MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT
2. Phép thử là lấy 1 lần
Số biến cố sơ cấp là C§, = 20.358.520 ) C?a Cộc — 14950 CỆ, — 20.358.520 =— —=0,00073
C[CjCj Cũ — 1028196
b) ch 7 = = 0,0505 20.358.520
1 cổ 2
e C4 C4 ~— SŠ— - 0,0000047 cg, 20.358.520
159
3. Phép thử là lấy 1 lần.
Số biến cố sơ cấp là Cỷ. = 455
] 1 ml 2 œ1
ay Se ls _ 120 4 2oa Cộ, 455 py S06 . © Lo isis C3, | 455
3 2 1
os = 29 6 0440 a) £45 _ 80 _9 og59
Ci, 455 C3, 455
4.
a) Số biến cố sơ cấp = 6.6 = 36
b) Đếm ra ta thấy có 1 khả năng X = 9; 2 khả nang X = 3;
3 khả năng X = 4. Do dé: P< X< 5) = 14243 _1 36 T6
Tương tu: Pos X< 15) = 342411, 36 76
Pd2<X<1ð)= -` =0 0 36
ð. Phép thử là: 8 lần ghi tên (vì có 8 người). Mỗi lần ghi có 3 cách chọn. Số biến cố sơ cấp là 3% = 6561.
a) + = 0,00015 3 b) — = 0,00046 3 3 CRC§C} 168 38 = 6561 =0,0256 đ) 3.1/88 2 38 == =0,3333 3
(Số thuận lợi cho ¢): Chọn 5 trong 8 người đưa vào cắm hoa (có a cách chọn). Sau đó chọn 2 trong 3 người còn lại đưa vào thi nấu ăn (có CG cách chọn). Cuối cùng chỉ còn ci cách chọn người vào dancing. Số thuận lợi cho đ): À có 3 cách chọn, B chỉ có 1 cách; 6 người còn lại, không có ràng buộc gì, mỗi người vẫn có 3 cách chọn).
160
6.2 = {Sinh viên Z thi đạt}, T = {Sinh viên T thi đạt}
Z, T la 2 biến cố độc lập, không xung khắc.
a) P(Z T) = 0,8075 b) PZ UT) = 0,9925
©) P(Z T) = 0,0075
. Dùng mô hình tính xác suất bằng công thức xác suất của tổng và của tích.
a) 0,760 b) 0,990 c) 0,190 d) 0,230 8. Xét 100 vụ ly hén ta có 100 phép thử Bernoulli với biến cố Á = {Ly hôn do ngoại tình}; p= 0,30.
a) Prog (40 ; 0,30) = C48, .0,3°°.0,7°
b) Paco (50 ; 0,70) = C25, .0,75°.0,3°
©) Pago (mn 2 1; 0,30) = 1 — Pyo9(0; 0,30)
= 1— C89 .0,3°.0,71% = 10,7
d) np + p—1= 100.0,3 + 0,3 — 1 = 29,3 > my = 30.
Trong 100 vụ ly hôn thì 30 vụ ly hôn đo ngoại tình là có
khả năng xây ra cao nhất.
9. 1240 cặp vợ chồng đăng ký ở phường trong 10 năm qua, như bài 8, có thể xem như ta đã lấy ra 1240 trường hợp từ tập các cặp vợ chồng đã đăng ký trong các năm qua ở cả thành phố, cũng như trong cả nước (vì các tỷ lệ đã cho trong bài là tỷ lệ chung của cả nước, chứ không phải chỉ của phường này). Do đó, ta có 1240 phép thử Bernoulli với p= œ|—
11 GTTQKHH-A 161
a)np+p-l= 1240. + = — 1= 154,125 — mo = 155.
Số cặp vô sinh có khả năng xảy ra cao nhất là 155 cặp.
1 V85 (1085
Xác suất tương ứng là Giữa (;) (7
b) Xét 165 cặp vô sinh, ta lại có 155 phép tht Bernoulli với p = 0,40.
Cho nên số cặp vô sinh do chồng có khả năng nhất là 62
cặp (vì np + p— 1 = 155.0,4 + 0,4— 1 = 61,4 —> mạ = 69).
c) Pyss (mm < 2 ; 0,6) = Pys5(0 ; 0,6) + Pyse(1 ; 0,6) + Pis5(2 ; 0,6).
= C55 (0,4) + Ches .0,6.0,47% + C3,,.0,62.0,41
= 0,47 (0,4? + 155.0,6.0,4 + 11935.0,67) = 4333,96.(0,4)15 (Vì ma < 2, tức là m = 0 hoặc m = 1 hoặc m = 2. Ba biến cố này xung khắc (do nếu m lấy giá trị 1 thì m không lấy giá trị 0 hoặc 2 nữa,...)).
10.
a) Ta có:
x | 1 2 3 4 5
PŒ =m)| 0,7 0,3.0,7 0,3°.0,7 0,3°.0,7 0,3*
0,7 0,21 0,063 0,0189 0,0081
(X = 2) = (Vién I trugt) (Viên II trúng)
Œ = ð) = (4 viên đầu đều trượt) (Viên thứ V hoặc trúng hoặc trượt)
Hoặc:
PX = 5) = 1— P(Œ = 1) — PŒX = 3) — PŒX = 3) — PŒX = 4).
162 11. GTTKXHH -8
b)
0 nếu x<1 0,7 nếu 1<x<9 0,91 nếu 2<x<3
FQ) = “
0,973 néu3<x<4 09919 néu4d<x<5
1,0 néu5<x
c) EX = 1,4251 EX? = 2,6119 DX = 0,5810 ModX = 1
P(1 < X <3) = PX = 1) + PX = 2) + PH = 3) = 0,973.
P(2< X<5,4) = PX = 3) + PX = 4) + PŒX = 5) = 0,090.
11.
a) Ta có:
Z= 3X -6 -8
P@=2) [01 038 O04 02
z=X 4 1
PŒ=z) |01 05 0,4
Z=X+Y PZ = 2) |-3 0,03 0,09 -2 ~1 019 9 0,27 0,28 1 2 0,14 b) EX + Y) = 0,10
D& — Y) = DX + DY = 0,81 + 0,84 = 1,65.
163
(Hoặc DŒX - Y) = DX + DY = DŒ + Y) = EX + Y)? - 0,17).
Mod(X + Y) = 1.
PC 2<X+Y<2,1)= 0,88.
12.
a) Khảo sát ngẫu nhiên 50 trẻ ở vùng này chính là 50 phép thử Bernoulli với p = 0,358 ; nên X = B(50 ; 0,358).
b) Về trung bình sẽ có 17,9 trẻ suy dinh đưỡng
c) np + p— 1 = 50.0,358 + 0,358 — 1 = 17,258 > mạ = 18.
Có 18 trẻ suy đỉnh dưỡng là khả năng xảy ra cao nhất.
đ) Có thể xảy ra tình huống cả 50 trẻ đều bị suy đính dưỡng, nhưng khả năng xảy ra là khá nhỏ. Còn 18 trẻ suy đỉnh dưỡng sẽ có khả năng xảy ra cao nhất.
e) Pyo (m = 1; 0,642) = 1 — Pry (0 ; 0,642) = 1 — 0,358", 18.
a) 120 cháu của nhà trổ mẫu giáo có thể xem như được chọn từ tập các cháu dưới 5 tuối, mà tập này có tỷ lệ thừa cân là 1,7%. Vì vậy, ta có 120 phép thử Bernoulli với p = 0,017.
Số trẻ thừa cân có phân phối B(120 ; 0,017).
b) np +p~ 1= 1,057 -> mạ = 2
Có 2 cháu thừa cân là tình huống xảy ra cao nhất.
c) Số tìm được không phải là số trung bình, vì số trung bình là 2,04
đ) Mặc dù số trung bình là 2,04; số có khả năng nhất là 9 nhưng tình huống có trên 10 cháu bị thừa cân vẫn có khả năng xảy ra, chỉ có điều là xác suất xảy ra sẽ nhỏ.
164
14.
xX 0 1 2 3 4
PES mi cog ck CEE GE GS
Cte Cte Ch, 1a Cre
56 280 336 112 8
792 792 792 792 792
0,071 0,353 0,424 0,141 0111
Các câu còn lại khá quen thuộc. Bạn đọc tự giải.
1ã.
a) Giả thiết Y = N40 ; 9) cho biết rằng chiều cao trung bình của các em lứa tuổi 13 là 140em. Chiểu cao của các em
sẽ đao động quanh 140 với độ lệch tiêu chuẩn là 3em, tức là 68,26% các em sẽ có chiều cao thuộc khoảng (137cm ; 143cm);
95,45% các em sẽ có chiểu cao thuộc khoảng (134cm; 146cm) và 99,73% các em sẽ có chiều cao thuộc khoảng (13lem;
149cm) (theo quy tắc kơ).
b) Tỷ lệ các em có chiều cao thuộc khoảng (135 ; 150) chính là: P(135 < Y < 150), nghĩa là ta chọn ngẫu nhiên một em 13 tuổi, xác suất chọn được em có chiểu cao thuộc khoảng (135 ; 150) chính là D(135 < Y < 150). Theo céng thie (1.7) muc 1.9.3 ta cé:
P(135 < Y < 150) = 3) — o(-3} = 0,9522.
(X Hiên tục nên khoảng trên kín hay hở ở 2 đầu mút, xác suất đều như nhau}
c) 50 em trong lớp lại được coi như 50 phép thử Bernoulli.
Với A = (135 < Ý < 150) và xác suất p = 0,9522 ta có:
165
i) 2 = BO; 0,9522)
<> P(Z= m) = CF, .0,9522.0,04785°™"
m=0;50
ii) Vé trung binh, trong 50 em sẽ có 47,61 em có chiều
cao từ 135cm đến 150em.
1i) Ta dự đoán trong 50 em sẽ có 48 em có chiều cao từ 185cm đến 150cm. Vì xác suất xảy ra trường hợp này là cao nhất. Dự đoán như vậy sẽ có khả năng đúng lớn nhất.
166
Chương I