Cách giải các bài tập toán cơ bản ứng dụng trong phân tích kinh tế: Phần 2

Phần 2 cuốn sách Hướng dẫn giải bài tập toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế cung cấp cho người học các kiến thức: Ứng dụng của phép tính vi phân, tích phànhàm một biến số trong phân tích kinh tế, ứng dụng của phép tính vi phân hàm nhiềubiến số trong phân tích kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.

ÚNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHẢN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIỂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TỂ

3) Tìm giá và lượng cân bằng (P ,Q )

Bài 3.2 Cho mô hình thị trường

Hàm cung: Qs = 0,1 p2 + 5P +10

Hàm câu: Qn = -—

P-2Chứng tò rằng mô hình trên có giá cân bàng thuộc khoảng (3; 5)

Bài 3.3 Cho mô hình thị trường

Qs = 6 P -4

Qd = 3 -P 2; p > 0

C h ư ơ n g 3

1) Tìm hàm cầu đảo.

2) Giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá người mua (người bán) chấp nhận là bao nhiêu?

3) Chứng minh tồn tại điểm cân bằng thị trường này

Bài 3.4 Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu:

TR = 4000Q - 33Q2 và hàm chi phí TC = 3Q3 - 3Q2 + 400Q + 500 Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa

Bài 3.5 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu:

p = 40 - 0,03Q và hàm chi phí TC = 10Q + 120 Hãy xác định sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.Bài 3.6 Cho hàm chi phí trung bình

AC = — - 0,5Q + 0,25Q2 +10

1) Tìm hàm chi phí cận biên

2) Với p = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận

Bài 3.7 Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 - 0,5Q

1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR

2) Cho biết hàm chi phí TC = 40 + 12Q - 2Ọ2 + 0,25Q3Xác định lợi nhuận cận biên Mn và tính Mn tại điểm

Qj = 2 0; Q 2 = 1 0

3) Có tồn tại hay không điểm hòa vốn thuộc (10; 20)

Bài 3.8 Doanh thu trung bình AR = 240 + 12Ọ - 0.5Ọ : (Q>0)1) Viết hàm chênh lệch giữa doanh thu cận biên và doanh thu trung bình.

2) Tìm cực trị của doanh thu trung bình

0.1

Bài 3.9 Cho hàm chi phí trung bình: AC = 12 + ———

1) Tính chi phí cận biên MC tại Qo = 10

2) Tìm hàm chênh lệch giữa chi phí trung bình và chi phicận biên; cho nhận xét về hàm này

3) Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại

Q o - 1 0

Bài 3.10 Cầu về hàng hóa A là: Qu = 200P'0 5, thị trường hàng hóa A có 2 hàm cung là: Qsi = 5P° 5 và QS2 = 4P° 5

1) Hãy lập mô hình thị trường hàng hóa A

2) Thị trường có tồn tại trạng thái cân bang khône?

Bài 3.11 Cho mô hình thị trường 1 hàng hóa như sau:

p = 1 8 0 -0 ,5Q ị

p =30 + 2Ọ^

1) Hãy xác định trạne thái cân bàng cùa thị trườna

2) Chính phù đánh thuế t/đơn vị hàng hóa phái định t la bao nhiêu đê tôna thuế thu được là lớn nhất

3) Khi t tăn g 1% thì g iá cản b à n a c ó tăna 1% k h ô n 2°

62 _ Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ so UTỊ£ d ụ n g

Bài 3.12 Hàm cầu vể ngô có dạng:

Q o = 2 0 0 - 5 0 p

Có 50 cơ sở giống nhau có hàm chi phí tại đó mỗi cơ sở là

TC = Q (Q - sản lượng ngô ở mỗi cơ sờ) Xác định mức sản lượng Q đê tôi đa hóa lợi nhuận và giá cân bàng của thị trường.Bài 3.13 Cho hàm cung Qs, hàm cầu ỌD về 1 loại hàng hoá:

Q s = 0 , 2 p 2 + 5 p - 1 0

50

Qd = — với p là giá hàng hoá

P - 21) Với điều kiện nào của p thì cung và cầu đều dương? Với điều kiện trên hãy viết phương trình cân bằng thị trường

2) Xác định hàm dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm này Chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất giá trị cân bằng trong khoảng (3,5)

Bài 3.14 Cho hàm doanh thu TR = 1400Q - ọ2 (Ọ > 0)

1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q)

2) Tại điểm Qo = 500, khi Q tăng lên một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị

3) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Qo = 710 và giai thích ý nghĩa kết quả nhận được

Bài 3.15 Cho hàm tồng chi phí TC = 2Q2 +3Q + 100 (Q > 0)

Bài 3.16 .Cho hàm cầu QD = 8p - p2 (p > 0), Po = 5

Tại mức giá Po, khi tăng giá lên 3% thì lượng cầu thay đổi một lượng xấp xỉ bằng bao nhiêu %

Bài 3.17 Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân AC(Q) và hàm chi phí cận biên MC(Q), cho biết hàm chi phí

TC = Q2 + 8Q + 1 8 ( Q > 0 )

Bài 3.18 Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sản xuất bình quân APL và hàm sản xuất cận biên MPL, biết hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q = 60L - 3L2 (L > 0)

Bài 3.19 Cho biết hàm sản xuất ngẩn hạn Q = 100-v/l (L > 0)

và giá của sản phẩm p = 4ƯSD, giá thuê lao động bàng

p L = 20ƯSD Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi nhuận tối đa

Bài 3.20 Cho hàm tổng chi phí TC = Q3 - 120Q2 + 14Ọ (Ọ > 0) Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân đạt giá trị nhò nhất.Bài 3.21 Cho biết hàm chi phí TC = Q3 -7Ọ2 + 49Ọ - 4 (Ọ > ])

và hàm cầu đảo p = 40 - Q Hãy xác định mức sàn lưcmg ọ cho lợi nhuận đạt cực đại

Bài 3.22 Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu:

1) Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.

2) Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa

Bài 3.23 Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí

Trong đó: Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo

1) Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu

2) Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng và giá bán toi ưu

Bài 3.25 Cho hàm tổng chi phí:

TC = Q3 - 5Q2 + 14Q + 144 (Q > 0)

1) Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q, từ đó cho nhận xét về mở rộng sản xuất

2) Tírìh hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2

66 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ ưn? dụng.

Bài 3.26 Cho hàm chi phí TC = 5000+ 4 ^

-Q+3(Ọ là sản lượng, ọ > 0)

1) Tìm hàm chi phí cận biên MC

2) Tính chi phí trung bình AC tại Qo = 100

Bài 3.27 Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một sản phẩm:

Bài 3.28 Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí cùa nhà sảnxuất như sau:

TR = 1400Q - 7,5Q2; TC = Q3 - 6Q2 + 140Q + 750

( Q >0)

Hãy chọn múc sản lượng để lợi nhuận tối đa

Bài 3.29 Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sán xuất độc quyền, biết:

Hàm chi phí cận biên MC = 3Q2 - 6Q + 96

2

Hàm câu đôi với sản phâm: Q = 148 - - p

Chương 3 ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 67

Bài 3.30: Cho mô hình thị trường 1 hàng hoá

Qs = 0,3pa(0 < a < 1)

Qd= 0 , 1 pbMcqd ( b <0, 0 < c < l , d *0)

Trong đó: Qs, QD là các hàm cung, cầu của hàng A, p là giá

hàng A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng B

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a?

2) Hai hàng hoá nêu trong mô hình có quan hệ thay thế hay

bổ sung?

3) Tìm mối liên hệ giữa b, c, d để khi p, M, q thay đổi cùng

1 tỉ lệ thì cầu D không đổi.

4) Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng

Bài 3.31: Hàm cung Qs và hàm cầu Qo của hàng A có dạng

Qs = 0 ,7 p - 1 5 0

Qd= 0,3M - 0,5p +120

Trong đó: p - giá hàng A, M - thu nhập khả dụng

1) Có ý kiến cho rằng lượng cân bàng không phụ thuộc vào

thu nhập, ý kiến này đúng hay sai?

2) Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t, phân

tích tác động của thuế tới mức giá cân bàng.

Bài 3.32 Cho mô hình thị trường hàng A dạng:

Q p = D ( p , Y 0) ( D p < 0 ; D y > 0 )

68 Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ I/Tiff dụtĩỹ.

Qs = S (p ,T 0) (S p> 0 ;S To< 0 )

Trong đó: p là giá hàng A, Y0 là thu nhập, T0 lả ihuẻ

1) Phân tích ảnh hưởng của Y0, T0 tới giá cản băng, giải thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả nhận được

2) Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Y0 tới lượng cân bằng, dùng hàm cầu phân tích ảnh hưởng của To tới lượng cản bằng

Bài 3.33 Gọi p là giá hàng A, q là giá hàng B, M là thu nhập,

T là thuế Mô hình thị trường có dạng

Da = 0,8M°’4p'0’5q0,1

Sa = 5,4p°’3T'0,05

1) Cho biết quan hệ giữa 2 hàng hoá A, B

2) Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A.3) Lượng cung Sa thay đổi thế nào khi giá hàne A lảng 7%

Bài 3.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 - 3Ọ Tìmhàm MR, chứng minh rằng AR, MR có cùng tung độ gốc,nhưng độ dốc của MR gấp đôi độ dốc của AR.

Bài 3.36 Cho hàm tống chi phí:

TC(Q ) = Q3 - 4 Q 2 + 1800Q + 150 ( Q >0 )

Hàm cầu về sản phẩm của công ty là Q = 9000 - p

1) Viết hàm tổng doanh thu là hàm của Q (là hàm của p).2) Tìm MC và M R theo Q

3) Tìm Q* để lợi nhuận đạt cực đại

Bài 3.37 Cho hàm lợi nhuận:

71 = - Q 3 + 3 Q 2 + 1 3 2 0 Q - 10 ( Q > 0)

Tính 7ĩ(0) và giai thích ý nghĩa kinh tế

Tìm mức sàn lượng ọ ’ để lợi nhuận đạt cực đại

_ 9

Bài 3.38 Cho hàm sản xuât: Q = —— L’ +10L2

3Trong đó: Q - san lượng, L - số đơn vị lao động sử dụng1) Tìm tập xác định thực tế cùa hàm trên

70 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sa ựTỊỹ dụng.

4) Tìm hệ số co giãn của Q theo L tại mức L = 5 và giãi thích ý nghĩa kinh tế

Bài 3.39 Một công ty có hàm tổng doanh thu: TR = 60Ọ - 1,5Q2

o 3

và hàm tổng chi phí:T C = - 9,5Q2 + 101Q + F C

1) Cho FC = 3, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đạt cực đại

2) Gọi n * là mức lợi nhuận cực đại Phân tích ảnh hường

của FC tới Q* và 71 *

Bài 3.40 Hàm cầu ngược p = 200- Q; TC = Q2

Trong đó: p - giá; ọ - sản lượng

1) Tìm mức sản lượng và mức giá sao cho lợi nhuận cực đại

2) Tìm hệ số co giãn của cầu tại mức tối đa lợi nhuận

3) Giả sử chính phủ đánh một lượng thuế t vào mỗi sàn phẩm bán ra Tìm mức cung tối đa hóa lợi nhuận; sản lượng đó thay đổi thế nào khi t thay đổi

Bài 3.41 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biên

Chương 3 ứng dụng phép tính vi phân, tích phân 71Bài 3.42 Cho hàm lợi nhuận bậc hai:

7ĩ(Q) = hQ2 + jQ + k (Q > 0)

Hãy cho biết các điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm lợi nhuận trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện kinh tế sau:1) Khi sản lượng bán ra Q = 0 thì lợi nhuận âm

2) Lợi nhuận 7i(Ọ )đạt cực đại tại Q* > 0

Bài 3.43 Cho hàm chi phí:

TC(Q) = aQ2 + bQ + c ( a > 0;Q > — )

2a1) Cho biết các điều kiện đối với a, b, c để hàm C(Q) là hàm chi phí hợp lý về mặt kinh tế; lập hàm AC và MC

2) Cho hàm cầu ngược về sản phẩm cúa công ty là

p = p(Q) có P’(Q) < 0 Hãy lập hàm doanh thu, doanh thu bìnhquân, doanh thu cận biên

3) Hãy lập hàm lợi nhuận; chỉ ra điều kiện để hàm lợi nhuận đạt cực đại

Bài 3.44 Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình quân trong các trường hợp sau:

1) T C '( Q ) ,= MC ( Q ) = 15Q2 + 8Ọ + 3; FC = 100

2) MC = 3Qe°-5Q: FC = 30

3) MC = 2e°-2Ọ; FC = 90

72 Hướng dẫn giải bài táp Toan cơ so im g dụng

Bài 3.45 Tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) trong các truờng hợpsau:

3) Tính hệ số co giãn của tiêu dùng tại mức thu nhập

Y = 200ƯSD, giải thích ý nghĩa của nó

Chương 3 Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân. 731) Tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ sổ co giãn riêng của ọ theo p, theo Y.

2) Tại mức cầu Q0 cho trước, giả sủa giá p tăng 1 đơn vị thi thu nhập Y phải tăng bao nhiêu thì cầu không đổi

Bài 3.50 Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản

2) Cho p;Q là giá cân bang và lượng cân bàng Nếu thu nhập M giam thi sẽ tác động như thế nào tới p:Ọ

Bài 3.52 Y là thu nhập, s là tiết kiệm.

B i ế t r à n e m ứ c tiết k i ệ m s = -7 ,42 khi t hu n h ậ p Y = 5.

1) Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướna tiết kiệm cận biên:

MPS - V - 0.4

74 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so U7Ị£ dụng.

2) Kê từ mức thu nhập dương nào trở lẽn sẽ có tiẽt kiệm

Chương 3 ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 75

Vì p > 0 nên p = -5 (loại) và p = 1 (thỏạ mãn)

Vậy giá cân bằng là p = 1 và lượng cân bàng Q = 3

Bài 3.2 Xét mô hình cân bàng Qs = QD

« 0 , l P 2 + 5 P + 10 = 5 5

-P- 2

« 0 , 1 P3 + 4 ,8 P2 - 7 0 = 0 (*)Xét hàm f(P) = 0,1P3 + 4,8P2 - 70 trên [3; 5]

- f(P) liên tục trên [3, 5]

- f ( 3 ) f ( 5 ) < 0

Nên phương trình (*) có nghiệm thuộc (3; 5)

Vậy mô hình có giá cân bàng thuộc (3; 5)

Bài 3.3 Bạn đọc giải tương tự bài 3.1

76 Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sà ưng đung.

Chương 3 Ưng dụng phép tính vi phân, tích phân. 77

2)Với p = 106, hàm tổng doanh thu là:

Q2 =12

Lập bảng biến thiên kết luận hàm 71 đạt giá trị lớn nhất tại

0 2 = 1 2

Bài 3.7

1) Hàm doanh thu: TR = AC Q = 240Q - 0,5Q2

Hàm doanh thu cận biên MR = (TR) 1 = 240 - Q

3) Lập bảng biến thiên suy ra không tồn tại điểm hòa vôn thuộc (1 0; 2 0).

Bài 3.8.

1) Hàm chênh lệch là: f(P) = M R - AR

Hàm doanh thu là: TR = AR Q = 240Q + 12Q2 - 0,5Q3

Hàm doanh thu cận biên là:

Bài 3.9.

1) Hàm tổng chi phí: TC = AC Q = 12Q + P- ■^

0,2 + QHàm chi phí cận biên là:

MC = (T C )'= 12 + — 0,0

(0,2 + Q) 2

Hàm chi phí cận biên tại Qo = 10

78 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ừng d ụ n g ■ ■

Chương 3 ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 79

0,02

( 0 , 2 +loỵ

2) f(P ) = AC - M C = Q,1Q ■

( 0 ,2 + Q) 2

Lập bảng biến thiên để nhận xét hàm này

3) Hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q

CTC _ (T C )' n

TCTheo giả thiết ta có:

MC(Qo) = 12,000192; TC(Qo) = 120,09804 nên

2) Biến đổi phương trình cân bằng về phương trình đa thức

và chứng minh phương trình có nghiệm

Bài 3.11.

1) ọ ị = =360-2P => Q D =>/360-2P

80 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so iniỹ dụng.

Bài 3.17.

TCLập hàm chi phí bình quân AC = —— Tính (AC)’, lập bảngbiến thiên của AC và kết luận

Bài 3.18.

Lập hàm sản xuất bình quânA PL = — Tính (A P L )\ lập bảng biến thiên cùa APL và kết luận

82 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ UTtg dụng.

Bài 3.21.

Tìm hàm doanh thu: TR = p Q và hàm lợi nhuận:

71 = TR - TC Lập bảng biến thiên của hàm 7t và kết luận

Lập bảng biến thiên, kết luận lợi nhuận 71 đạt giá trị lớn nhất tại Q* = 13.

2) Gọi Q là mức sản lượng làm cho lợi nhuận 7Ĩ đạt giá trị

cung tối đa hóa lợi nhuận tăng

- — = Q*> 0 Do đỏ khi giá p tăng thì mức lơi nhuân tối

õp

đa tăng

84 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ UĨĨỊỊ dụng.

Nên khi sản lượng Q tâng thì chi phí tăng.

2) Hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2:

1) Ta có £pS = a : khi tăng giá lên 1% thì cung của hàng hóa

A tăng khoảng a%

2) QD = 0 ,lp bM cqd

^ 0 - = 0 ,ld p bMcqd' 1 (p > 0, M > 0, q > 0)

0q

- N eu d > 0: hai m ặt hàng là thay thế cho nhau

- Neu d < 0: hai mặt hàng bổ sung cho nhau

3) Giả sử p, M, q cùng tăng 1 tỳ lệ X ( (X>1 )ta có:

QD(?,p.?JVDoq) = Q D(p.Mq) Cí> = 1 b+í - d = 086 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ so U7ig d ụ n g

Chương 3 ừ n g dung phép tính vi phàn, tích phẫn. 87

4) Lượng cân bàng: Q*=Q*S= 0,3(p*)a

Với p* là giá cân bằng: p* =g(M, q) Khi đó:

2) Với thuế suất t thì thu nhập khả dụng là

M d = (l-t)M ; ( 0 < t < 1)

Điều kiện cân bàng là:

Qs= Qd « 0 , 7 p * - 1 5 0 = 0,3(l-t)M-0,5p* + 120

<=> l,2p*+0,3(l-t)M-270 = 0 Đặt F(p , M ,t)= l,2 p +0,3(1-t)M -270 Khi đó:

88 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ inig dụng.

Hay hai mặt hàng này là thay thế nhau.

Chương 3 ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 913) Hàm lợi nhuận

3) Lập bảng biến thiên của hàm lợi nhuận Q, kết luận lợi

nhuận đạt giá trị lớn nhất tại L* = 10

4) Hệ số co giãn của TC theo L:

Khi đó hàm doanh thu là TR = p Q = 200Q - tỌ - Q2

94 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỡ m tg dụng.

7 ĩ " ( Ọ * ) < 0 <=> 2h < 0 <=> h < 0 ( 3)

Ket hợp với (2) suy ra j > 0

Hơn nữa n ( Q‘ ) = —— + > 0.

2hKết hợp với (3) suy ra j 2 - 4hk > 0 (4)

Chương 3 ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 95

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra điều kiện:

+) Khi sản lượng Q = 0 thì chi phí luôn dương (do chi phí cố định)

+) Khi sản lượng tăng thì chi phí tăng

- b

Ta có: TC' = 2aQ + b > 0, với mọi Q >

2aMuốn hàm TC đồng biến với mọi Q > 0 ta phải có:

96 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà ưrtg dụng.

98 Hướng dẫn giải bài tâp Toán cơ sỏ inỉỹ dụng

TR(O) = 0 « c = 10

Khi đó: T R (Q ) = 1 0 - 10 _ 10Q

1 + Q ” 1 + QBài 3.46

M(Y) = jM '(Y )d Y = |0 ,lY d Y = 0,1Y + c