Cách giải các bài tập toán cơ bản ứng dụng trong phân tích kinh tế: Phần 1

Phần 1 cuốn sách Hướng dẫn giải bài tập toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế cung cấp cho người học các kiến thức: Định thức và ma trận, một sổ mô hình tuyến tính dùng trong phân tích kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

ÚNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ9

Mã số: QT 01 HM 12

LỜI NÓI ĐẦU

Toán cơ sở là môn học bắt buộc dành cho sinh viên các hệ cao dẳng, đại học và cao học thuộc tất cả các nhóm ngành kỳ thuật, kinh tế Để giúp cho sinh viên có tài liệu học tập và đạt hiệu quả cao, N hà xuất bản Thông tin và Truyền thông đã phối hợp với tác giả Phùng Duy Q uang - Trưởng khoa Cơ

bản, Trường Đại học Ngoại thương xuất bản cuốn “H ư ớ n g

dẫn g iả i bài tập Toán c ơ s ở ứ n g d ụ n g trong p h â n tích k in h

tế ” Cuốn sách được biên soạn phù hợp với chương trình Toán

cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tể được giảng dạy tại trường Đại học N goại thương

Đây cũng là tài liệu bổ ích dành cho các thí sinh ôn thi tuyển sinh đầu vào hệ Thạc sỹ của trường Đại học Ngoại thương, trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà Nội Nội dung cuốn sách là tổng hợp các bài tập từ mức độ dễ đến khó, nhàm giúp học viên vận dụng các kiến thức, kỹ năng cũng như các phương pháp Toán cơ sở ứng dụng trong các bài toán phân tích kinh tế

Nội dung cuốn sách gồm:

C hương 1 Định thức và m a trận.

Chương 2 M ột sổ mô hình tuyến tính dùng trong phân

tích kinh tế

C hương 3 ứ n g dụng của phép tính vi phân, tích phàn

hàm một biến số trong phân tích kinh tế

C hương 4 ứ n g dụng của phép tính vi phân hàm nhiều

biến số trong phân tích kinh tế

C uốn sách được viết cho sinh viên các ngành kinh tế nhàm ứng dụng m ôn học Toán cơ sở sao cho hiệu quà nhất; được trình bày m ột cách cụ thể, dễ hiểu M ỗi chương gồm 2 phần:

Đề bài và phần H ướng dẫn giải bài tập cụ thể và các lời giải gợi ý để sinh viên có thể tiếp thu kiến thức m ột cách hiệu quả nhất

Dù đã có rất nhiều cố gắng trong công tác biên soạn, song cuốn sách sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót R ất m ong nhận được các ý kiến đóng góp các đồng nghiệp và bạn đọc để cuốn sách được hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau

M ọi góp ý xin gửi về K hoa C ơ bản, trường Đại học Ngoại thương, email: quangpd@ ftu.edu.vn

X in trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc./

T Á C G IẢ

MỤC LỤC

L ờ i n ó i đ ầ u 3

Chương 1 Định thức và ma tr ậ n 7

A Đề b à i 7

B Hướng dẫn và đáp s ố 10

Chương 2 Một số mô hình tuyến tính dùng trong phân tích kinh tế 12

A Đề b à i 12

B Hướng dẫn và đáp s ố 28

Chương 3 ứ n g dụng phép tính vỉ phân, tích phân hàm một biến trong phân tích kinh t ế 60

A Đề b à i 60

B Hướng dẫn và đáp s ố 74

Chương 4 ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến trong phân tích kinh t ế 101

A Đề b à i 101

B Hướng dẫn và đáp s ố 114

Tài liệu tham khảo 133

8 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ ím g d u tĩĩ

10 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ úng dụng.

3 )-3 3 7) -117

C h ư ơ n g 2

MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Chương 2 M ột sô'mô hình tuyên tính 13

14 Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ u vg dutỉỹ

Bài 2.4 Trong một nền kinh tể có 3 ngành sản xuất: ngành 1,

ngành 2 và ngành 3 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật là'0,3 0,2 0 ,3 '

A = 0,1 0,3 0,2 và mức cầu cuối cùng đổi với hàng hóa0,3 0,3 0,2

của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu đối với hàng hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất cua mỗi ngành

Bài 2.5 Cho hai ngành sản xuất có ma trận hệ số đầu vào:

Chứng minh răna det(E - A) > 0

Chương 2 M ột so mô hình tuyên tính. 15

Bài 2.6 Một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất và có mối quan hệ

trao đổi hàng hóa như sau:

Đơn vị: triệu USD

1) Giải thích ý nghĩa của con sổ 0,4 trong ma trận A

2) Cho biết: (E - A)~' =

1,656 0,701 0,4460,786 1,486 0,340,446 0,573 1,274

và véc tơ cầu cuối cùng B 1 = (10; 5; 6) Hây xác định tổng cầu của các ngành

3) Tống cầu của các ngành sẽ thay đồi thế nào nếu như cầu cuối cùng của ngành 1 tăng 1 đơn vị còn các ngành khác giữ nguyên

16 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sa U7IỊ dunỹ

Bài 2.8 Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành san xuât

và ma trận cầu cuối cùng B =

100^

0,2 0,4

1) Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer

2) Tính (E - A ) '1 và nêu ý nghĩa cùa phần tử ở dòng 2 cột 1 của ma trận đó

Bài 2.9 Xét nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị:

r 0,1 0,15]

A =

Lo,2 0,1

1) Tính định thức của ma trận D với D = A3/6

2) Cho biết mệnh đề sau đây là đúng hay là sai?

6) Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu.cuối củng là

Bt = (10 10)

7) Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng của ngành 1 lên 1 đơn

vị thì tổng cung của ngành 2 phải tăng bao nhiêu?

Chươnp 2 Một sốmô hình tuyên tính 17

Bài 2.10 Giả sử nền kinh tế có 3 ngành thuần túy với giả thiết sau đây:

- N gành 1 làm ra 100 tỷ sản phẩm và ngành 1 sử dụng

20 tỷ sản phẩm của mình; 10 tỷ sản phẩm ngành 2; 10 tỷ sản phẩm ngành 3

- N gành 2 làm ra 50 tỷ sản phẩm và ngành 2 sử dụng

10 tỷ sản phẩm của m ình; 10 tỷ sản phẩm ngành 1; 10 tỷ sảnphẩm ngành 3

- Ngành 3 làm ra 40 tỷ sản phẩm và ngành 3 sử dụng 8 tỷ sản phẩm của mình; 8 tỷ sản phẩm ngành 1; 16 tỷ sản phẩm ngành 2

1) Lập bảng I/O với các giả thiết trên

2) Tìm ma trận hệ sổ kỹ thuật A và giải thích ý nghĩa kinh tếcủa:

18 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ U ĩ t g dụng.

Bài 2.11 Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 vả hàng hóa 2, với hàm cung và hàm cầu như sau:

Hàng hóa 1: Qs = -3 + 5pj;Ọ D = 1 2 -4 p !+ 2 p 2

Hàng hóa 2: QSỉ = - l+ 4 p 2;Q U2 = 15 + 2 p , - p 2

Hãy xác định giá và lượng cân bàng của hai mặt hàng

Bài 2.12 Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:

1) Để các nhà sàn xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thi mức giá 1.2 phai thỏa mãn điều kiện nào?

2) Xác định giá và lượng cân bàng cho các hàng hóa

Q o r 1 8 ‘ 3 P i + P2

Qs,= ' 2 + P |

Chươnp 2 Một số mô hình tuyến tính 19

Bài 2.13 Cho hàm cẩu và hàm cung của-thị trường 2 hàng hóa:

(Với a là tham số dương)

1) Đê các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá 1, 2 phải thỏa mãn điều kiện nào?

2) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa theo a

3) Khi a tăng thì giá cân bằng của các hàm số thay đổi thế nào?

Bài 2.14 Cho hàm cầu và hàm cung cúa thị trường 2 hàng hóa:

1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay

bổ sung?

2) Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho thị trường thì P i , p2 phải thoả mãn điều kiện gì?

3) Xác định giá và lượng cân bằng?

Bài 2.15 Cho hàm cầu và hàm cung cua thị trường 2 hàng hóa:

1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay

20 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sõ mtỊỊ dụng.

2) Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho ihị trườngthì Pi, p2 phải thoả mãn điều kiện gì?

3) Xác định giá và lượng cân bàng?

Bài 2.16 Cho mô hình trường 1 hàng hoá:

1) Nêu ý nghĩa kinh tế của b, d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà người tiêu dùng có thể chấp nhận được (mức tối đa) và mức giá tối thiểu để người sản xuất có thể khởi nghiệp được (mức tối thiểu); từ đó chỉ ra điều kiện tồn tại trạng thái cân bằng

Bài 2.17 Xét mô hình kinh tế:

Y = c + I0 + Go (lo > 0, Go > 0)

c = 0,85Yd + 150

Yd = (1 - t)Y ( t là thuế suất thu nhập, 0 < t <1)

Tính thu nhập quốc dân và tiêu dùng cần bàng vói I0 = 200;

Go = 450 (đơn vị: tỳ VNĐ) và thuế suất thu nhập t = 0,2

Bài 2.18 Cho mô hình kinh tế

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a,b

2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y ; C ) bằng quy tắc Cramer

3) Có ý kiến cho rằng khi I0 và Go cùng tăng 1 đơn vị thì thunhập Y Y tăng 2 đơn vị, ý kiến này đủng hay sai?

4) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi a, bthay đổi

Bài 2.19 Cho mô hình kinh tế

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c d

2) Xác định trạng thái cân bàng ( Y :C ;T ) bằng quy tắc Cramer

Chương 2 M ột sốm ô hình tuyến tính 21_

3) Phân tích sự biên động của trạng thái cản bảng khi a b c,

1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, g

2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y ;C ;G ) bằng quy tấc Cramer

3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bàng khi a, b, g thay đổi

Bài 2.21 Cho mô hình kinh tế

1) Tìm trạne thái cân bàng khi I0 = 200 Go = 900

22 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sớ Uĩĩg dụng

2) Do suy thoái kinh tế nên mức tiêu dùng cận biên đối với thu nhập sau thuế chỉ còn là 0,7 Giả sử I0 = 200, thì G0 phải là bao nhiêu thì ổn định được thu nhập quốc dân.

Bài 2.22 Cho mô flinh kinh tế

Y = c + I + Go (Go > 0)

C = bo + b|Y (b0> 0 , b |> 0 )

I = 3o~*" Y — 32^0 ^1 ^ ^2 > &i+bi < 1, Ro-'* 0 )

Trong đó: Y - thu nhập, c - tiêu dùng, I - đầu tư, Ro - lãi suất, Go - chi tiêu chính phủ

1) Cho biết ý nghĩa kinh tế của t

Chương 2 M ột sốm ô hình tuyêh tính _ 23_

2) Cho I0= 50, NXo = 30, tìm t để cân đổi được ngân sách.3) Có ý kiến cho rằng đầu tư I0 không ảnh hướng đến ngân sách, ý kiến đó đúng hay sai?

Bài 2.24 Cho mô hình kinh tế

1) Có ý kiến cho ràng khi I0, t không thay đổi thì tăng Go lẻn

1 đơn vị và giảm nhâp khẩu Xo một đơn vị thì thu nhập cản bang

Y không đổi Ý kiến đó đúng không?

2) Giả sử I0 = 300, G0 = 400, x 0 = 288, t = 0,2 thì nền kinh tế

có thặng dư hoặc thâm hụt ngân sách, thặng dư hoặc thám hụt thương mại?

3) Cho I0 = 300, Xfl = 288, t = 0,2 thì G0 Dhải bằng bao nhiêu

để thu nhập cân bàng là 2500 Cho biết trong trường hợp này nếu G0 tảng thêm 1 % thì nhập khẩu M thay đổi như thế nào?Bài 2.25 Cho mô hình kinh tế

2) Thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào khi tiêu dùng cận biên đối với thu nhập sau thuế thay đổi.

3) Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất của chính phủ là thuế

Bài 2.26 Cho mô hình kinh tế

Trong đó: Y - thu nhập quốc dân, c - tiêu dùng dân cư và

I - đầu tư; Go - chi tiêu chính phủ, T0 - thuế

1) Tìm thu nhập quốc dân cân bằng

2) Khi i tăng thì thu nhập quốc dân tăng hay giảm, vì sao?

Chương 2 M ột sô'mô hình tuyên tính _ 25

26 Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ inig dụng.

Bài 2.27 Cho mô hình kinh tế:

1) Xây dựng mô hình cân bàng thu nhập quốc dân

2) Tính Ỹ ,c khi G0 = 140; I0 = 90 (triệu USD); t = 40%.3) Y ,c tăng hay giảm khi t tăng? Vì sao?

Bài 2.28 Cho mô hình kinh tế

Y = c + I + Go

C = a + b Y t; Yt = (l-t)Y

I = d + xY

G 0 > 0 ; a > 0 ; d > 0 ; 0 < b < 1; 0 < X, t < 1; b ( l - t ) + X < 1

Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; c - tiêu dùng dán cư;

I - đầu tư; Yt - thu nhập sau thuế; Go - chi tiêu chính phù

1) Xây dựng mô hình cân bằng thu nhập quốc dán

2) Khi X tăng thì thu nhập cân bàng tăng hay giảm?

3) Tính Ỹ ,c khi biết Go = 500 (tỷ USD); a = 150; X = 0.1;

b = 0 , 8 ; t = 0 , 4 ; d = 1 0 0

4) Thuế suất tăng thì Y ,c tăng hay giảm, vì sao?

Chương 2 M ột sô'mô hình tuyến tính 27

Bài 2.29 Cho mô hình kinh tế

Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; I- đầu tư; c - tiêu dùng;

L - mức cầu tiền; Ms- mức cung tiền; r - lãi suất

1) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng

n = 1000; Ms = 2000; I0= 400: tính hệ số co giãn của thu nhập,lãi suất theo mức cung tiền tại điểm cân bàng và giải thích ý nghĩa của chúng

Bài 2.30 Xét mô hình IS - LM với

Y = C + I + G ;L = M

c = 0,7Y + 25;

I = 80 - 2r; G = Go (Go > 0)

L = 4Y - 30r; M = M0 (M0> 0)

Trong đó: Y - thu nhập quốc dân; I - đầu tư; c - tiêu dùng;

L - mức cầu tiền; M - mức cung tiền; r - lãi suất

Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằngvới Go = 60; Mo = 1350 (nghìn tỷ VNĐ)

28 Hướng dẫn giải bài tâp Toán cơ só ưng dụng.

Chương 2 M ột số mô hình tuyến tính 29

Bài 2.2 Hướng dẫn

Gọi A và A lần lượt là ma trận hệ sổ và ma trận bổ sung của

hệ trên Tìm điều kiện để r(A) = r( A )

+ a = 1: Hệ có vô số nghiệm Nghiệm tổng quát của hệ là:

30 Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sơ Uĩiỹ dụttỹ.

+ a = -1: Hệ có vô số nghiệm Nghiệm tồng quát cua hệ là:

+ a = 3 và b = 4: Hệ có vô sổ nghiệm Nghiệm tỏng quát ũủa hệ là:

a - b

+ b = 0 hoặc < hoặc < _ : Hệ vô nghiệm:

Ị b * l Ịb * -2+ a = b = 1: Hệ có vô sổ nghiệm Nghiệm tổng quát cua hệ là: (x = 1 - a - P; y = a ; z = P); u, p € R;

Chươnp 2 M ộ t sô'mô hình tuyến tính 31

+ a - b = -2: Hệ có vô số nghiệm Nghiệm tổng quát của hệ là:

+ a, b, c khác nhau từng đôi một: Hệ có nghiệm duy nhất

X = abc; y = -(ab + be + ca); z = a + b + c;+ Hai trong ba số a, b, c bàng nhau: Hệ có vô số nghiệm Nghiệm tổng quát của hệ là:

32 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sơ ưTíg dụng

-7) + a * 0, b 1: Hệ có nghiệm duy nhất

; y = - T ^ - r ; z =a(b + l) b + 1 b + 1+ b = 1: Hệ có vô số nghiệm Nghiệm tổng quát cũa hệ là:

Bài 2.4 Gọi Xi, x2, x3 lần lượt là tổng cầu của các ngành Khi đó

ma trận tổng cầu là X = Bây giờ tìm X: (E - A)X = B

6

với ma trận cầu cuối cùng B = 9

8

Chương 2 M ột số mô hình tuyên tính 33

Khi đó X = (E - A) 'B =

2925,7230,52

Bài 2.6 Theo bảng số liệu trên ta có:

34 Hircmg dẫn giải bài tập Toan cơ sơ u v ỹ dung

Đối với sàn phẩm cùa ngành 3:

Bài 2.7

1) Sô 0,4 ở dòng 2 và cột 1 của ma trận A có nghĩa: đẽ sản xuất ra 1 USD giá trị hàng hóa của mình, ngành 1 cần sư dụng 0,4 USD giá trị hàng hóa của ngành 2

2) Gọi X ) , x2, x3 lần lượt là tồng cầu của các ngành Khi đó

Chương 2 Một sô'mô hình tuyên tính

Do vậy ma trận tổng cầu mới là:

X' = (E - A)-'B’= (E - A) '(B + e3) = (E - A)-'B + (E - A)-'e3

36 Hướng dẫn giải bài táp Toán cơ sc ưng dụng

3) Giải thích ý nghĩa của a ]2 = 0,15: lượng giá trị san phẩm ngành 1 cần thiết để làm ra một đơn vị giá trị sản phâm ngành 2.Tổng dòng 1: a M + ai2 = 0,25 là lượng giá trị sán phẩm ngành 1 cung cấp cho 2 ngành, mồi ngành làm ra một đơn vị sản phẩm của mình

Tổng cột 2: a )2 + a22 = 0,25 là lượng giá trị sản phâm của 2 ngành cung cấp cho ngành 2 để ngành đó làm ra 1 đơn vị sản phẩm

4) Áp dụng công thức: Xy = ay.Xj (i, j = 1,2)