) Phần tử điều khiển G1: là thành phần tác động đối với tín hiệu E tạo ra tínhiệu điều khiển M áp lên đối tượng điều khiển G2 (hoặc quá trình)

(3) Đối tượng điều khiển G2 là vật thể, thiết bị, quá trình mà bộ phận hoặctrạng thái của nó được điều khiển

(4) Phần tử phản hồi H: là thành phần để xác định quan hệ (hàm) giữa tínhiệu phản hồi B và tín hiệu ra C đã được điều khiển (đo hoặc cảm thụ trị số ra C đểchuyển thành tín hiệu ra B (phản hồi)

(5) Kích thích: là các tín hiệu vào từ bên ngoài ảnh hưởng tới tín hiệu ra C

Ví dụ tín hiệu vào chuẩn R và nhiều u là các kích thích

(6) Phản hồi âm: điểm tụ là một phép trừ E = R - B

(7) Phản hồi dương: ở điểm tụ là phép cộng: E = R + B

(Điều khiển kín gồm hai tuyến: Tuyến thuận truyền tín hiệu từ tác động Eđến tín hiệu ra C Các phần tử trên tuyến thuận ký hiệu G (G1 , G2, ) tuyến phảnhồi truyền từ tín hiệu ra C đến phản hồi B các phần tử ký hiệu là H (H1 , H2 , )

1.2.3 Hàm truyền đạt:

Hàm truyền đạt của hệ thống

* Hàm truyền đạt của hệ thống đối với hệ thống điều khiển liên tục một đầuvào và một đầu ra được định nghĩa:

- Là tỷ số của biến đổi Laplace của đầu ra với biến đổi Laplace của đầu

vào với giả thiết toàn bộ các điều kiện đầu đồng nhất bằng không (điều kiện

dừng)

G(s) =

o 1

1 n 1 n n

o 1 1

m 1 m

m m

a S a

S a S

b s b

S b S b

* Trong lĩnh vực thời gian gián đoạn (điều khiển rời rạc) việc biến đổi Zđóng vai trò của biến đổi Laplace:

Hàm truyền có dạng sau:

G(z) =

o 1

1 n 1 n n

o 1 1

m 1 m

m m

a z a

z a z

b z b

z b z b

)s(Yi

j

; các đầu vào khác ui(s) đều coi là bằng không

(Nguyên lý độc lập tác dụng)

* Một cách tương tự với hệ thống điều khiển gián đoạn ta có hàm truyền của

hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu ra

Ở đây: s - số phức - biến Laplace

z = eS.T - biến của phép biến đổi z

1.2.4 Không gian trạng thái

Khi phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển tuyến tính thường sử dụng mộttrong hai hình thức sau:

+ Đối với lĩnh vực thời gian sử dụng hàm trạng thái

+ +

D(t)

C(t) A(t)

;x, ,x,(xf

t)

;u, ,u,u

;x, ,x,(xf

t)

;u, ,u,u

;x, ,x,(xf

r 2 1 n 2 1 n

r 2 1 n 2 1 2

r 2 1 n 2 1 1

Đối với lò xo thông thường tín hiệu vào là lực PV = PL,

tín hiệu ra là lượng di động R = X

Vậy mô hình toán đặc trưng và sơ đồ khối biểu diễn chức năng như hình 1-8

b Bộ giảm chấn bằng không khí hoặc bằng dầu ép:

áp dụng toán tử Laplace: s =

dt d

PV = C.V= C

dt

dR

= C.s.RLực PV coi là tín hiệu vào

Tín hiệu ra: Lượng di động R

Từ các yếu tố trên thành lập sơ đồ khối thể hiện mô hình toán của bộ giảm chấn

Sơ đồ khối thể hiện mô hình toán như sau:

 là momen quán tính của vật thể

M là momen bên ngoài tác dụng vào vật thể

Momen bên ngoài được tạo ra từ động cơ, do tải trọng tác dụng lò xo hoặc giảmchấn

Xét một đĩa quay trong chất lỏng và nối với một bánh đà như hình vẽ:

-Phân tích để xây dựng mô hình toán:

Quay đĩa được phải tác dụng một momen xoắn Mx, trục quay đi một góc là j

tạo mo men của lò xo: M1 = kx j (1.10)Trục có đường kính D, chiều dài l, hệ số lò xo xoắn là:

kx =

l

G D

32

4

C: hệ số ma sát của chất lỏng

sẽ ngăn cản sự quay của đĩa do đó có thể viết thành:

M = Mx – M1 – Mm = 22

dt

d 

 = q s2 jThay các trị số (1.10) và (1.11) ta có:

y = R

x =V C1

A.P b)

uR = R I  I =

R

1.uR

1.I

Gọi q là lượng dầu chảy vào xilanh, ta có: q = C1.x

q đồng thời cũng là sự thay đổi thể tích của xilanh: q = A.Py

(A là diện tích bề mặt của xilanh)

 A.Py = C1.x

 +

23

y

P0

M

H×nh 1-15

 y =

P A

Xét cơ cấu nâng vuông góc bằng cơ khí:

Thanh nâng vuông góc tại điểm A (a + b = 900) và có thể chuyển động cưỡng bứctrong rãnh thẳng đứng Một nhánh của thanh nâng có thể trượt trên con trượt ở điểm

B , con trượt này di động cưỡng bức theo phương ngang Nhánh kia của thanh nâng

có thể di động trong bạc của khớp nối cố định ở điểm C

- Phân tích:

Tam giác AOB luôn đồng dạng tam giác AOC nên:

K

X X

Y

K

X Y

2

 ( K = const)

Nếu tín hiệu vào là X, thì vị trí của điểm B là tín hiệu ra Y tỷ lệ với bình phươngcủa X Còn tín hiệu vào là Y và tín hiệu ra là X sẽ tỷ lệ với căn bậc hai của Y:

X = K Y

Để viết phương trình toán và xây dựng mô hình toán học ta cần tuyến tính hoá cácphương trình phi tuyến trên Phương pháp như sau

1.4- Phân loại hệ thống điều khiển.

* Việc phân loại hệ thống điều khiển (Controller System) có rất nhiều hình

thức tuỳ theo góc độ nhìn nhận đánh giá: phân loại theo tín hiệu vào, theo các lớp

phương trình vi phân mô tả quá trình động lực học của hệ thống Theo số vòng kín trong hệ, v.v Tuy nhiên đây chỉ là tương đối Xét về tính chất làm việc và nội

dung cơ bản của điều khiển thì hệ thống điều khiển có 2 loại làm cơ sở trong phântích tính năng (Phân biệt tác động vào hệ và đáp ứng ra):

*Theo đặc điểm mô tả toán học thì có các hệ thống sau:

* Theo dạng năng lượng tiêu thụ:

Hệ thống điều khiển bằng điện

Hệ thống điều khiển bằng dầu

Hệ thống điều khiển bằng khí ép

1.4.1 Các hệ thống điều khiển hở và hệ thống kín

a Hệ thống điều khiển hở (Open- Loop Control Systems)

*Khái niệm: Hệ thống điều khiển hở là hệ thống mà tác động điều khiển độc lập vớiđầu ra (Hoặc đầu ra không được đo và không được phản hồi so với đầu vào)

Ví dụ:

Quá trình hoạt động của máy giặt hoàn toàn tự động mà chúng ta chỉ cần tác độngtrước khi máy hoạt động là đóng điện và nhấn công tắc sau khi máy hoàn thànhcông việc thì chúng ta lấy sản phẩm ra Trong máy có diễn ra các quá trình như sau:quá trình làm ướt quần áo (Soaking), quá trình giặt (Washing), quá trình vắt khô(Rinsing) đều làm việc với một thời gian tổng chuẩn (time basic) Và các quá trìnhnày không được đo kết quả (Tức là không được kiểm tra là đã làm sạch quần áo haychưa)

Sơ đồ khối của hệ thống (Control System in Washing Machine)

t = ts + tW + tR = const

Từ ví dụ trên ta thấy hệ thống điều khiển hở có dáp ứng ra không so sánh đáp ứngvào Mỗi tác động vào có trạng thái (hoạt động) ổn định, kết quả của hệ thống có độchính xác phụ thuộc hệ thống chia độ (hệ thống đo) Trong quá trình có nhiễu, hệthống không thực hiện nhiệm vụ yêu cầu

* Đặc tính của hệ thống điều khiển hở:

- Độ chính xác của hệ quyết định bởi điều chỉnh (căn) và có duy trì độ chính xác đóđược lâu hay không

H×nh 1-17

Cleanliness

- Nhạy cảm với các biến đổi xung quanh như: nhiệt độ, dao động, xung lực, điện

Hệ thống điều khiển kín là hệ thống mà tác động điều khiển phụ thuộc đáp ứng ra

còn gọi là hệ thống điều khiển phản hồi

E: Sai lệch điều khiển

E = R – B

R: Tín hiệu vào

B: Tín hiệu phản hồi

Trong hệ thống điều khiển kín sai lệch điều khiển là sự chênh lệch giữa tín hiệu vào

và tín hiệu phản hồi Quá trình điều khiển nhằm giảm sai lệch và đáp ứng ra đạt giá

trị mong muốn

Ví dụ:

Hệ thống điều khiển nhiệt độ trong lò là một hệ thống điều khiển kín

Nhiệt độ trong lò điện được đo bởi nhiệt kế ( là thiết bị Analog(tương tự)) Nhiệt độ

dưới dạng tín hiệu tương tự được biến đổi thành tín hiệu nhiệt độ dạng số bởi bộ A/

D Tín hiệu nhiệt độ được chuyển về máy tính trung tâm qua Interface và nhiệt độ

được so sánh với tín hiệu nhiệt độ mà chương trình của máy tính đã lập, nếu có bất

kỳ sai số nào (discrepancy: sự chênh lệch, sự khác nhau) thì máy tính trung tâm có

tín hiệu qua Interface và tín hiệu này được khuếch đại nhờ thiết bị Amplifier và tác

động lên Relay làm cho nhiệt độ trong lò tăng hay giảm tuỳ theo yêu cầu của

Ví dụ 2: Để điều khiển một bình nước sao cho mực nước trong bình luôn là hằng số

không đổi thì độ cao cột nước trong bình sẽ là một trong những thông số kỹ thuậtcần quan tâm của hệ thống Giá trị về độ cao cột nước tại thời điểm t được đo cảmbiến và được biểu diễn thành một đại lượng điện áp dưới dạng hàm số phụ thuộcthời gian u(t) có đơn vị Volt Đại lượng vật lý ở đây là điện áp đã được sử dụng đểtruyền tải hàm thời gian u(t) mang thông tin về độ cao cột nước ( Phần mô hìnhtoán học)

* Đặc tính của hệ thống điều khiển kín( hệ thống phản hồi)

Đặc trưng của hệ thống điều khiển kín là phản hồi

- Nâng cao độ chính xác có khả năng tạo lại đầu ra

- Tốc độ đáp ứng nhanh

- Độ chính xác phụ thuộc các điều kiện làm việc

- Giảm tính chất phi tuyến và nhiễu

- Giảm độ nhạy cảm của tỷ số đầu ra và đầu vào đối với sự thay đổi tính chất củahệ

- Tăng bề rộng dải tần (dãy tần số của đầu vào)

- Có khuynh hướng dao động hoặc không ổn định

- Điều khiển mềm

1.4.2.- Các hệ thống điều khiển liên tục và gián đoạn.

Các hệ thống thực được mô tả ở trạng thái tĩnh hoặc động lực học Các hệthống tĩnh thường được diễn tả bởi hệ thống các phương trình đại số Trong điềukhiển kỹ thuật các hệ thống tĩnh không diễn tả đầy đủ trạng thái của hệ thống Vìvậy người ta dùng các phương trình vi phân/sai phân mô tả trạng thái động lực họccủa hệ thống (được biết như là các hệ thống với các tham số cục bộ hoặc tập trung)hoặc các phương trình vi phân đạo hàm riêng (như là các hệ thống có các tham sốphân tán)

Trong nội dung giáo trình ta nghiên cứu các hệ thống được mô tả bởi hệ cácphương trình vi phân/sai phân tuyến tính, nghĩa là các tham số của hệ thống độc lậptuyến tính

Ví dụ hệ thống động lực học được mô tả dưới dạng các phương trình vi phân/sai phân vô hướng:

x(t) = fc(x(t)) , x(to) = xo (1.12)x(k +1) = fd (x(k)) , x (ko) = xo (1.13)

Ở đây: t : biến thời gian liên tục

k : biến thời gian gián đoạn

Chỉ số e: (continuous- Time) - thời gian liên tục

d: (discrete - Time) - thời gian gián đoạn.

Nếu hệ thống chịu tác động của ngoại lực, hay các tác động vật lý khác Tanói nó chịu tải động điều khiển và phương trình vi phân/sai phân mô tả trạng tháiđộng lực của hệ thống

x(t) = fc (x(t), u(t)) ; x(to) = xo (1.14)x(k+1) = fd (x(k), u(k)) ; x(ko) = xo (1.15)

Ở đây: u(t) ; u(k) đóng vai trò biến điều khiển Với mục đích của điềukhiển ta thay đổi biến điều khiển nhận được các đáp ứng của hệ thống kỹ thuật theoyêu cầu như vậy, nhìn chung vấn đề chính của điều khiển có thể mô hình hoá theodạng sau: tìm biến điều khiển bằng cách giải hệ thống phương trình vi phân đặctrưng của hệ

Nếu các hệ phương trình vi phân (1.12)  (1.15) là tuyến tính ta gọi hệthống là tuyến tính Nếu là phi tuyến ta gọi là hệ thống phi tuyến Việc nghiên cứu

hệ thống phi tuyến tương đối khó Trong thực tế, người ta tìm cách tuyến tính hoá.Trong phạm vi giáo trình này, chúng ta chỉ nghiên cứu hệ thống điều khiển tuyếntính

1.5- Tuyến tính hoá hệ thống phi tuyến.

Trong thực tế không có một hệ thống vật lý nào có thể mô tả tuyệt đối chínhxác bằng phương trình vi phân hệ số hằng tuy nhiên nhiều hệ phi tuyến có thể xấp

xỉ hoặc coi như tuyến tính trong từng đoạn làm việc Có nhiều phương pháp được

áp dụng cho việc tuyến tính hoá hệ thống phi tuyến Phương pháp trung bình gầnđiểm làm việc Phương pháp tuyến tính hoá điều hoà và phương pháp sai lệch nhỏ

1.5.1- Phương pháp trung bình gần điểm làm việc.

Đây là phương pháp đơn giản được dùng trong thiết kế các hệ thống khi đặctính trên không thể xấp xỉ hoá được bằng các hàm giải tích

Phương pháp này áp dụng cho các hệ có những phần tử chỉ phi tuyến ở trạngthái tĩnh, quan hệ giữa đầu ra y với đầu vào u là ở trạng thái xác lập (ổn định)

Giả thiết trong đoạn: - uM < u < um đặc tính phi tuyến có thể xấp xỉ hoá bằngđường thẳng

1.5.2- Phương pháp tuyến tính hoá điều hoà

Phương pháp này được dùng khi hệ có một phần tử tuyến tính nối sau một phần tửphi tuyến làm việc ở chế độ tự dao động Các tín hiệu trong hệ là làm tuần hoàn theo thời gian

Phương pháp này dựa trên cơ sở khai triển hàm sóng thành chuỗi hàm dạngsin (chuỗi Fonricr) điều hoà có tần số là , 2, 3, có biên độ và góc pha khácnhau Giả thiết các hàm điều hoà bậc cao khác (2, 3, ) có biên độ nhỏ bỏ quachỉ giữ lại thành phần điều hoà bậc nhất () (giả thiết lọc) nghĩa là:

Hình 1-20 Trong đó: u(t) = Um sin (t + )

y(t) = Ym1 sin (t + )Trong đó Um = Ym1 và  -  =  được gọi là điều kiện cân bằng điều hoà

1.5.3- Phương pháp sai lệch nhỏ.

Theo phương pháp này việc tuyến tính hoá được thực hiện bằng cách khaitriển hàm phi tuyến thành chuỗi Taylor tại vùng lân cận điểm ổn định (tương ứngvới chế độ xác lập) Chỉ khảo sát các sai lệch bậc nhất trong chuỗi đó Sai lệch sovới trạng thái ổn định càng nhỏ thì việc đánh giá các quá trình của phần tử phituyến có sai số càng bé sau khi biến đổi tuyến tính

a) Hệ thống (bậc nhất) phi tuyến.

Giả thiết rằng hệ thống làm việc ở trạng thái xác lập với quĩ đạo xn(t) khi nóđược điều khiển bởi tín hiệu vào un(t) Chúng ta gọi xn(t) và un(t) là quĩ đạo danhnghĩa và đầu vào danh nghĩa theo phương trình (1.16) ta có:

NonlinearSystem

f



 (xn , un) (1.23)

Ta có phương trình mô tả hệ thống tuyến tính:

xn + x= f (xn + x, xn + x , un + u, un + u) (1.40)

Áp dụng khai triển Taylor lân cận các điểm danh nghĩa: xn , xn , un , un và

ta có:

x(t) + a1x(t) + aox(t) = b1u(t) + bou(t) (1.28)Các hệ số xác định theo:

 j

: Phần ảo (Imaginary part)

Nếu  là các số thực thì ta gọi là số phức, còn thay đổi s là biến phức.Biểu diễn biến phức s trên đồ thị như sau:

Góc q = tan-1(Gx/Gy), Chiều dương theo chiều kim đồng hồ tính từ trục thực

-Biểu diễn trên đồ thị:

Hình 2.2

Hàm liên hợp của hàm G(s) là: G (s) = Gx - j Gy

¸nh x¹ G

Một hàm phức, có biến là s =  + j Biến phức S phụ thuộc vào 2 đại lượng độclập: là phần thực và phần ảo của s Để biểu diễn hàm G(s) cần có 2 đồ thị, mỗi đồthị có 2 chiều:

- Đồ thị của j ứng với s gọi là phẳng S

- Đồ thị của phần ảo G(S) (ImG) ứng với phần thực của G(S) (ReG) gọi làphẳng G(S)

Sự tương ứng giữa các điểm trong hai phẳng đó gọi là một ánh xạ hay biến đổi

Các điểm trong phẳng S được ánh xạ vào các điểm trong phẳng G(S) bằng hàm G

i

m i

i m

p S

z S b

1

1

)(

)(

- Các giá trị của biến phức S = -zi làm cho G(s) = 0 được gọi là các không củaG(s) (Zeros)

- Các giá trị s = - pi làm cho G(s)   được gọi là các cực của G(s) ( Poles)Các cực và các không được xác định bởi: một đại diện phần thực và một đại diệnphần ảo của số phức

Biểu diễn các điểm đó trên mặt phẳng phức ( phẳng S) gọi là ánh xạ cực – khôngcủa G(s)

Ví dụ:

G(s) =

)1)(

1)(

3(

)2)(

1(26

85

4222 3

2

j S j S S

S S S

S S

S S

Hình 2.5

* Nhận xét: Mối quan hệ giữa phẳng S ( ánh xạ cực – không)

*Phép biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace là cơ sở của một phương pháp giải tích để tìm cả đáp ứng ổnđịnh và đáp ứng quá độ mà các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi.Nên phép biến đổi Laplace chỉ dùng biến đổi cho phương trình vi phân tuyến tính.Biến đổi Laplace chuyển phương trình vi phân thành các phương trình đại số nêntìm nghiệm của phương trình đại số đơn giản hơn và từ nghiệm của phương trìnhđại số tìm được nghiệm của phương trình vi phân

Một ưu điểm là phương pháp này có thể xử lý trực tiếp các điều kiện đầu của hệthống như một phần của đáp ứng

- Bản chất của phép biến đổi Laplace:

Là các phép tính đạo hàm và tích phân gốc được chuyển thành các phép toán đại sốthông thường đối với các ảnh, miền xác định rộng

- Hàm gốc:

Gọi hàm f(t) của biến thực t là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

1 Hàm f(t) liên tục trên từng đoạn thuộc miền xác định mà t  0

Giải thích:

Lấy [a; b] trên t  0, luôn chi được trong [a; b] một số hữu hạn khoảng nhỏ [e; x]

sao cho trong mỗi khoảng đó f(t) liên tục và tại các mút của mỗi khoảng nhỏ thì f(t)

Điều kiện này được đưa ra vì trong ứng dụng biến số t thường là thời gian, hàm f(t)

biểu diễn một quá trình nào đó mà ta chỉ khảo sát lúc t > 0

h(t) = 0 khi t < 0 (thoả mãn điều kiện 3)

)(  ( a < s <  ) tích phân hội tụ tuyệt đối

Biến đổi Laplace là kết quả của một thuật toán chuyển đổi với một hàm thời gianf(t) để cho ta hàm G(s) của biến phức s

ds st e s F j





21

Một số hàm biến đổi Laplace sử dụng phổ biến:

Important Laplace Transform Pairs



sinwt

2

2 ωS

ω

coswt

2

2 ωS

1sF(s)

* Lưu ý:

Biến s được coi như phép vi phân: s 

dt d

Và trong tích phân: 

t 0

dt s 1

* ứng dụng của toán tử Laplace:

- Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi

- Tìm hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển tuyến tính

2.1 Hàm truyền đạt

* Định nghĩa: Hàm truyền đạt (The Transfer function) của một hệ thống tuyến tính

được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của biếu ra ( đại lượng đáp ứng racủa hệ thống) so với biến đổi Laplace của biến vào ( đại lượng tác động vào hệthống), Với điều kiện đầu đồng nhất bằng không Hàm truyền đạt của hệ thống( phần tử) đặc trưng cho mô tả động lực học của hệ thống

- Một hàm truyền đạt chỉ có thể xác định cho hệ thống tuyến tính, hệ thống bềnvững ( tham số không đổi) Một hệ thống không bền vững thường gọi là hệ thốngbiến thời gian thay đổi, có một hay nhiều tham số thay đổi, và phép biến đổiLaplace không được áp dụng đối với hệ thống này

- Hàm truyền đạt thể hiện tác động vào và đáp ứng ra của trạng thái hệ thống

- Tuy nhiên, hàm truyền đạt không diễn tả thông tin về cấu trúc bên trong của hệthống và trạng thái hoạt động của hệ thống

Để hiểu về cách xây dựng hàm truyền đạt ta có các ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Cho một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân sau:

dt

dy4dt

yd

[ s2Y(s) – s y(0) ] + 4[ s Y(s) – y(0) ] + 3 Y(s) = 2 R(s)

Y(s) =

3)4s(s

4s3)

4ss(s

2

2 2

s

2/3]3)(s

1/31)

(s

1[]3)(s

1/21)

11.e[].e2

1.e

-Armature

if(t)Field

Inertia = JFriction = fLoad

Ra

LaRf

(M1(s) + (f1 + f2)) V1(s) + (- f1)V2(s) = R(s)

(-f1)V1(s) + (M2(s) + f1 +

s

K) V2(s) = 0Hoặc dưới dạng ma trận sau:

V

(s)Vs

Kf(s)) (M

f

(

)f (

ff

(s)

(M

2 1 1

2 1

1 2

1

1

.)Vận tốc di chuyển của M1 chính là đại lượng ra, việc tìm V1(s) bởi ma trận nghịchđảo hoặc nguyên tắc Cramer là:

1 1

2 2 1 1

1 2

f(K/s))f

s).(Mffs

(M

)(K/s)).R(sf

s(M

2 2 1 1

1 2

f(K/s))f

s).(Mffs(M

(K/s))f

s(M

s

2 1 1

2 2 2

1

1

1 2

2

fK)fs).(M

(s)VR(s)

(s)





Ví dụ 3: Hàm truyền đạt của động cơ dc

Động cơ dc là thiết bị phát động mà chuyển từ dạng năng lượng điện sang chuyểnđộng quay

Hình 2.10

Ví dụ 4: Cho hệ cơ học gồm một lò xo có hệ số c, một vật với khối lượng m và bộ

giảm chấn có hệ số d được nối với nhau như hình vẽ Xác định hàm truyền đạt cho

cu(t)

d

Fc Fm

Fd

hệ cơ đó nếu tín hiệu đầu vào u(t) được định nghĩa là lực bên ngoài tác động lên vật

và tín hiệu ra y(t) là quãng đường mà vật đi được

Gọi Fc, Fm, Fd là những lực của lò xo, vật và bộ giảm chấn sinh ra khi vật di chuyểnnhằm cản sự dịch chuyển đó thì:

dtdy(t)

Biến đổi Laplace: U(s) = ( c + ds + ms2 ) Y(s)

1

2



Gọi g(t) là hàm gốc của hàm truyền đạt G(s), tức là:

Hàm g(t) được gọi là hàm trọng lượng của hệ thống Với u(t) = (t)

Do U(s) = 1 nên ta có y(t) = g(t)

* Hàm truyền đạt trong lĩnh vực Laplace

Trên đây mới chỉ giới thiệu hàm truyền đạt giới hạn trong quan hệ tỷ lệ vào – ra đơngiản, đó là một hình thức để mô tả đặc trưng của phần tử hoặc hệ thống Tuy nhiên

có nhiều phần tử có đáp ứng thay đổi theo thời gian Trong lĩnh vực thời gian đặctính đó được mô tả bằng phương trình vi phân, phương trình này không trực tiếpdùng làm hàm truyền đạt được

Nếu dùng một hàm truyền đạt với biến số Laplace S, diễn tả được đặc tính động lựccủa phần tử hoặc hệ thống và phương pháp phân tích trong lĩnh vực thời gian ( tức

là quá trình quá độ)sẽ tương đối đơn giản giúp ta xác định đáp ứng của phần tử hoặc

hệ thống đối với một tín hiệu vào xác định

Đặc trưng của một hệ thống điều khiển, ta có phương trình vi phân tổng quát sauđây:

(pn + bn-1pn-1 + + b1p + b0) y(t) = ( ampm + am-1pm-1 + + a1p + a0 ) x(t) (2.11)

(p)L

(p)L.x(t)b

pb

pb

p

apa

pap

a

n m 0

1 1

1 n

0 1 1

m 1 m m

Biến đổi Laplace từng số hạng của phương trình (2.11) ta có

L[pn y(t)] = sn Y(s) – I(s)n

bn-1 L[pn-1 y(t)] =bn-1 sn-1 Y(s) – I(s)n-1

am L[pm x(t)] = am sm X(s) – I(s)m

am-1 L[pm-1 x(t)] =am-1 sm-1 Y(s) – I(s)m-1

Với I(s)n, là những điều kiện ban đầu tương ứng với các biến đổi

Thay vào phương trình:

Y(s) =

(s)L

I(s)(s).X(s)L

bsb

sbs

I(s)X(s)a

sa

sas

(a

n m 0

1 1

1 n

0 1 1

m 1 m m

I(s) = I(s)n + I(s)n-1 + - I(s)m - I(s)m-1 là tổng những điều kiện đầu

Từ phương trình trên thấy rằng:

- các đa thức Lm (s); Ln(s) ở trong miền biến đổi s vẫn giữ nguyên như trong miềntoán tử p

- Tử số của chúng cũng có dạng giống nhau, chỉ khác là ở miền s có các điều kiệnđầu I(s)

- Nếu các điều kiện đầu bằng 0 thì ta có thể biến đổi Laplace của phương trình viphân bằng cách thay s vào vị trí p, thay Y(s) vào vị trí y(t) và X(s) vào vị trí x(t).Tức là:

(s)L

n m

Vậy có mối quan hệ trong hệ thống điều khiển:

“Hàm phản ứng = Hàm truyền đạt x Hàm kích thích”

Nếu cho mẫu số của hàm truyền đạt bằng 0 ta sẽ có phương trình đặc trưng:

sn + bn-1sn-1 + + b1s + b0 = 0 trên cơ sở phương trình đặc trưng ta suy racác đặc tính chuyển tiếp của hệ thống.

- Hàm phản ứng (hàm chuyển tiếp) y(t) có thể xác định với việc biến đổi ngược hàmY(s)

y(t) = L-1[ Y(s)] = L-1 [

(s)L

I(s)(s).X(s)L

n

]Tìm y(t) theo 2 cách:

1) Dùng bảng để xác định các hàm thời gian tương ứng

2) Phân tích hàm đã biến đổi thành tổng những hàm đơn giản hơn và sau đó dùngbảng để biến đổi ngược từng số hạng

Thường dùng phương pháp 2 vì ít khi gặp các hàm đơn giản Vậy ta tìm hiểuphương pháp 2 như sau:

Y(s) =

(s)L

I(s)(s).X(s)

x x

m

(s).DL

I(s).D(s).N

L

ở đây A(s) và B(s) là những đa thức của s

Để có thể chia Y(s) thành các phân thức, ta phân tích mẫu số B(s) Giả sử cácnghiệm của B(s) là r1, r2, , rn Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn, nghiệm bộihay là số phức

- Nghiệm đơn:

Y(s) =

n n 2

2 1

1

rs

C

rs

Crs

CB(s)

Cn = lim[(s rn).Y(s)]

r

Biết được C1, C2, , Cn tìm được biến đổi Laplace ngược trong bảng:

L-1 [

n

nr-s

C] = Cn e nt ( t  0)Vậy,

1 1

1 q 1 q q

q

rs

C

rs

Crs

Kr)

(s

Kr)

(s

KB(s)

)r(s

r)(sqC

)r(s

r)(sqC

r)(s2KK

i

1 q 1

2 q 1 q q

1

{

2 2 r

1

{

(k) r

rt 2 rt

2 q 1 q rt 1

q

q

.eK1!

.t.eK

2)!

(q

.e.tK1)!

(q

.e.t

1 0

rs

C

rs

Cjbas

Cjb

as

-CB(s)

A(s)[

lim])r) (srjb).(sa

jb).(sa

(s

A(s)jb)

a

[(s

lim

n 1

jb a s n 1

s



s B

s A

/

/)]Sajb

r s jb a s jb a s

s A

a>0 a<0

s A

K(a+jb) = slima jb[( ).(( ) )

r s

s A

= [(2- 2as + a2+b2)B A((s s))]sajb

Các trị số k(a+jb) và k(a-jb) là các số phức liên hợp

Ta cần thể hiện các số này trên hình vẽ:

Từ bảng laplace ta xác định hàm chuyển tiếp

y(t) = c.e( a jb).t+Co.e( a jb).t+C1.er1 t+ +Cn.ernt

[k(a+jb)].eat.sin(( bt)+C1.er1 t+ +Cn.ernt

Phương trình trên thể hiện hàm điều hoà sin tắt dần theo hàm mũ, xuất pháttừnghiệm phức liên hợp Phần ảo b là tàn số dao động tắt dần Thời gian của mỗidao động là

b

2 Đường bao hình sin là

b

1[k(a+jb)].eat Để hàm mũ giảm dần thì a

phải là trị số âm Trường hợp a = 0, ta sẽ có hàm sin có biên độ

b

1[k(a+jb)].eat

không đổi

Cách khác xác định đáp ứng thời gian:

Đáp ứng thời gian có thể xác định bằng cách tìm các cực của G(s) X(s) vì

Y(s) = G(s) X(s) và ước lượng tìm các hệ số của các phân thức của biểu thức Y(s)tại các cực đó Các hệ số có thể xác định bằng đồ thị nhờ một ánh xạ cực – khôngcủa Y(s) ánh xạ này được dựng từ ánh xạ cực – không của G(s) và cộng thêm cáccực- không của X(s)

Các bước :

G(s) =

)p(s

)z(s.b

i n 1 i

i m 1 i m

)(Imtan 1

s G

s G



Mỗi số phức s, zi, pi, ( s + zi) và ( s + pi) có thể diễn tả bằng một vectơ trong mặtphẳng S Biểu diễn trên đồ thị: