Xét n phép thử Bernoulli véi biến cố A có P(A) =
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xảy ra biến cố A trong n phép thử Bernoulli nói trên. Phân phối của biến ngẫu nhiên X được gọi là phân phối nhị thức, ký hiệu Bín; p) (Bla viet tat cua ti binomial).
POR =m) = CP p™(1= py"; m=O;n
Ta có: EX=np; DX = npŒ — p};
ModX = m, (xem 1.5.3 trang 24).
Để chứng minh các kết quả trên chúng ta tính toán theo định nghĩa. Nhưng dưới đây giới thiệu một cách tính khá
đặc biệt.
Ta xây dựng n biến ngẫu nhiên ứng với n phép thử Bernoulli như sau:
X= { 1 nếu ở phép thử thứ ¡ biến cd A xây ra 0 nếu ở phép thử thứ ¡ biến cố Â xây ra X= { 1 với xác suất p
, 0 với xác suất 1— p
Rõ ràng: X;, X;, .... X, độc lập, cùng phân phối như nhau và X= > Xã, n
isl
39
Ta có; EX, = l1p+0(—p)=p
EX?=12p+0=p ĐX,=p— pŸ= pq —p)
EX= SEX, =np
isl
DX= > DX; = np(1 ~ p) a isl
Cén theo dinh nghia thi ModX chinh là số có khả năng nhất mạ.
Vi du 1.13: Theo mét diéu tra về xã hội học cho thấy tỷ lệ sinh viên học tập không đúng với ngành nghề mà họ yêu thích là 34%. Một lớp gồm 60 sinh viên, Gọi X là số sinh viên không theo đứng ngành nghề yêu thích trong 60 sinh viên này. Hãy:
a) Mô tả quy luật phân phối của X.
b) Về trung bình thì trong 60 sinh viên sẽ có bao nhiêu sinh viên không thích ngành đang học?
©) Có bao nhiêu sinh viên không thích ngành đang học là có khả năng nhất?
Giải:
a) Lép gồm 60 sinh viên được cơi như ta đã chọn ngẫu nhiên ra 60 sinh viên từ tập tất cả sinh viên, với tỷ lệ không thích ngành đang học là 34%. Do đó, ta có 60 lần chọn với p = 0,34; nghĩa là ta có 60 phép thử Bernoulli với p = 0,34 (xem nhận xét ở I.5, trang 26). Theo định nghĩa ta có:
X = B(60 ; 0,34) + P(X = m) = CB, .0,34™_ 0,666"
m =0;60
40
b) Vé trung binh trong 60 sinh vién sé cé EX = 60.0,34 = 20,4 sinh vién khéng thich nganh dang hoc.
c) np + p— 1 = 60.0,34 + 0,34 —-1 = 19,74 > my = 20 Trong 60 sinh viên thì tình huống có 20 sinh viên không thích ngành đang học là có khả năng xảy ra cao nhất.
1.9.2. Phân phối siêu bội (siêu hình học)
Phân phối của biến ngẫu nhiên Ÿ trong ví dụ I.8 chính là phân phối siêu bội. Giả sử ta có một tập gồm N phần tử, trong đó có M phần tử mang dấu hiệu Á nào đó, còn lại (N — M) phần tử mang dấu hiệu A. Lấy ngẫu nhiên ra n phần tử từ tập đã cho. Gọi X là số phần tử mang đấu hiệu A trong n phần tử được lấy ra. Phân phối của X được gọi là phân phối
siêu bội.
P(X =m) = MCR cy
Phép thử ở đây là lấy một lần, lấy cùng lúe, cho nên theo xác suất cổ điển chúng ta đễ đàng có được phân phối xác suất như trên. Việc tìm các số đặc trưng tính trực tiếp từ bảng phân phối xác suất sẽ đễ dàng hơn là nhớ và dùng công thức (xem [1]).
Vi du 1.14: Mét tổ gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Cần cử 4 người đi làm một việc. Để công bằng người ta đã thực hiện chọn ngẫu nhiên. Gọi X là số nữ trong 4 người được chọn. Hãy:
Ăm <mùin (M; n)
a) Lap bang phan phối xác suất của X.
b) Viết biểu thức hàm phân phối của X.
c) Tinh EX, DX, ModX, E(3X ~ 2), DG - 3X).
41
Giải:
a) Phép thử là lấy cùng lúc ra 4 người, tức là lấy theo nghĩa
tổ hợp.
Ta có
X 1 3 3 4
POCm ƠI G0 CRC} ORC} CC?
Cy Ch Ch Ch Cie
3ð 175 210 70 5
495 4958 495 495 495
0,071 0,354 0,424 0,141 0,010
b) 0 nếu x<0
0,071 nếu 0<x<1
„à_ Jj 04425 nếu1<x<2
PC CÁ 0.849 néu2<x<3
0,990 nếu 3<x<4 1,0 nếu 4 <x
c) EX= 0+ 1.0,354 + 2.0,424 + 3.0,141 + 4.0,010
= 1,665
EX? = 0 + 1.0354 + 20,424 + 320,141 + 42.0,010
= 3,479
DX = 3,479 — 1,665°= 0,706775 ModX = 2
E(8X - 2) = 8EX - 2 = 3.1,665 — 2 = 2,995 D(5 — 3X) = 8? DX = 9.0,706775 = 6,360975
1.9.3. Phõn phối chuẩn Nịu; ứ?)
Đây là biến ngẫu nhiên liên tục, nhận giá trị trên khoảng (~ ứ, + œ) với hàm mật độ cú đạng:
42
—..: 1
e 2a 50 <x < +00
p@) = sử
trong đó: EX = ModX = p; DX = 07.
Chữ N là viết tat cla tit Normal.
Để chứng minh hai kết quả trên chúng ta phải tính tích phân suy rộng, đo đó ta bỏ qua và công nhận kết quả (xem [1]).
Xết phân phối chuẩn tiêu chuẩn N(0; D:
Hàm mật độ của nó sẽ là:
1 +
o(x) = == .e ?2,-<x<+œ, Theo (.6) hàm phân phối tương ứng là: Van
D(x) = —— Ta! 1% Je ? dt.
Vì tích phân trên không có nguyên hàm cho nên để tính giá trị ®(x) người ta phải dùng phương pháp tính xấp xỉ và phải lập trình để thực hiện tính toán trên máy tính điện tử.
Các kết quả tính toán đã được lập thành bảng (Bảng I— Phụ luc II). Chúng ta chỉ việc tra bang dé dung.
43
Giá trị &(x) = diện tích phần gạch bên trái x.
Ta có kết quả sau: