Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế

Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế Bài tập toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG

Chương 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Bài 1.1 Tính các định thức sau

128

75





31

69



1382

531

324

2

42

3

50

132

302





g)

132

311

324

112

235

4

132

3

341

2

230

1543

1322

2301

31034

2021

3

4532

1

04312

11342

21123

10312

13201

781

98

2

chia hết cho 17

Bài 1.4 Chứng minh rằng định thức D =

5 6 4

5 2 1

0 9

2

chia hết cho 19

Bài 1.5 Chứng minh các đồng nhất thức sau:

a)

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

c y b x a b

a

c y b x a b

a

c by ax b

1 1 1

c b a

c b a

c b

a

11

1

b c a c a

b ab c

ca b

1

3 3

3

b c a c a b c b

a c b

a

c b

2 2 2

1 1

1 1

1

1

c c

b b

a a ab

c

ca b

bc

a



Bài 1.6 Trong các định thức cấp n, xác định dấu của

a) Tích các phần tử nằm trên đường chéo chính

b) Tích của các phần tử nằm trên đường chéo phụ

Bài 1.7 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:

a) Đổi dấu tất cả các phần tử của nó

b) Viết các cột theo thứ tự ngược lại

Bài 1.8 Tìm giá trị lớn nhất của định thức cấp 3 chỉ nhận các phần tử là

Bài 1.9 Giải phương trình sau

18329

2223

4321

22

32

32

10

121

20

1212

2201

2) Tính

a)

nxcosxsin

xsinx

14

1 a 0

0 1 a

21

11

Bài 1.12 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

313

201

123

31

2131

3224

0312

3200

6420

3101

Bài 1.13 Giải các phương trình AX = B, biết:

32

65

45

31

34

00

21

00

1n2n

10

n1n

21B

;10

00

11

00

11

10

11

11

A

Bài 1.14 a) Cho A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện: A2  2010AE 0 Tìm ma trận

130

312

3221

4102

1321

1533

1212

0321

4442

2113

3221

1312

23213

4032

81061

3102

4321

5m12

21m1

ba

b) Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các

Bài 1.19 a) Cho A là ma trận vuông cấp n có A-1 = 3A Tính det(A2009 – A)

b) Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận A, B vuông cấp n sao cho AB – BA = E

Bài 1.20 Tính các định thức cấp n sau

a)

0

32

02

1

n

30

1

n

32

000

a110

0

aa11

0

0a1

1 1

x

y x

0

0 0

0 y

2 n

2 1

a1

001

0a

001

a11

00

0a1

10

001





CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Bài 2.1 Tìm véc tơ x = 2x1 – x2 + x3 biết:

Bài 2.8 Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F của R3 sinh bởi hệ véc tơ sau

x

0mzy2x:R)z

;y

;x(

b) Tìm dimF

Bài 2.12 Cho hệ {u1, u2, u3} là phụ thuộc tuyến tính trên Rn và u3 không biễu diễn tuyến

Bài 2.13 Chứng minh rằng hạng của hệ véc tơ không đổi nếu:

a) Đổi chỗ hai véc tơ trong hệ

b) Nhân một véc tơ của hệ với một số khác không

c) Nhân một véc tơ của hệ với một số thực khác không rồi cộng vào một véc tơ khác trong hệ

Bài 2.14 Cho U = {u1, u2, …, um}  Rn Gọi L(U) là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử trên U:

Bài 2.15 Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} là độc lập tuyến tính trên Rn và hệ

dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong hệ U

1 0 1

z y

x : R ) z

; y

; x (

b) Tìm cơ sở và số chiều của F

Bài 2.17 Cho hệ véc tơ a1 = (2; 1; 0); a2 = (-1; 1; 1); a3 = (1; 2; -1) và các véc tơ b1 = a1 –

baAE

a) Chứng minh rằng E với phép toán cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số lập thành một không gian véc tơ trên R

b) Tìm cơ sở và số chiều của E

Bài 2.19 Cho E, F là các không gian véc tơ con của E Hỏi E  F có là không gian con của

Bài 2.20 Trong R4, cho hệ véc tơ

Tìm một cơ sở không gian con L(U)

Bài 2.21 Trong không gian R4, cho hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4}với u1 = (2; 3; 3; -1); u2 = (1; -1; 3; 3);

b) Khi a = -1, b = 2; hãy biểu diễn X = (2; 3; 0; 1) qua hệ véc tơ U

Bài 2.22 Cho các tập con của R3:

0z2yx:R)z

;y

;

x

(

Bài 2.23 Trong R3, hãy chứng minh rằng L({u1, u2}) = L({v1, v2})

b) Với a, b tìm được, hãy tìm một cơ sở và số chiều của L(U)

Bài 2.25 Giả sử u, v Rn và A là ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng

a) Nếu {Au, Av} là độc lập tuyến tính thì {u, v} là độc lập tuyến tính

b) Nếu {u, v} là độc lập tuyến tính và A khả nghịch thì {Au, Av} độc lập tuyến tính

Bài 2.26 Trong không gian R4, cho

V = {(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 2); (1; 0; 1; 0); (-1; 1; 1; 1)}

b) Tìm một cơ sở của F và hạng của V

c) Véc tơ a = (1; 1; 1; 3) có phải là một tổ hợp tuyến tính của V hay không? Bổ sung

CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

Bài 3.1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:

xx

3

- x

ax

ax ax

3 2

3 2

czc

cy

x

bzb

by

x

aza

2z2y)1k(x

kz kx

cx + dy + az - bt = 0-dx + cy + bz + at = 0

Bài 3.8 Hãy xác định m sao cho x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w:

a) x = (7, -2, m); u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, -6, 1)

b) x = (5, 9, m); u = (4, 4, 3), v = (7, 2, 1), w = (4, 1, 6)

c) x = (1, 3, 5); u = (3, 2, 5), v = (2, 4, 7), w = (5, 6, m)

Bài 3.9 1) Cho ma trận A = [aij]n x n thoả mãn

s 1

s k

| a |





 ,   k 1,n

Chứng minh rằng hệ phương trình tuyến tính Ax = B có nghiệm duy nhất (B)

nghiệm duy nhất:







































































p

x x a

x a x a x a

p x x a

x a x a x a p x x a

x a x a x a p x x a

x a x a x a n n nn 3 3 2 2 1 1 3 n n 3 33 2 32 1 31 2 n n 3 23 2 22 1 21 1 n n 3 13 2 12 1 11 3) Cho n là một số nguyên dương lẻ và các số aịj (i, j = 1, 2, , n) thoả mãn các điều kiện n) .,

2, 1, j i ( 0 a 0 a a ii ji ij         Chứng minh rằng hệ phương trình n a x 0 i( 1 ,n) 1 j ij j     có nghiệm không tầm thường 4) Chứng minh rằng: nếu a  0 thì hệ                                 d

at z ) b 1 ( cy x ) 1 d ( c t) 1 b ( az y ) d 1 ( cx b

ct z ) 1 d ( ay x ) 1 b ( a t) d 1 ( cz y ) b 1 ( ax

Bài 3.10 Cho hệ phương trình

axax

Tìm điều kiện đối với a và b để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 3.11 Cho hệ phương trình tuyến tính có 10 phương trình và 11 ẩn số Biết rằng

a) Bộ số (1992, 1993, …, 2002) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho

b) Khi xoá cột thứ j trong ma trận hệ số của hệ đã cho thì được một ma trận vuông có định thức đúng bằng j (j = 1, 2, …, 11) Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình đã cho

Bài 3.12 Cho ma trận vuông A = [aij]nn (n > 1) có hạng là R Ma trận A = [Aij]nn, trong

Bài 3.13 Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3 Cho

biết ma trận hệ số kỹ thuật là

0,3 0,2 0,3

A 0,1 0,3 0,20,3 0,3 0,2

và mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa

của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu đối với hàng hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất của mỗi ngành

Bài 3.14 Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung và

hàm cầu như sau:

Hãy xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng

Bài 3.15 Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân:

Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng với Io = 200; Go = 450 (đơn vị: tỷ VNĐ) và thuế suất thu nhập t = 0,2

Bài 3.16 Xét mô hình IS – LM với

2,03,0

30

a)Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer

Bài 3.18 Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3 Cho

biết ma trận hệ số kỹ thuật là

0,3 0,2 0,3

A 0,1 0,3 0,20,3 0,3 0,2

và mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa

của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu đối với hàng hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất của mỗi ngành

Bài 3.19 Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:

1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?

điều kiện gì?

3) Xác đinh giá và lượng cân bằng?

Bài 3.20 Cho mô hình cân bằng thị trường 1 hàng hoá: d ,( , , , 0)

2) Xác định trạng thái cân bằng

3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi các tham số a, b, c, d thay đổi 4) Giả sử nhà nước đánh thuế 1 đơn vị hàng trao đổi là t (đơn vị tiền tệ), hãy cho biết số phần trăm chịu thuế của người tiêu dùng và người sản xuất

Bài 3.21 Xét mô hình kinh tế:

1) Xác định thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng

thu nhập t = 0,2

+) Xác định thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng

Bài 3.22 Cho mô hình kinh tế

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b

3) Có ý kiến cho rằng khi Io và Go cùng tăng 1 đơn vị thì thu nhập Y tăng 2 đơn vị, ý kiến này đúng hay sai?

4) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b thay đổi

Bài 3.23 Cho mô hình kinh tế

C = a + b(Y-T) (a > 0, 0<b<1)

T = c + dY (c>0, 0<d<1)

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c, d

3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b, c, d thay đổi

Bài 3.24 Cho mô hình kinh tế

Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

VÀ ỨNG DỤNG Bài 4.1 Tính các giới hạn sau

n

2 n

1

n

n n

3

1

9

1 3

1 1

2

1

4

1 2

1 1 lim

3 2

1 2 1

1

1 n

) n 2 (

4 3 2 1

2 1

4 3 2

1 3 2 1

1 lim

n

Bài 4.2 Tính các giới hạn sau bằng phương pháp khử dạng vô định

a)

3 x

5 x 2 7 limx 9

x

xaxalimx 0    



x

bx1ax

1limx 0 m  m  

x

) x 1 ( x x 2 1 limx0   2  

f)

1x1

xlimx 0 3





xxx

xlim

1 x limx 1 mn

x cos 1

bx tan ax sin lim

x

sin lim

3

2

x tan x 1 limx 1  

1 x

1 limx 0

i) 2

0

nx cos

x 2 cos x cos 1

0

1xsinx1

x

) mx 1 ln(

lim

0 x





m)

x ln x

1 x lim

1 x



a 2

x tan 2

a x sin

x limx

lim 2

xsin

eelim x x0

) x ln(cos

2 x

2

x

1 x lim

x cos2x

xcos

x

3

xsin1

xtan1

1 sin

x

x

x sin

Bài 4.11 Tính các giới hạn sau :

1 sin( )lim



xlimcot x 2cos x

x 1

xlim tan

a

x cos x

sin

2 2 2

dx x

x x

x cos

x 3 x

2

2 4

2

) 2 x ( x

4 x 2 x

3

2 3

2 3

16x

9x6

x2 3

sin

1

x cos x

sin

x sin

x cos

1

1 x sin x cos

x 2

sin

2 3

) x cos

xcos3

 f) cos x cos 2 x cos4 x dx

x tan 1

Bài 4.22 Tính các tích phân sau

1 nxa

dxx

x

2 / a 0

5 2 /

3 2

0

2 2

2

01 2cos2x

xdxsinx

Bài 4.23 Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau:

cos(ln b) 1x e dx

0

x 3

0 3 2 2

3

x a

dx



 2 0

xcosxdxe

 3

dxxcos

xsin



0

2dx)xcosx(

Bài 4.24 Tính các tích phân sau

0

2 5

 4

dxxcos

xsin

x

dx e

)bx)(

ax(

dxb

dx x

Bài 4.26 Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa:

1) Tìm điều kiện của P để hàm cung, hàm cầu cùng dương

2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán) của người mua (bán) 3) Tìm giá cân bằng và lượng cân bằng

Bài 4.27 Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu TR = 4000Q – 33Q2 và hàm chi

Bài 4.28 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu P = 40 – 0,03Q và hàm chi phí TC =

10Q + 120 Hãy xác định sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận

Bài 4.29 Cho hàm chi phí trung bình

10Q25,0Q5,0Q

12

1) Tìm hàm chi phí cận biên

2) Với P = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận

Bài 4.30 Cho hàm doanh thu TR = 1400Q – Q2 (Q>0)

1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q)

đơn vị

Bài 4.31 Cho hàm tổng chi phí TC = 2Q2 +3Q + 100 (Q>0)

1) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q)

được

Bài 4.32 Cho hàm cầu QD = 8p – p2 (p>0), po = 5

bao nhiêu %

Bài 4.33 Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q = 100 L (L>0) và giá của sản phẩm p =

nhuận tối đa

Bài 4.34 Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 – 120Q2 + 14Q (Q>0) Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4.35 Cho biết hàm chi phí TC = Q3 -7Q2 + 49Q - 4 (Q>1) và hàm cầu đảo p = 40 –Q Hãy xác định mức sản lượng Q cho lợi nhuận đạt cực đại

Bài 4.36 Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình quân trong các trường hợp sau:

1) Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25

Bài 4.39 Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản phẩm:

p113

Qd   ; Qs  p1

Hãy tính thặng dự của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng

CHƯƠNG 5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG Bài 5.1 Tìm tập xác định của hàm số sau:

r z y x

1 z

y x R

y x ) y , x

1 sin ) y x ( ) y , x (

) y x ( y x

y x )

y , x

1 y x 1 ) y , x ( f

) y x sin(

) y , x

2

x

11

0 y x khi y

x

y x

2 2

2 2 2

2

3 3

0 y x khi y

x

y x

sin )

y , x

(

f

2 2

2 2 2

2 2

Bài 5.5 Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số sau

x

yyx)y,x

(

x

y cos y

x sin ) y , x (

c)

x

y cos y

x ) y , x

(

f  d) f(x,y)xy 2

e)

y sin x sin 1

x cos y y cos x ) y , x

y x ) y , x

Bài 5.7 Tìm cực trị của các hàm số sau

y

b x

a y xy x ) y , x (

1) Tìm hàm sản lượng cận biên của vốn và lao động?

2) Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng khi quy mô sản xuất tăng hay không?

Bài 5.9 Hàm lợi ích của hộ gia đình có dạng

Trong đó x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2 (x >0 , y >0)

1) Hàm lợi ích trên có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?

2) Viết đường bàng quan tại x = 2 và y =2; tìm độ dốc của đường này và giải thích ý nghĩa của giá trị tìm được

Bài 5.10 Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm (cạnh tranh hoàn hảo) Cho biết giá của 2

2 1

2 2

2

1 2Q Q QQ

2

1) Tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa

Bài 5.11 Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với hàm chi phí

TC  128 0,2Q ;TC   156 0,1Q  (Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở

1) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở để tối đa hóa lợi nhuận

2) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn của cầu theo giá

Bài 5.12 Một hãng độc quyền sản xuất ra một mặt hàng nhưng tiêu thụ ở hai thị trường với

Bài 5.13 Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cầu trên hai thị trường

1) Tìm mức sản lượng cho mỗi thị trường để lợi nhuận tối đa

2) Hãy tính mức giá cho mỗi thị trường khi lợi nhuận tối đa

Bài 5.14 Nhu cầu 2 mặt hàng phụ thuộc vào giá có dạng

1) Xác định sản lượng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu

Bài 5.15 Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo trên

đài phát thanh (x: phút, x >0) và trên đài truyền hình (y: phút, y > 0) Hàm doanh thu: TR =

Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu đồng

1) Tìm x, y để cực đại doanh thu

2) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh thu cực đại sẽ tăng lên bao nhiêu?

Bài 5.16 Cho hàm sản xuất Q = 0,3K0,5L0,5

Trong đó Q là sản lượng; K là vốn và L là lao động (Q, K, L >0)

2) Chứng minh rằng các hàm sản lượng cận biên theo vốn, lao động là hàm thuần nhất bậc 0

3) Cho biết quá trình sản xuất trên có hiệu quả như thế nào với việc tăng quy mô sản suất?

Bài 5.17 Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau:

2 4 , 0

1 xx

Ngân sách tiêu dùng là 300USD; giá một đơn vị hàng hóa 1, 2 lần lượt là 3USD, 5USD 1) Tìm gói hàng hóa mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng đạt giá trị lớn nhất 2) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1USD thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?

3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?

Bài 5.18 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q =K0,3L0,5

Trong đó Q, K, L lần lượt là sản lượng, vốn, lao động (Q, K, L > 0)

1) Quá trình sản xuất có hàm sản lượng trên có hiệu quả như thế nào đối với việc tăng quy mô sản xuất

2) Tìm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động

3) Nếu doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 6USD; một đơn vị lao động là 2USD; ngân sách chi cho các yếu tố đầu vào là 384USD Tìm mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tối đa

4) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 10USD thì sản lượng tối đa tăng bao nhiêu?

Bài 5.19 Cho hàm sản xuất Cobb – Douglas: Q 30K L3(K 0;L 0)

1 3

2







Trong đó Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động (Q, K, L >0)

L

Q

; Q Q K

1) Tính các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L

2) Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu phần trăm

3) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô thì hiệu quả có tăng không?

4) Hàm số đã cho có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?

các đại lượng đó Tìm và giải thích ý nghĩa vi phân toàn phần dQ