Toán cơ sở dành cho Vật Lý 3

Đây là bài giảng toán Lý 3 có bài giảng và bài tập vận dụng các cấp độ, thích hợp với sinh viên năm 2, Phù hợp với các sinh viên thầy cô bên khoa vật khí khi đang học toán cơ sở dnahf cho vật lý .

CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC

1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.1.1 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG

Giả sử trong miền V đã cho trường vô hướng u =u(M)= u(x,y,z);M(x,y,z)V

a Mặt đẳng trị hay mặt mức của trường u ứng với giá trị u0 là tập hợp các điểm của miền V tại đó hàm u có cùng giá trị không đổi và có phương trình:

u(x,y,z) = u0 (1.1)

b Đạo hàm của hàm u(x,y,z) tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )  V theo hướng của véc tơ

là giới hạn (nếu có) của tỉ số

u u M( ) u M( 0)

 khi M dần tới M0 (hay khi  0) theo phương của đường thẳng chứa véc tơ

trong đó cos,cosβ, cos là các cosin chỉ phương của

c Gradien của trường u(x,y,z) tại M0(x0,y0,z0) là một véc tơ, ký hiệu gradu(M0), được xác định như sau

1.1.2 TRƯỜNG VEC TƠ

Giả sử trong miền  đã cho trường véc tơ

F M( )F x y z( , , )F x y z i x( , , ) F x y z j y( , , ) F x y z k z( , , )

a Đường véc tơ hay đường dòng của trường F M( ) là đường mà tiếp tuyến tại

mỗi điểm của nó trùng với véc tơ của trường tại điểm đó

Hệ phương trình vi phân của họ đường véc tơ là

F  F  F (1.5)

b Thông lượng củaF M( )qua mặt định hướng S,(S hữu hạn, trơn trong miền ,

có véc tơ đơn vị pháp tuyến dương tương ứng là n M( ) ( os , os , os )c  c  c  )

theo hướng pháp tuyến dương là

x y z

S

F dydz F dzdx F dxdy

    (1.6) hoặc dưới dạng tích phân mặt loại 1

trong đó Fn là hình chiếu của F M( )trên phương của n M( )

* Nếu mặt S kín là biên của miền V, các hàm số Fx, Fy, Fz liên tục cùng với

các đạo hàm riêng cấp 1 trong miền V thì theo công thức ostrogradski

* Với C1, C2 là các hằng số; u là hàm vô hướng; F,F ,F là hàm véc tơ thì 1 2

div(C F1 1 C F )2 2 C divF1 1 C divF2 2

div(uF) udivF F.gradu

  (1.10)

d Lưu thông của trường véc tơ F M( )dọc theo đường L(L là đường kín, trơn

nằm trong ), ký hiệu C, được định nghĩa:

x y z

L

C F dxF dyF dz (1.11)

* Nếu S là mặt định hướng hữu hạn, trơn trong miền  và có biên là đường L thì theo công thức stốc

trong đó M x y z0( ,0 0, 0)là điểm tại đó các hàm Fx , Fy , Fz liên tục

Điểm M được gọi là điểm xoáy nếu rot F M( )0; được gọi là điểm không

xoáy nếu rot F M( )0

* Toán tử Haminton mang 2 đặc trưng: Véc tơ và đạo hàm;

Đặc trưng đạo hàm thể hiện như sau: Toán tử này tác động lên các hàm(vô

hướng hoặc véc tơ) theo các quy tắc của đạo hàm

Đặc trưng véc tơ thể hiện như sau: có thể thực hiện mọi phép toán véc tơ đối với Nabla như một véc tơ bình thường khác

* Ta quy ước: Hàm số viết đằng trước toán tử thì không chịu tác động của toán tử; hàm số viết đằng sau toán tử thì chịu tác động của toán tử Trường hợp hàm

số đứng sau toán tử nhưng không chịu tác động của toán tử thì ta quy ước viết

thêm dấu (*) ở phía trên bên phải hàm số đó

* Dùng toán tử Nabla ta có thể viết grad, div, rot ở dạng đơn giản hơn, từ đó

giúp cho việc tính toán các đại lượng này thuận tiện hơn

gradu u, (Tích của véc tơ  với vô hướng u(x,y,z));

DivF .F, (Tích vô hướng của véc tơ  với véc tơ F (x,y,z));

rotF  ;F, (Tích có hướng của véc tơ  với véc tơ F (x,y,z));

b Toán tử Laplace, ký hiệu , là tích vô hướng của  với chính nó

Vị trí của diểm M trong không gian thường được xác định bằng bán kính véc

tơ r0M Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc thì rxiy j zk , nghĩa là điểm

M được xác định bởi bộ 3 số (x,y,z).(Mỗi điểm M ứng với duy nhất một bộ ba (x, y, z) và ngược lại)

Trong nhiều bài toán để xác định vị trí của M thuận tiện hơn ta dùng bộ 3 số khác (q1, q2, q3) và gọi (q1,q2,q3) là toạ độ cong của điểm M.( Mỗi điểm M ứng với duy nhất một bộ ba (q 1 ,q 2 ,q 3 ) và ngược lại ; ý nghĩa của tọa độ q i là do ta tùy chọn) Hệ tọa độ trong đó vị trí của mỗi điểm M được xác định bởi các tọa độ cong(q1,q2,q3) gọi là

* Theo định nghĩa thì mặt tọa độ q1 chính là mặt đẳng trị của trường vô hướng xác định bởi hàm vô hướng q1= q1(x,y,z), vì vậy phương trình mặt tọa độ q1 ứng với giá trị q10 có dạng

q1 = q10 hay q1(x, y, z) = q10, q10 là hằng số

* Từ định nghĩa ta cũng thấy ngay tính chất của mặt tọa độ q1:

Trên mặt tọa độ q1 = q10 thì tọa độ cong q1 có giá trị không đổi(luôn nhận giá trị q10), còn các tọa độ cong q2, q3 có giá trị thay đổi

Chẳng hạn, nếu có biểu diễn tọa độ cong q1 qua tọa độ Đề các như sau

Các mặt tọa độ này cũng có tính chất tương tự như mặt tọa độ q1

Qua mỗi điểm M có 3 mặt tọa độ thuộc 3 họ mặt tọa độ trên đi qua

* Có thể thấy trên đường tọa độ q1 thì các tọa độ cong q2, q3 có giá trị không đổi, chỉ có tọa độ q1 là thay đổi Các đường tọa độ q2, q3 cũng có tính chất tương tự

2.1.4 Hệ tọa độ cong trực giao

* Hệ toạ độ cong được gọi là trực giao nếu tại mỗi điểm các đường toạ độ đôi một vuông góc Chẳng hạn hệ tọa độ Đề các là hệ tọa độ cong trực giao

Trong thực hành ít khi ta dùng định nghĩa để khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong mà thường dùng điều kiện trực giao sau đây

* Cần và đủ để hệ toạ độ cong trực giao là



 Nếu tồn tại giới hạn

1

1

s q

Lim   thì giới hạn đó được gọi là hệ số Lame đối với tọa độ q1 tại điểm M và được kí hiệu là h1

a) Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong đã cho?

b) Tính các hệ số Lame của hệ tọa độ cong đã cho?

(M 1 là hình chiếu của M trên mặt phẳng 0xy)

Khoảng biến thiên chính: 0  2

(Trong một số trường hợp lấy - )

Với M thuộc 0z thì M1 trùng với O, lúc này ta quy

ước  lấy giá trị tùy ý

+  là góc giữa vectơ OM và hướng dương của 0z ;

Khoảng biến thiên: 0    ;

Với M trùng với 0 (OM  0) ta quy ước  lấy giá trị

tùy ý

+ r = OM (  x2 y2 z2 )

Khoảng biến thiên: 0  r  + ; r = 0  M  O; Hình 2.2 Các tọa độ cầu

2.2.2 Mối liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Đề các

Từ hình vẽ dễ thấy

1 1

x = OM cosφ = r sin cosφ

y = OM sinφ = r sin sinφ

e



- Phương trình là r = r0(r0 là hằng số thỏa r  0);

- Mặt tọa độ r = r0 là mặt cầu tâm O, bán kính r0;

Hình 2.5 Mặt tọa độ r (mặt cầu) Hình 2.6 Các đương tọa độ

Là giao của mặt tọa độ  (Nửa mặt phẳng bờ 0z) với mặt tọa độ r (mặt cầu tâm

O) nên nó là nửa đường tròn tâm tại gốc O(Đường tròn kinh tuyến)

* Đường tọa độ r:

Là giao của mặt tọa độ  (Nửa mặt phẳng bờ 0z) với mặt tọa độ  (Mặt nón đỉnh O trục 0z) nên nó là nửa đường thẳng gốc O

2.2.4 Tính trực giao của hệ tọa độ cầu

* Trên hình 2.6 ta thấy các đường tọa độ của hệ tọa độ cầu đôi một vuông góc nên theo định nghĩa thì hệ tọa độ cầu là hệ tọa độ cong trực giao

* Ta cũng có thể kiểm tra kết luận trên bằng cách sử dụng điều kiện trực giao

Vậy hệ tọa độ cầu là hệ tọa độ cong trực giao

2.2.5 Các hệ số Lame trong hệ tọa độ cầu

* Có thể dùng định nghĩa kết hợp với hình 2.6 để tính(SV tự làm)

* Tính theo công thức (2.4) kết hợp với (2.8)

h 1 = h  = ( r sin sinφ)   2 (r.sin cosφ)  2 02 rsin 

h = h = (sin cosφ)   (sin sinφ)   (cos )   1

Chú ý: - Đường tọa độ là thẳng thì hệ số Lame tương ứng bằng 1

- Đường tọa độ là tròn thì hệ số Lame tương ứng bằng bán kính

- Các hệ số Lame trong hệ tọa độ Đề các đều bằng 1

e Biểu thức của gradu,divF, rotF , u trong hệ toạ độ cong trực giao

(với u = u(q1,q2,q3) là trường vô hướng, F = F(q , q , q )1 2 3 là trường véc tơ)

1 (F h ) (F h )R

1 (F h ) (F h )R

f Thông lượng của trường véc tơ F(q , q , q )1 2 3 qua mặt S

Cho S là mặt cong nằm trên mặt toạ độ q3 q3 không đổi trên S  Giả sử trên S

q1 biến thiên từ a đến b, với q1 cố định, toạ độ q2 biến thiên từ q1 đến q1

Khi đó thông lượng của F(q ,q ,q )1 2 3 qua mặt S được xác định như sau

a) để mặt qua M0(1;1;1) ta phải có 1+1-1=C  C=1 nên phương trình mặt đẳng

trị qua M0 là x2 + y2 – z2 = 1 Đó là mặt hypeboloit tròn xoay 1 tầng

b) để mặt qua M1(0;0;0) ta phải có C = 0 nên phương trình mặt đẳng trị qua M1 là

0

z z

1

z z

1

z z

Ví dụ 5 Tìm độ lớn và hướng của gradien của trường u x3  y3  z3 3 xyz tại

A(2;1;1) Tại những điểm nào thì gradu = 0; vuông góc và song song với trục oz?

2 2

00

0

0 0

y

2

2 2

2 2



r = (x, y, z) Khi nào đạo hàm ấy bằng gradu ?

Bài giải Tại điểm M(x, y, x) ta có:

2a

a) Áp dụng cụng thức div uF( )udivF Fgradu ta được

divF div r( 2 1 ln )r r (r2 1 ln )r divr r grad r ( 2 1 ln )r

Dựa vào định nghĩa dễ dàng xác định được divr 3

Dựa vào định nghĩa dễ dàng xác định được rotr0

Theo kết quả ở phần trên ta có

Ví dụ 8 Cho trường véc tơ F x y z( , , )xzi yz jxyk

a) Tìm họ các đường véc tơ của trường;

b) Tính divF tại A(1,1,1);

c) Tính thông lượng qua phía ngoài của nửa mặt cầux2 y2 z2 R2,với z0

S

xzdydz yzdzdx xydxdy

    , với S là phía ngoài

của nửa mặt cầu đã cho

Ta tính tích phân mặt loại 2 trên bằng cách áp dụng công

thức ostrogradski Do S không là mặt kín nên chưa thể áp

dụng ngay công thức ostrogradski cho tích phân trên

Gọi S1 là mặt tròn x2 + y2 ≤ R2 trong mặt 0xy

xzdydz yzdzdx xydxdy

xzdydz yzdzdx xydxdy xzdydz yzdzdx xydxdy

xzdydz yzdzdx xydxdy xzdydz yzdzdx xydxdy

Xét

1

1

S

    , tích phân lấy theo phía dưới mặt tròn S1 Véc tơ pháp tuyến dương ứng với phía dưới của S1 vuông góc với 0x, 0y và hợp với 0z góc  =  nên có các cosin chỉ phương cos = cos = 0,cos = -1 Chuyển

về tích phân mặt loại 1 được

   , S lµ phÝa ngoµi phÇn mÆt paraboloit

đã cho Ta đưa tích phân này về tích phân kép

H×nh chiÕu D cña S trªn 0xy lµ h×nh trßn x2 + y2 4

Ta tính tích phân này bằng cách chuyển về tích phân mặt loại 1

Do véc tơ pháp tuyến trên S hợp với 0z góc tù nên các cosin chỉ phương của nó

được xác định như sau:

' ' 2 ' 2

a) mặt xung quanh của hình trụ x2  y2 R2, 0  z h

b) mặt toàn phần của hình trụ nói trên

c) mặt xung quanh của hình nón x2  y2  z2, 0  z h

Bài giải

a) Theo (2.3) thông lượng  được cho bởi:   n

S

F dS

trong đó Fn là hình chiếu của F M( )trên phương của n M( )

Với M(x,y,z) là điểm bất kỳ trên mặt xung quanh của hình

trụ thì F M( )  r xi y jzk 0M nên hình chiếu của F M( ) 0 y

trên phương của véc tơ n M( ) là Fn 0M1 R Do đó

xdydz ydzdx zdxdy, với S là phía ngoài của mặt hình trụ đã cho

Áp dụng công thức ostrogradski được

  ( )  ( ) 3 3 2

c) Theo (2.3) thông lượng  được cho bởi:   n

S

F dS

trong đó Fn là hình chiếu của F M( )trên phương của n M( )

Với M(x,y,z) là điểm bất kỳ trên mặt xung quanh của hình

nón thì F M( )  r xi y jzk 0M nên hình chiếu của F M( )

trên phương của véc tơ n M( ) là Fn 0(vìF M( )n M( ) )

Cxydxyzdyzxdz, L là đường gấp khúc khép kín ABCA

Theo tính chất của tích phân đường, ta có

3

x t2

Cydxzdyxdz, L là đường trũn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng, chiều

trên L ng-ợc chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía z > 0

Ta có Fx = y, Fy z, Fz = x Từ đú

y z

FF

dydzChuyển về tích phân mặt loại một Do s là mặt phẳng x +y + z = 0 nờn véc tơ

3

1, cosγ =

3

1 Vậy

Fx = yz(2x + y + z); Fy = zx(2y + x + z) ; Fz = xy(2z + x + y)

Theo định nghĩa rota thì

L 0

y

x

z

Vậy tr-ờng véc tơ đã cho là tr-ờng thế

* Các hàm F , F , F đều liên tục tại (0,0,0) nên hàm thế vị đ-ợc cho bởi x y z

z

0

u(x, y, z)(2xyzx yxy )dzxyz x yzxy zC

Vớ dụ 17 Chứng minh cỏc cụng thức sau:

a) div(u F ) = udiv F + F gradu;

b) rot(u F ) = urot F + [gradu; F ];

c) divF ;F1 2 = F2.rotF1 - F1.rotF2;

div(u F ) = F.( u)  u( F)F.graduudivF.(ĐPCM)

b) Ta cú rot(u F ) = ;(uF) Do toỏn tử  tỏc động lờn tớch uF theo quy tắc

;(uF)  ;(uF ) ;(u F)

     

      Dựng tớnh chất a;(kb)    ka;b k a;b  của phộp nhõn cú hướng 2 vộc tơ,

rot(u F ) gradu;FurotF .(ĐPCM)

c) Ta cú divF ;F1 2= .F ;F1 2 Do toỏn tử  tỏc động lờn tớch F ;F1 2 theo

quy tắc đạo hàm một tớch nờn .F ;F1 2 =. *

và tích chất b;c  c;b của tích có hướng, ta được

Từ đây có divF ;F1 2= F rotF2 1F rotF1 2.( ĐPCM )

Ví dụ 18 Dùng toán tử Haminton chứng minh rằng:

div(rot F ) = 0; rot(grad u) = 0; div(grad u) =u;

* Từ định nghĩa toán tử laplace có

(uv)  ( )(uv)  ( (uv))

Do toán tử  tác động lên tích (uv) theo quy tắc đạo hàm một tích nên

* Dùng công thức rot(u F ) = urot F + [gradu; F ] được

rot a;f (r)r  rot(f (r) a;r )  f (r)rot a;r gradf (r); a;r 

a) Chứng tỏ hệ toạ độ trụ là hệ toạ độ cong trực giao;

b) Tính các hệ số lame trong hệ toạ độ trụ;

c) Viết biểu thức của div F trong hệ toạ độ trụ

d) Tính dive của trường vận tốc v của vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi 0 quanh một trục cố định

Bài giải

a) Giữa toạ độ Đề các (x,y,z) và toạ độ trụ (r,,z)

của điểm M có mối liên hệ

Vậy theo (4.1) hệ toạ độ trụ là hệ toạ độ cong trực giao

b) Theo (4.3) các hệ số Lame trong hệ toạ độ trụ là

c) Giả sửFF er r F e F ez z là trường véc tơ được cho trong hệ toạ độ trụ

Do kết quả trên và theo (4.6) ta có biểu thức của divF trong hệ toạ độ trụ

b) Viết biểu thức của rot F trong hệ toạ độ cầu

c) Tính rota của trường của trường lực hấp dẫn

a) Giữa toạ độ Đề các (x,y,z) và toạ độ cầu (,,r)

của điểm M có mối liên hệ

x = rsincos, y = rsinsin , z = rcos Từ đó có:

x sin cos ; x rcos cos ; x r sin sin

y sin sin ; y rcos sin ; y r sin cos

b) Giả sửFF er r F e F e  là trường véc tơ được cho trong hệ toạ độ cầu

Do kết quả trên và theo (4.7) ta có biểu thức của rotF trong hệ toạ độ cầu

r r

2

r 2

c) Ta xét trường véc tơ trong hệ toạ độ cầu Ta thấy rằng, tại M(,,r) bất kỳ

véc tơ r0M hướng theo véc tơ ervà có độ lớn bằng r nên rrer, do đó

biểu thức véc tơ của trường hấp dẫn trong hệ toạ độ cầu là:

e



2 2 2

; y;

1x



  , tính u

Bài giải

Chú ý :1/ Gradu, u, divF,rotF là bất biến đối với cách chọn hệ toạ độ

2/ Do 1/ nên để đơn giản cho việc tính toán cần chọn hệ toạ độ thích hợp

Ví dụ 24 Tính thông lượng của trường véc tơ

F r2 e + re er 2 

qua nửa mặt cầu phía trên S, với tâm tại gốc toạ độ bán kính ahướng theo pháp tuyến ngoài của mặt cầu

Bài giải

Ở đây S là một phần của mặt toạ độ r = const trong hệ toạ độ cầu Trên S toạ

độ  biến thiên từ 0 đến 2; với  bất kỳ thì  biến thiên từ 0 đến /2

Trong hệ toạ độ cầu ta đã biết h = r, h = rsin, và trên mặt S thì r = a không đổi; ngoài ra F có 2

r

F  r nên theo (1.4.9) thông lượng cần tính cho bởi

b/ gradf nếu f = 5x2y- 3xy3 + y4 + z2 tại A(1,2,0);

1.3 Tớnh gradf nếu f 1 er sin r, với r = x +y +z2 2 2

r

1.4 Cho uxyz 2 Tớnh độ lớn và hướng gradu tại P(-9, 12,10 ;Tỡm ) u

theo hướng phõn giỏc của gúc toạ độ x0y

1.5 Tớnh gúc  giữa gradien của trường u ( x, y, z) 2 x2 2



  tại điểm A(1,2,3 v¯ ) B(3,1,0)

1.6 Theo hướng nào thỡ sự biến thiờn của trường ux,y,z = xsinz-ycosz tại

gốc toạ độ là lớn nhất

1.7 Tớnh đạo hàm theo hướng PQ với P(0, 2, 1 v¯ ) Q(12, 1, 3  ) tại

điểm P của trường vụ hướng u = xy  yz  zx

1.8 Cho trường vụ hướng u ln , r1 (x a) +(y2 b) +(z2 c) ,2

r

những điểm nào thỡ cú đẳng thức gradu 1

1.9 Tớnh đạo hàm của trường



r = (x, y, z) Khi nào đạo hàm ấy bằng gradu ?

1.10 Tớnh đạo hàm của trường

2 2 2

u

  theo hướng của vộc tơ

với (cos ,cos ,cos )   Khi nào thỡ đạo hàm ấy triệt tiờu 