Công thức của vận may (Phần 3) Hãy thử gõ dòng “Công thức Kelly” hay “Tiêu chuẩn Kelly” vào Google. Những mô hình làm giàu nhanh luôn được ưa thích kế sau đề tài về sex. Trang web cũng đưa ra những bàn luận tranh cãi, theo đó, nhiều tác giả không hiểu được các nhà kinh tế học cũng như các nhà lý luận thông tin nói gì. Vậy tiêu chuẩn Kelly là gì? “Tất cả đám cờ bạc đáng gờm thường sử dụng mánh gì đó gần giống với tiêu chuẩn Kelly” - Jojn May – kẻ được trang web mô tả như “một tay cá cược đáng sợ nhất trên thế giới” - tuyên bố. Một trang web về cá cược bóng đá tại Anh cho rằng, người phát minh ra hệ thống cá cược, ngài John L Kelly của Hoa Kỳ (người đang làm việc cho phòng thí nghiệm AT&T Bell), rõ ràng là một gã hâm vô dụng”. Tuy nhiên, cụm từ diễn tả chính xác nhất mối quan hệ giữa cộng đồng những người cá cược và tiêu chuẩn Kelly là yêu - ghét. Một vài người chống tiêu chuẩn Kelly chỉ trích kịch liệt trên các website làm cho cái tên Samuelson nghe có vẻ nhạt nhẽo. J.R Miller, chủ bút của tờ “Cá cược chuyên nghiệp” (Professional Gambler Newsletter) đã viết: “Lần tới, nếu có một gã mách nước cá ngựa trong bộ com-lê xấu xí khuyên bạn nên sử dụng một mô hình cá cược tiên tiến, ví như “tiêu chuẩn Kelly” thì hãy yêu cầu xem qua bằng Thạc sĩ về toán học của ông ta - nhất là về toán xác suất”. Miller cho rằng nên gọi tiêu chuẩn Kelly là “tiêu chuẩn Kevorkian” hoặc “tiêu chuẩn Kamikaze”. Nó sẽ tự đào hố chôn mình”. Tất nhiên Miller có đề cập đến đặc điểm tụt giảm mạnh về tài sản trong cách đặt cược liên tục của Kelly. Giải pháp mà ông muốn tìm hiểu là luôn đặt cược cùng một lượng tiền, cho dù là bao nhiêu. Với các bài viết về cá cược tỉ lệ 50-50 các trận đấu thể thao (mang lại 99 đô la/tháng), Miller đề xuất rằng chúng ta có thể tăng nguồn vốn của mình lên gấp 3 lần trong một năm. Ông cũng ghi chép lại rằng “theo chuyên gia nghiên cứu Nigel E.Turner, Tiến sĩ, nhà khoa học tại Trung Tâm nghiên cứu Nghiện và sức khỏe tâm thần thì tiền lời trong các vụ cá cược (như trong hệ thống của Kelly) là một trong những triệu chứng của một người có vấn đề về bài bạc.” Hàng loạt các trang web bàn luận về phương pháp đầu tư của Kelly. Một vài trang cố gán cho tiêu chuẩn Kelly phù hợp với việc chọn lựa chứng khoán thông thường. Những trang web này thường biến các thuật toán của Kelly thành những bài thuyết giáo tẻ nhạt mà chẳng ai có thể phản đối một cách chính xác được (Ví dụ như “Hãy đầu tư vào lĩnh vực mà bạn có lợi thế và tập trung vào nó trong dài hạn”). Những đặc điểm thu hút của tiêu chuẩn Kelly (lợi nhuận tối đa và độ rủi ro bằng không) đòi hỏi sự chính xác khi ước tính biên và số dư. Sự chính xác đó khó có được trong hình thức đầu tư thông thường. Trong số những người ủng hộ Kelly, ai cũng biết bao gồm cả Warren Buffett, chỉ có điều Buffett không công khai thừa nhận thôi. Triết lý của Buffett khi đầu tư vào một số ít các công ty nhỏ nơi ông có lợi thế và tập trung vào đầu tư dài hạn là “hãy cược niềm tin của bạn”, nghe có vẻ giống triết lý của John Kelly bất kể ông có biết Kelly hay chưa. Lý thuyết này được giám đốc Quỹ Robert Hagstrom phát triển thêm trong cuốn sách “Danh mục đầu tư của Warrren Buffett” của mình. Hagstrom trình bày rất thẳng thắn: “Chúng ta không có bằng chứng nào chứng tỏ Buffett áp dụng mô hình Kelly khi phân bổ nguồn vốn Berkshire. Nhưng khái niệm niệm tiêu chuẩn Kelly là một quá trình hoàn toàn dựa trên lý trí, và theo tôi nghĩ, rõ ràng nó trùng hợp với tý duy của Buffett”. Thorp viết: “Kinh nghiệm của tôi là hầu hết những tay chõi bạc hay các nhà đầu tý kỹ tính sử dụng tiêu chuẩn Kelly ðều thấy rằng số vốn của họ thường xuyên giảm sút đáng kể đến mức không chấp nhận được. Những ngýời cá cýợc ðã hoàn thiện một số cách để làm giảm tính bất ổn mạnh trong mô hình của Kelly. Thorp sử dụng cách tiếp cận tương tự đối với hình thức đầu tư Princeton-Newport. Khó mà nói quá lên tầm quan trọng của vấn đề này. Không thể mua bán một Quỹ chống rủi ro mà giá trị tài sản của nó bất ổn như nguồn vốn của một nhà đầu tư kiểu liên tục của Kelly. Có hai cách để giải quyết trôi chảy vấn đề này. Cách thứ nhất là chỉ đặt cược một phần nhỏ cố định trong tổng số tiền cược của Kelly hay còn gọi là bước xác định quy mô cược. Giống như từ trước đến nay, bạn quyết định lựa chọn một cơ hội duy nhất nào hoặc một danh mục cơ hội nào có thể tối đa hóa số trung bình nhân. Khi đó bạn đặt cược một khoản ít hơn tổng số tiền cá cược của Kelly. Các tay cá cược thường chọn tỉ lệ “một nửa Kelly” nhất. Theo đó thì bạn chỉ đặt cược phân nửa số tiền cược của Kelly mà thôi. Tỉ lệ này khá hấp dẫn vì nó làm giảm đáng kể sự biến động, trong khi đó, chỉ làm giảm tỉ suất lợi nhuận xuống 1/4. Trong một ván cược hay một vụ đầu tư với toàn bộ số vốn của Kelly, của cải tăng thêm 10% mỗi đơn vị thời gian, còn nếu chỉ sử dụng một nửa số vốn của Kelly, con số đó là 7,5%. Lợi nhuận bị giảm đi, nhưng rủi ro cũng giảm đi rất nhiều. Có thể thấy rằng một người đầu tư với toàn bộ số vốn của Kelly có xác suất bị giảm nửa số vốn trước khi có thể gấp đôi nó là 1/3. Nhưng xác suất này đối với người đầu tư chỉ đặt một nửa số vốn chuẩn của Kelly chỉ là 1/9. Trên một trang web, Ray Dillinger gọi tiêu chuẩn Kelly là “một đường phân định rạch ròi” giữa “đầu tư liều lĩnh” (sẵn sàng mua ở giá cao) và “đầu tư không tính toán”. Nói như vậy quả là đã nêu được sự thiếu thu hút của hệ thống Kelly. Đồ thị trang bên biểu diễn hai đại lượng là lợi nhuận kép và quy mô đặt cược. Trục hoành được chia ra thành nhiều đơn vị gọi là các phân số Kelly. Điểm 1 biểu thị số tiền đặt cược đúng theo tiêu chuẩn Kelly (nó cũng chính là tỉ lệ chính xác tài sản của người đầu cơ). Điểm 0 nghĩa là không cược gì cả và điểm 2 là đặt cược gấp hai lần so với tiêu chuẩn Kelly. Đường cong lợi nhuận kép đạt cao nhất tại điểm cược chuẩn Kelly. Ở đó có tiếp tuyến với trục hoành. Bạn có thể đặt cược ít hơn hoặc nhiều hơn một chút cũng không ảnh hưởng nhiều đến lợi nhuận kép. Bạn đặt cược càng nhiều bao nhiêu thì số vốn của bạn càng dao động lên xuống bấy nhiêu. Sự bất ổn sẽ gia tăng khi bạn di chuyển qua phía bên phải của đồ thị. Những điểm đặt cược nằm bên trái của đồ thị, bao gồm cả điểm đặt cược chuẩn của Kelly là những điểm đặt cược liều lĩnh. Những điểm nằm bên phải là những điểm đặt cược không lí trí. Chúng bị gọi là “không lí trí” vì chúng làm giảm lợi nhuận kép, trong khi đó, thậm chí còn làm tăng tính bất ổn so với hệ thống Kelly. Khi tăng gấp số tiền cược chuẩn của Kelly, lợi nhuận kép giảm xuống bằng 0. Và khi đó, cho dù đổ thêm tiền cược vào nữa thì cũng chẳng cải thiện được gì. Đồ thị có xu hướng đi xuống trong khi số vốn của người đặt cược dao động càng nhiều. Vì đầu tư liều lĩnh tốt hơn là đầu tư không lí trí, luôn luôn là một quyết định khôn ngoan khi đầu tư một tỉ lệ bé hơn 1, ngay cả đối với những người liều lĩnh nhất. Ứng dụng vào thực tế, chúng ta không biết chắc được những số dư từ các ván cược mà ta tham gia. Con người luôn muốn tính sai đi theo hướng có lợi cho mình. Bill Bente, người đã thu về hàng triệu đô la bằng cách vận dụng phương pháp phân số của Kelly trong cá độ đua ngựa cho rằng chỉ ngay cả một cái máy tính tốt nhất nhưng sử dụng các mô hình chưa hoàn thiện cũng rất dễ tính lố giá trị biên lên gấp đôi. Điều này có nghĩa là một ai đó cố gắng đặt cược đúng chuẩn Kelly thì vô tình lại đặt cược gấp đôi, và làm cho tỷ suất lợi nhuận bằng 0. Đặt cược theo tỷ lệ chuẩn của Kelly sẽ không phải hy sinh nhiều lợi nhuận. Trong trường hợp mắc phải sai lầm, nó cũng ít khi đẩy người cá cược vào khu vực đầu tư không lí trí. Hầu hết mục đích thực sự của những người vận dụng tiêu chuẩn Kelly thành công là có thể đặt cược một lượng thấp hơn lượng chuẩn của Kelly, lượng này được quyết định không chắc chắn và sở thích đối với rủi ro. Phát biểu tại Montreal vào năm 1997, Thorp tóm lược việc đầu tư của mình trong vòng bốn câu: Những cá nhân hay tổ chức muốn đầu tư thu lợi nhuận kép trong dài hạn nên suy xét khả năng sử dụng tiêu chuẩn Kelly để tối đa hóa, một cách tương đối, mức tăng trưởng kép về tài sản của họ. Những nhà đầu tư ít chấp nhận nguy cơ rủi ro trong trung hạn sẽ dùng một tỉ lệ thấp hơn so với tỉ lệ chuẩn của Kelly. Những nhà đầu tư thu lợi nhuận kép dài hạn nên tránh việc áp dụng tỉ lệ cao hơn tiêu chuẩn Kelly (“đặt cược quá mức”). Do vậy, trong phạm vi các sự kiện xảy ra trong tương lai là không chắc chắn, các nhà đầu tư dài hạn phải giới hạn số vốn đầu tư hơn nữa theo một tỉ lệ vừa đủ để phòng ngừa các rủi ro đáng kể do việc đầu tư quá tải. Đối với các nhà phê bình, hệ thống Kelly chỉ đơn thuần là một hàm hữu dụng mà đặc điểm của nó là bộc lộ sự kết hợp giữa tính tham lam và sự thiếu cẩn trọng. Với những người như Thorp và Benter, hệ thống Kelly giống một hình mẫu hơn là một phương pháp mới để phác họa bức tranh đầy đủ về rủi ro và lợi nhuận. Cách thứ hai để cải tiến hệ thống Kelly là đa dạng hóa. Những người chơi xì dách thỉnh thoảng vẫn góp chung vốn lại. Mỗi người sẽ giữ một phần trong tổng số vốn của nhóm và chơi độc lập với nhau. Vào cuối ngày họ tập trung số tiền thắng (hay thua lỗ) rồi chia đều ra. Bằng cách chia đều may mắn cho mọi thành viên, cả nhóm thường sẽ được lợi nhiều hơn, ít khi bị lỗ. Tác động này hoàn toàn quan trọng. Cách tốt nhất để xem nó có hiệu quả thế nào là hãy tưởng tượng bạn có thể đặt cược cùng một lúc với hàng trăm đồng xu riêng biệt nhau. Xác suất mỗi đồng xu rơi xuống là mặt ngửa và bạn bị mất tiền là 55%. Như ta đã biết, ván cược kiểu Kelly gồm những lần cược liên tiếp nhau với mỗi đồng xu – tương ứng 10% tổng giá trị số vốn của bạn (100 đồng xu). Còn đặt cược cùng một lúc thì hoàn toàn khác. Bạn có thể đa dạng hóa đầu tư của mình bằng cách chia vốn ra nhiều phần bằng nhau cho các đồng xu. Bằng cách này bạn có thể giảm đáng kể rủi ro bị thua lỗ nghiêm trọng. Nhà đầu tư sử dụng phương pháp tối đa hóa số trung bình nhân sẽ đưa ra một tổng vốn lớn hơn, làm gia tăng mức lợi nhuận kép. Với hàng trăm đồng xu được tung lên cùng một lúc, tay cược của Kelly đặt 1/100 số vốn của mình cho mỗi đồng. Nói cách khác, người này đặt cược gần như toàn bộ số vốn của mình - nhưng không phải tất cả - vào “danh mục” các đồng xu. Anh ta không đặt cược tất cả vốn bởi rất hiếm xảy ra trường hợp 100 đồng xu rơi xuống đều là mặt sấp. Sự đa dạng hóa này trên đồ thị chính là một đường số mũ tăng trưởng, không trồi lên trụt xuống, ở đó ít khi thấy sự tăng hoặc sụt giảm mạnh. Princeton Newport luôn là một hình thức đa dạng hóa cao. Nguồn cung của các chứng khoán bị đánh giá thấp là rất hạn chế. Do vậy, nguồn vốn của quỹ đầu tư cần được chia nhỏ đồng thời cho nhiều “khoản cược” (khoản đầu tư). Sự đa dạng hóa rất hiệu quả đối với những người chơi bài xì dách theo nhóm vì cho dù thế nào đi nữa cũng không có sự tương quan giữa vận may của các lần chơi. Nó cũng hiệu quả đối với Princeton-Newport bởi vì sự tương quan giữa các khoản đầu tư thường thấp. Các giao dịch phòng chống rủi ro của quỹ đầu tư được thiết kế sao cho không nhạy cảm với các biến động chung của thị trường. Thorp cũng tìm tòi các cách làm cho các phiên giao dịch “trung lập với sự bất ổn”. Một thị trường hay một thị trường hay hoang mang cũng không ảnh hưởng nhiều đến lợi nhuận. Tiếc thay, một nhà đầu tư chứng khoán bình thường chỉ có thể đa dạng hóa đầu tư đến mức độ như vậy mà thôi. Cô ta có thể và nên đa dạng hóa để giảm bớt một số rủi ro bằng cách mua một quỹ theo chỉ số hoặc một danh mục đầu tư cân bằng tốt khác. Tuy nhiên, vẫn còn đó một rủi ro đáng kể: sự sụp đổ chung của thị trường. Cô ta có thể đa dạng hóa thêm nữa bằng cách mua một quỹ đầu tư toàn cầu. Mà cho dù làm như vậy thì vẫn có những hạn chế. Trong nền kinh tế toàn cầu của chúng ta, hầu hết các chứng khoán và các thị trýờng chứng khóan ðều có mối liên hệ týõng quan với nhau theo nhiều mức ðộ khác nhau. Một sự sụp đổ ở Tokyo có thể kéo theo sự sụp ðổ của các chứng khóan ở New York. Vì lý do này, việc áp dụng tiêu chuẩn Kelly đầu tư vào chứng khoán thông thường chẳng thu hút được mấy người. Bất kì ai dốc toàn bộ của cải chơi chứng khoán đều phải chấp nhận một sự tụt giảm mạnh về tài sản của mình. Và điều này đã gây nhiều tranh cãi khi bàn về việc đầu tư theo tiêu chuẩn Kelly. Tiêu chuẩn này hầu như không thích hợp với Thorp và quỹ chống rủi ro của ông. Một cuộc kiểm tra gay gắt về tính trung lập đối với thị trường của hình thức đầu tư Princeton Newport chính là sự sụp đổ của thị trường chứng khoánvào ngày thứ Hai đen tối 19 tháng 10 năm 1987. Chỉ số Dow Jones tụt mất 23% giá trị chỉ vỏn vẹn trong vòng một ngày, mức cao nhất từ trước đến nay. Danh mục đầu tư trị giá 600 triệu đô la Mỹ của Princeton-NewPork tụt xuống chỉ còn 2 triệu. Đầu óc nhanh nhạy của Thorp ngay lập tức tìm thấy những cơ hội làm giàu nhờ tình trạng hoang mang hỗn loạn này. Trong suốt cơn sụt giá này, không ai có nhu cầu mua chứng khóan nên chẳng hề bán được tí nào. Tuy nhiên, Thorp lại lời khoảng 2 triệu đô la từ các giao dịch mới trong cái ngày đen tối đó và cả ngày kế tiếp. Princeton Newpork đã phải đóng cửa vào tháng 10 năm 1987 chỉ trong vòng một tháng. Hầu hết các quỹ tương hỗ giảm 20% giá trị hoặc thậm chí còn hơn thế. Khoản tiền Princeton Newport thu được trong năm đó là một con số đáng ngạc nhiên: 34% so với trước. Ngày thứ Hai đen tối còn là một thử thách khắc nghiệt cho thuyết thị trường hiệu quả. Đối với nhiều người, chứng kiến chỉ số Dow Jones, đại diện cho sự đánh giá kỹ càng của họ về giá trị thị trường tụt giảm 23% chỉ trong vòng một ngày chỉ với duy nhất một thông tin: thị trường sụp đổ, thật chẳng dễ chịu chút nào. Ngày thứ Hai đen tối này khiến một số nhà kinh tế bác bỏ thuyết thị trường hiệu quả. Những thuật ngữ như “tính hợp lý” hay “thị trường hiệu quả” gây nhiều tranh cãi. Có thể nói rằng thị trường đang hoạt động rất hợp lý, bởi lẽ trước đó đã có một số người không ủng hộ việc cung cấp các thông tin kinh tế trong những tuần dẫn đến cuộc khủng hoảng. Có lẽ sự sụp đổ của thị trường lần này là một phản ứng chậm, một trò chơi trong dàn nhạc mà mỗi một nhà đầu tư đều cố bán đi phần của mình ngay trước khi người khác bán được phần của họ. Bằng cách này, sự hỗn loạn hoàn toàn có thể được giải thích như một tác động phụ của các thị trường hiệu quả. Ngày thứ Hai đen tối là một ví dụ rõ hơn phủ nhận mô hình Bước đi ngẫu nhiên dạng hình học của giá chứng khóan. Sự sụp đổ của thị trường to lớn hơn nhiều so với những gì người ta dự đoán dựa theo mô hình rất phổ biến trên. Mark Rubinstein (nhà phát minh loại hình bảo hiểm danh mục đầu tư đóng một vai trò khá quan trọng trong sự sụp đổ này) ước tính rằng xác suất thị trường sụt giá 29% trong vòng một ngày (như chỉ số giá các giao dịch kỳ hạn của S&P đã từng) chỉ là 1/(10 mũ 160). Đó là con số bạn có được khi viết 160 chữ số 0 sau số 1! Theo Rubinstein thì: Một sự kiện không được dự đoán trước là sẽ xảy ra cho dù thị trường chứng khoán có tồn tại được 20 tỉ năm, tức bằng với tuổi thọ ước tính cho tới nay của vũ trụ này đi nữa, thì không chắc sẽ xảy ra. Thực sự, một sự kiện như thế cũng sẽ không xảy ra ngay cả khi thị trường chứng khoán cứ 20 tỉ năm lại hồi sinh một lần cùng với sự hồi sinh của vũ trụ. Các đợt sụp đổ của thị trường không hẳn là một quan niệm mới. Đã có một lần thị trường sụp đổ vào năm 1929, mặc dù (theo như tài liệu của Rubinstein), nó dường như chẳng đọng lại chút nào trong suy nghĩ của các nhà kinh tế học nửa thế kỉ sau. Chỉ có một người chú ý đến nó là Robert C.Merton. Vào những năm 1970, Merton viết: thị trường sẽ hoạt động vừa giống một con bọ chét vừa giống một con kiến. Hầu hết thời gian, giá chứng khoán lên rồi xuống như nước đi của một con kiến. Thỉnh thoảng, giá chứng khoán lại nhảy vọt như con bọ chét. Merton lý giải nguyên nhân của những lần nhảy vọt này là do các lựa chọn về giá. Sự tồn tại của những bước nhảy vọt này cho thấy những mô hình phổ biến, bao gồm cả công thức Black-Scholes, cũng không hoàn toàn chính xác. Không thể kết hợp hệ thống Kelly với bất kì một mô hình nào, kể cả mô hình Bước đi ngẫu nhiên logarit thông thường để “giả định” thị trường hoạt động như thế nào. Phương pháp tối đa hóa số trung bình nhân tỏ ra hiệu quả với những “bước nhảy bọ chét” hoặc với bất kì mô hình nào được diễn tả chính xác. Ngược lại, phân tích trung bình – phương sai lại không thích hợp để điều chỉnh các bước nhảy này vì không thể diễn tả chúng chỉ với vỏn vẹn hai con số trong lý thuyết của Markowitz. . Công thức của vận may (Phần 3) Hãy thử gõ dòng Công thức Kelly” hay “Tiêu chuẩn Kelly” vào Google sinh của vũ trụ. Các đợt sụp đổ của thị trường không hẳn là một quan niệm mới. Đã có một lần thị trường sụp đổ vào năm 1929, mặc dù (theo như tài liệu của