Borwein 1986, Stability and regular points of inequality systems, Journal of Optimization Theory and Applications Vol.. Yen 1991, On implicit function theorems for valued maps and their
Trang 15.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 195
Vì thế, không thể so sánh khái niệm đối đạo hàm với khái niệm Jacobian xấp
xỉ Để vượt qua khó khăn đó, chúng ta cần đến định nghĩa sau
Định nghĩa 5.8.1 Một tập đóng khác rỗng ∆⊂ L(R n ,Rm) các toán tử tuyến
tính được gọi là một đại diện20 của ánh xạ đối đạo hàm D ∗ f (¯ x)( ã) nếu
x ∗ ∈D ∗ f(¯x)(y ∗)x ∗ , u = sup
A∈∆ A ∗ y ∗ , u ∀u ∈ R n , ∀y ∗ ∈ R m .
Do định lý tách các tập lồi, (8.2) tương đương với điều kiện sau
(8.3) coD ∗ f (¯ x)(y ∗) = co{A ∗ y ∗ : A ∈ ∆} ∀y ∗ ∈ R m
Nếu f là khả vi chặt tại ¯ x, thì ∆ := {f (¯ } là một đại diện của ánh xạ đối
đạo hàm D ∗ f (¯ x)(ã).
Nếu f : Rn → R m là Lipschitz tại ¯x, nghĩa là tồn tại > 0 sao cho
f(x )ư f(x) x ư x với mọi x, x được lấy tùy ý trong một lân cận của
được gọi là B-đạo hàm, là một Jacobian xấp xỉ của f tại ¯ x. ở đây
Ωf ={x ∈ R n:∃ đạo hàm Fréchet f (x) của f tại x }.
x Trong trường hợp m = 1, JClf (¯ x) = ∂Clf (¯ x) (xem Mục 5.2).
Mệnh đề 5.8.1 Nếu hàm f :Rn → R m là Lipschitz địa phương tại ¯ x, thì tập
hợp ∆ := J B f (¯ x) là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D ∗ f (¯ x)( ã).
Chứng minh Theo công thức (2.23) trong Mordukhovich (1994b), ta có
Trang 2196 5 Hệ bất đẳng thức suy rộng
Vậy (8.3) nghiệm đúng nếu ta chọn ∆ = J B f (¯ x) Điều đó chứng tỏ rằng
∆ = J B f (¯ x) là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D ∗ f (¯ x)( ã) 2
Mệnh đề 5.8.2 Nếu f là Lipschitz tại ¯ x và nếu ∆ là một đại diện của ánh xạ
đối đạo hàm D ∗ f (¯ x)( ã), thì Jf(¯x) := ∆ là Jacobian xấp xỉ của f tại ¯x.
Chứng minh Giả sử y ∗ ∈ R m được cho tùy ý Theo Mệnh đề 2.11 trong
Vì tính chất đó đúng với mọi y ∗ ∈ R m và u ∈ R n , ta kết luận rằng J f (¯ x) := ∆
là Jacobian xấp xỉ của f tại ¯ x 2
Trong mối liên hệ với Mệnh đề 5.8.2, chúng ta có câu hỏi tự nhiên sau đây
Câu hỏi 2: Phải chăng nếu f :Rn → R m là hàm véctơ liên tục và ∆ là một
đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D ∗ f (¯ x)( ã) : R m ⇒ Rn , thì J f (¯ x) := ∆ là
Jacobian xấp xỉ của f tại ¯ x?
Kết hợp mệnh đề sau với mệnh đề 5.8.2 ta có câu trả lời khẳng định cho
Câu hỏi 2
Mệnh đề 5.8.3 Nếu ánh xạ đối đạo hàm D ∗ f (¯ x)( ã) : R m ⇒ Rn của hàm số
liên tục f :Rn → R m có một đại diện J f (¯ x) ⊂ L(R n ,Rm ), thì f là Lipschitz
địa phương tại ¯ x.
Chứng minh Từ (8.3) suy ra rằng coD ∗ f (¯ x)(0) = {0} Vì vậy, D ∗ f (¯ x)(0) =
{0} Theo Mệnh đề 2.8 trong Mordukhovich (1988), điều đó kéo theo
x → {f(x)}
là ánh xạ đa trị giả-Lipschitz tại (¯x, f (¯ x)) Vì f là ánh xạ đơn trị, ta có f là
Lipschitz địa phương tại ¯x 2
Chúng ta xét thêm vài ví dụ ở đó ta sẽ tính dưới vi phân Mordukhovich và
đối đạo hàm của các hàm số và ánh xạ không trơn
Trang 35.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 197
Ví dụ 5.8.1 Giả sử hàm véctơ f : R → R2 được xác định bởi công thức
f (x) = ( |x|1/2 , ư|x|) với mọi x ∈ IR Khi đó f là hàm số liên tục, không Lipschitz tại 0, và gph f = {(x, |x|1/2 , ư|x|) : x ∈ R} Sử dụng (7.3) và công
thức tính nón pháp tuyến Fréchet NΩ(x) đã được nhắc lại ở Mục 5.7, ta có thể
Vì f không là Lipschitz địa phương tại ¯ x = 0, Mệnh đề 5.8.3 khẳng định ánh xạ
đối đạo hàm D ∗ f (0)( ã) không có đại diện dưới dạng một tập toán tử tuyến tính Một tính toán trực tiếp cho thấy rằng, với mỗi y ∗ = (y ∗
Ví dụ 5.8.2 Xét hàm số f : R → R2 cho bởi công thức f (x) = ( ư|x|1/3 , x1/3)
với mọi x ∈ IR Ta có f là hàm số liên tục, không Lipschitz địa phương tại 0,
Trang 4198 5 Hệ bất đẳng thức suy rộng
ánh xạ đối đạo hàm D ∗ f (0)(ã) không có đại diện dưới dạng một tập hợp toán
tử tuyến tính Có thể chứng tỏ rằng, với mọi y ∗ = (y ∗
là một Jacobian xấp xỉ của f tại 0 nếu ta nhúng J f (0) vào L( R, R2) bằng cách
đặt Au = (αu, βu) với mọi A = (α, β) ∈ Jf(0) và u ∈ IR.
Ví dụ 5.8.3 (xem Mordukhovich (1988), tr 65) Đặt f (x) = |x1| ư |x2| với mọi x = (x1, x2)∈ R2 và ¯x = (0, 0) Hàm f không lồi, không lõm Nó cũng
không là chính quy Clarke tại ¯x = (0, 0) Để xác định ánh xạ đối đạo hàm
Trang 55.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 199Tương tự,
Trang 6{(y ∗ , −y ∗ ), (y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗)}
∪{(y ∗ , −y ∗ − λ ∗) : −2y ∗ λ ∗ 0}
Trang 7Phụ lục A 201
Phụ lục A
Đề thi hết môn giải tích đa trị ở Viện Toán học
(Ngày thi: 26/8/2002 Lớp Cao học khoá 8)
ở đó n 2 là số nguyên cho trước và a = (a1, , a n) là véctơ thực Ký hiệu
F (a) là tập hợp các nghiệm phức của phương trình đã cho. ánh xạ F :Rn⇒ C,
a → F (a), có phải là ánh xạ đa trị
(b) Phát biểu và chứng minh định lý về sự bảo tồn tính liên thông tôpô qua
ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới
Bài 3 (2 điểm).
(a) Phát biểu định lý điểm bất động Kakutani
(b) Cho các ví dụ thích hợp để chứng tỏ rằng nếu trong phát biểu của định
lý ta bỏ đi một trong 4 điều kiện sau (nhưng vẫn giữ nguyên 3 điều kiện kia)thì kết luận của định lý có thể không còn đúng nữa:
(i) G là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên,
(ii) G có giá trị lồi,
(iii) G có giá trị đóng,
(iv) G có giá trị khác rỗng,
ở đó G là ánh xạ đa trị được xét.
Trang 8- Viết công thức của các đạo hàm DF z¯, DF z0, CF z¯, và CF0z Hỏi những
đạo hàm đó có phải các quá trình lồi đóng hay không? có phải là các ánh xạtràn hay không?
Bài 5 (1 điểm) Chọn giải một trong hai bài tập sau:
1 Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong X Chứng minh rằng nếu dom F là tập compắc và F là ánh xạ
có giá trị compắc, thì rge F là tập compắc.
2 Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có đồ thị
đóng Chứng minh rằng F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X.
Trang 9Phụ lục B 203
Phụ lục B
Đề thi hết môn giải tích đa trị ở Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh
(Ngày thi: 28/8/2003 Lớp Sinh viên chọn, ĐHSP Tp Hồ Chí Minh)
Bài 1 (2 điểm) Cho ánh xạ đa trị F : R ⇒ R, F (x) = {y ∈ R : y x3} (a) Xác định các tập dom F và rge F
(b) F có phải là ánh xạ đa trị lồi hay không?
(c) F có phải là ánh xạ đa trị đóng (tức là ánh xạ có đồ thị đóng) hay không? (d) Viết công thức tính tập F ư1 (y) với y ∈ IR.
(e) Xác định tập hợp gph (F ư1 ◦ F ) Tính tập (F ư1 ◦ F )(x) với x ∈ IR.
Bài 2 (2 điểm) Cho
M = {x = (x1, x2)∈ R2 : x1+ x2 2, x2 x3
1}, ¯x = (1, 1) Tính hình nón Bouligand T M(¯x) Gọi G : R ⇒ IR là ánh xạ đa trị có đồ thị
trùng với hình nón T M(¯x) đó Xác định các tập dom G và rge G.
Bài 3 (2 điểm) Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa
trị Chứng minh rằng nếu
(i) dom F là tập liên thông,
(ii) F (x) là tập liên thông với mọi x ∈ dom F , và
(iii) F là nửa liên tục dưới ở trong X,
thì rge F là tập liên thông.
Bài 4 (1 điểm) Cho X, Y là các không gian tuyến tính, A : X → Y là ánh xạ tuyến tính, K ⊂ Y là hình nón lồi Chứng minh rằng F : X ⇒ Y cho bởi công thức F (x) = Ax + K (x ∈ X) là ánh xạ đa trị lồi Chứng minh rằng F là ánh
xạ đa trị thuần nhất dương, tức là
F (λx) = λF (x) (∀x ∈ X, ∀λ 0).
Bài 5 (1 điểm) Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị
có đồ thị đóng Chứng minh rằng F (x) là đóng với mọi x ∈ X.
Bài 6 (1 điểm) Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong X Chứng minh rằng nếu dom F là tập compắc và F
là ánh xạ đa trị có giá trị compắc thì rge F là tập compắc.
Bài 7 (1 điểm) Cho X, Y , Z là các không gian định chuẩn, F : X ⇒ Y và
F : Y ⇒ Z là các ánh xạ đa trị lồi Chứng minh rằng G ◦ F : X ⇒ Z là ánh
xạ đa trị lồi
Lưu ý: Nếu số người giải được các câu 5-7 không nhiều, thì điểm cho các câu
này sẽ được nhân đôi
Trang 10204 Phô lôc B
Trang 11Tµi liÖu tham kh¶o 205
Tµi liÖu tham kh¶o
1 J.-P Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and istence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions,
ex-Advances in Mathematics, Supplementary studies (L Nachbin, Ed.), 160–232
2 J.-P Aubin (1984), Lipschitz behavior of solutions to convex minimization
problems, Mathematics of Operations Research Vol 9, 87–111.
3 J.-P Aubin and A Cellina (1984), Differential Inclusions Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg.
4 J.-P Aubin and I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley
& Sons, Wiley-Interscience
5 J.-P Aubin and H Frankowska (1987), On inverse function theorem for
set-valued maps, Journal de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees Vol 66,
71–89
6 J.-P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser,
Berlin
7 A Auslender (1979), Differential stability in nonconvex and
nondifferen-tiable programming, Mathematical Programming Study Vol 10, 29–41.
8 A Auslender and M Teboulle (2003), Asymptotic Cones and Functions
in Optimization and Variational Inequalities, Springer, New York.
9 C Berge (1959), Espaces topologiques: Fonctions multivoques, Dunod,
Paris
10 J F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York.
11 J M Borwein (1986), Stability and regular points of inequality systems,
Journal of Optimization Theory and Applications Vol 48, 9–52.
12 J M Borwein and Q J Zhu (2005), Techniques of Variational Analysis,
Springer, New York
13 J M Borwein and D M Zhuang (1988), Verifiable necessary and cient conditions for regularity of set-valued and single-valued maps, Jour-
suffi-nal of Mathematical Asuffi-nalysis and Applications Vol 134, 441–459.
Trang 12206 Tài liệu tham khảo
14 G Bouligand (1930), Sur les surfaces dépourvues de points hyperlimits,
Ann Soc Polon Math Vol 9, 32–41.
15 C Castaing and M Valadier (1977), Convex Analysis and Measurable Functions, Springer-Verlag.
16 Nguyễn Huy Chiêu (2004), Sự tồn tại lát cắt đặc biệt của ánh xạ đa trị và khái niệm tích phân Aumann, Luận văn Thạc sĩ toán học, Đại học Vinh,
21 B D Craven (1978), Mathematical Programming and Control Theory,
Chapman and Hall, London
22 P H Dien (1982), Locally Lipschitzian set-valued maps and generalized
extremal problems, Acta Mathematica Vietnamica Vol 8, 109–122.
23 P H Dien (1985), On the regularity condition for the extremal problem under locally Lipschitz inclusion constraints, Applied Mathematics and
Optimization Vol 13, 151–161.
24 P H Dien and P H Sach (1989), Further properties of the regularity of
inclusion systems, Nonlinear Analysis Vol 13, 1251–1267.
25 P H Dien and N D Yen (1991), On implicit function theorems for valued maps and their applications to mathematical programming under
set-inclusion constraints, Applied Mathematics and Optimization Vol 24,
35–54
26 A L Donchev and R T Rockafellar (1996), Characterizations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM
Journal on Optimization Vol 6, 1087–1105.
27 I Ekeland (1974), On the variational principle, Journal of Mathematical
Analysis and Applications Vol 47, 324–353.
Trang 13Tµi liÖu tham kh¶o 207
28 J Gauvin (1979), The generalized gradient of a marginal function in
math-ematical programming, Mathematics of Operations Research Vol 4, 458–
Programming Study Vol 21, 69–78.
31 J Gauvin and J W Tolle (1977), Differential stability in nonlinear
pro-gramming, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 15, 294–311.
32 B Gollan (1984), On the marginal function in nonlinear programming,
Mathematics of Operations Research Vol 9, 208–221.
33 V V Gorokhovik and P P Zabreiko (2005), On Fr´echet differentiability
of multifunctions, Optimization Vol 54, 391–409.
34 T X D Ha (2005), Lagrange multipliers for set-valued problems ciated with coderivatives, Journal of Mathematical Analysis and Applica-
37 A D Ioffe and V M Tihomirov (1979), Theory of Extremal Problems,
North-Holland Publishing Company
38 V Jeyakumar and D T Luc (1998), Approximate Jacobian matrices for nonsmooth continuous maps and C1-optimization, SIAM Journal on Con-
trol and Optimization Vol 36, 1815–1832.
39 V Jeyakumar and D T Luc (1999), Nonsmooth calculus, minimality, and monotonicity of convexificators, Journal of Optimization Theory and
Applications Vol 101, 599–621.
40 V Jeyakumar and D T Luc (2002a), An open mapping theorem using
unbounded generalized Jacobians, Nonlinear Analysis Vol 50, 647–663.
Trang 14208 Tài liệu tham khảo
41 V Jeyakumar and D T Luc (2002b), Convex interior mapping theorems for continuous nonsmooth functions and optimization, Journal of Nonlinear
and Convex Analysis Vol 3, 251–266.
42 V Jeyakumar and X Wang (1999), Approximate Hessian matrices and second-order optimality conditions for nonlinear programming problems with C1-data, Journal of the Australian Mathematical Society Series B
Vol 40, 403–420.
43 V Jeyakumar and N D Yen (2004), Solution stability of nonsmooth tinuous systems with applications to cone-constrained optimization, SIAM
con-Journal on Optimization Vol 14, 1106–1127.
44 A Jourani (2000), Hoffman’s error bound, local controllability, and
sen-sitivity analysis, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 38,
947–970
45 J L Kelley (1957), General Topology, D Van Nostrand Company, New
York
46 P K Khanh (1986), An induction theorem and general open mapping
theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 118,
519–534
47 P K Khanh (1988), An open mapping theorem for families of
multi-functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 132,
491–498
48 P K Khanh (1989), On general open mapping theorems, Journal of
Math-ematical Analysis and Applications Vol 144, 305–312.
49 B T Kien, J.-C Yao and N D Yen (2007), On the solution existence of pseudomonotone variational inequalities, Journal of Global Optimization
(đã đ−ợc nhận đăng)
50 A Ja Kruger and B Mordukhovich (1980), Extremal points and the Euler equation in nonsmooth optimization problems (in Russian), Dokl Akad.
Nauk BSSR Vol 24, 684–687 (tiếng Nga).
51 G M Lee, N N Tam and N D Yen (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: “Nonconvex
Optimization and its Applications”, Vol 78, Springer, New York.
52 D T Luc (1989), Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in
Eco-nomics and Mathematical Systems Vol 319, Springer, Berlin-Heidelberg.
Trang 15Tµi liÖu tham kh¶o 209
53 D T Luc (2003), A Multiplier rule for multiobjective programming
prob-lems with continuous data, SIAM Journal on Optimization Vol 13, 168–
178
54 D T Luc and C Malivert (1992), Invex optimisation problems, Bulletin
of the Australian Mathematical Society Vol 46, 47–66.
55 Y Lucet and J J Ye (2001, 2002), Sensitivity analysis of the value function for optimization problems with variational inequality constraints, SIAM
Journal on Control and Optimization Vol 40, 699–723; Erratum SIAM Journal on Control and Optimization Vol 41, 1315–1319.
56 Z Q Luo, J.-S Pang and D Ralph (1996), Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
57 O L Mangasarian and T H Shiau (1987), Lipschitz continuity of solutions
of linear inequalities, programs and complementarity problems, SIAM
Journal on Control and Optimization Vol 25, 583–595.
58 H Maurer and J Zowe (1979), First and second-order necessary and ficient optimality conditions for infinite-dimensional programming prob-
suf-lems, Mathematical Programming Vol 16, 98–110.
59 B S Mordukhovich (1976), Maximum principle in the problem of time response with nonsmooth constraints, Journal of Applied Mathematics and
Mechanics Vol 40, 960–969.
60 B S Mordukhovich (1988), Approximation Methods in Problems of timization and Control (in Russian), Nauka, Moscow.
Op-61 B S Mordukhovich (1992), Sensitivity analysis in nonsmooth optimization,
in “Theoretical Aspects of Industrial Design” (D A Field and V Komkov,Eds.), pp 32–46, SIAM Publications
62 B S Mordukhovich (1993), Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Transactions of
the American Mathematical Society Vol 340, 1–36.
63 B S Mordukhovich (1994a), Lipschitzian stability of constraint systems and generalized equations, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Ap-
plications Vol 22, 173–206.
64 B S Mordukhovich (1994b), Generalized differential calculus for smooth and set-valued mappings, Journal of Mathematical Analysis and
non-Applications Vol 183, 250–288.