4.3.1. Khái niệm, ý nghĩa và đặc điểm số bình quân a. Khái niệm
Số bình quân là chỉ tiêu nêu lên mức độ điển hình theo 1 tiêu thức nào đó hay một tổng thể bao gồm nhiều đơn vị cùng loại.
b. Ý nghĩa
Nêu lên đƣợc đặc điểm chung nhất, khái quát nhất của hiện tƣợng nghiên cứu trong những điều kiện không gian và thời gian cụ thể.
Giúp ta có thể so sánh hai hiện tƣợng không cùng quy mô.
Là cơ sở để vận dụng các phương pháp phân tích TK khác.
4.3.2. Các loại số bình quân a. Số bình quân cộng
Khái niệm: đƣợc tính bằng cách đem tổng các lƣợng biến của tiêu thức chia cho tổng số đơn vị.
Phân loại: 2 loại
Số bình quân cộng giản đơn Số bình quân cộng gia quyền Áp dụng trong trường hợp mỗi lượng
biến Xi xuất hiện 1 lần
Áp dụng trong trường hợp mỗi lượng biến Xi xuất hiện fi lần.
x: số bình quân
Xi ( i=1,2,..., n) là các lƣợng biến n: số đơn vị của tổng thể
fi (i=1,2,...,n): quyền số (là số lần xuất hiện của mỗi lƣợng biến Xi )
Σfi = n
VD1: Tổ công nhân 6 người có NSLĐ như sau: 50 – 55 – 60 – 65 – 70 – 72 Yêu cầu: Tính năng suất lao động bình quân của tổ trên?
NSLĐ bq = (50 + 55 + 60 + 65 + 70 + 72)/ 6 = 372/6 = 62 sản phẩm VD2: Có tài liệu về NSLĐ của công nhân nhƣ sau:
Năng suất lao động Xi
Số công nhân
Fi XiFi
50 55 60 65 70
3 5 10 12 7
150 275 600 780 490
x = EMBED Equation.3 x = EMBED Equation.3
31
72 3 216
Tổng 40 2511
Yêu cầu: Tính năng suất lao động bình quân của tổ trên?
b. Số bình quân điều hoà
Khái niệm: Là số bình quân để tính cho những hiện tƣợng chỉ cho biết các lƣợng biến mà không biết tần số.
Phân loại: 2 loại
Số bq điều hòa gia quyền Số bq điều hòa giản đơn
* Điều kiện tài liệu:
- Các lƣợng biến Xi - Tích số Mi= Xi.fi
* Điều kiện tài liệu:
- Các lƣợng biến Xi - M1 = M2 = … = Mn VD1: Có tài liệu nhƣ sau:
Tổ Năng suất lao động Xi
Sản lƣợng Mi
Mi * 1/Xi
1 2 3 4 5 6
50 55 60 65 70 72
150 275 600 780 490 216
3 5 10 12 7 3
Tổng 372 2511 40
Yêu cầu: Tính năng suất lao động bình quân của tổ trên?
VD2: Biết thời gian sản xuất một sản phẩm của một tổ công nhân nhƣ sau:
Công nhân Thời gian sản xuất Xi
x = EMBED Equation.3
x = EMBED Equation.3
32 1
2 3
15 20 30
Yêu cầu: Tính thời gian sản xuất bình quân của tổ trên?
phút c. Số bình quân nhân
Khái niệm: Là số bình quân của những lƣợng biến có quan hệ tích số với nhau.
Trong TK người ta thường dùng số bình quân nhân để tính tốc độ phát triển bình quân của 1 chỉ tiêu kinh tế xã hội nào đó.
Phân loại: Có 2 loại:
Số bình quân nhân giản đơn Số bình quân nhân gia quyền Công thức:
Công thức:
X: số bình quân nhân Xi: các lƣợng biên
n: số lƣợng các lƣợng biến
∏: ký hiệu tích số
fi: số lần xuất hiện của mỗi lƣợng biến
VD1: Có số liệu về giá trị sản xuất của một doanh nghiệp nhƣ sau:
Năm 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Giá trị sản xuất (tỷ) 200 210 215 222 230 244 Tốc độ phát triển liên hoàn ti (lần) 1,05 1,02 1,03 1,04 1,06 Yêu cầu: Tính tốc độ phát triển bình quân trong thời gian trên?
VD2: Có số liệu về tốc độ phát triển giá trị sản xuất của một tỉnh nhƣ sau:
Năm Tốc độ phát triển ti (lần) Số doanh nghiệp fi
2001 1,1 5
2002 1,25 2
2003 1,15 3
Yêu cầu: Tính tốc độ phát triển bình quân trong thời gian trên?
x = EMBED Equation.3 x = EMBED
Equation.3
33 4.3.3. Mode
a. Khái niệm
Là biểu hiện của một tiêu thức nghiên cứu đƣợc gặp nhiều nhất trong một tổng thể hay một dãy số lƣợng biến.
b. Đặc điểm
Thể hiện mức độ phổ biến nhất của hiện tƣợng, bản thân nó không san bằng, bù trừ chênh lệch giữa các lƣợng biến.
Không chịu ảnh hưởng bởi các lượng biến đột xuất (quá lớn, quá nhỏ) nên ít nhạy bén.
Chỉ dùng thay thế số bình quân nếu tìm số bình quân gặp khó khăn vì nó có 1 số hạn chế vì trong nhiều trường hợp không có giá trị Mo nào xuất hiện hoặc có 2, 3 Mo ta không thể xác định đƣợc giá trị trung tâm chính xác.
c. Cách tính
Đối với dãy không có khoảng cách tổ: Mo là lƣợng biến có tần số lớn nhất trong dãy số lƣợng biến.
VD: Điểm môn lý thuyết thống kê của lớp CĐ51KT nhƣ sau:
Điểm số Số sinh viên 4
5 6 7 8 9
10 15 30 52 15 2 Tổng số 124
Yêu cầu: Tính mốt về điểm lý thuyết thống kê của lớp trên?
Ta xác định đƣợc Mo = 7 điểm
Đối với dãy số lượng biến có khoảng cách tổ:
- Khoảng cách tổ bằng nhau: trước hết phải xác định tổ chứa Mo tức là tổ có tần số lớn nhất, sau đó xác định Mo theo công thức:
FMo - FMo -1
Mo = XMomin + hMo
(FMo – FMo -1) + (FMo – FMo+1) Trong đó: XMomin : Giới hạn dưới của tổ chứa mốt
hMo : Trị số khoảng cách tổ chứa mốt FMo: Tần số của tổ chứa mốt
FMo -1: Tần số của tổ đứng trước chứa mốt FMo+1: Tần số của tổ đứng sau chứa mốt
34 VD1: Có tài liệu về doanh thu của 50 cửa hàng tháng 12/2009 nhƣ sau:
Doanh số (Tr đồng) Số cửa hàng 200 – 300
300 – 400 400 – 500 500 – 600 600 – 700
8 10 20 7 5
Tổng 50
Yêu cầu: Tính mốt về doanh thu của cửa hàng trên?
Ta xác định đƣợc Mo nằm ở tổ thứ 3 (400 – 500) 20 – 10
Mo = 400 + 100 = 443,48 triệu đồng
(20 – 10) + (20 – 7)
- Khoảng cách tổ không bằng nhau: ta cũng xác định tổ có chứa Mo nhƣng không căn cứ vào tần số lớn nhất mà căn cứ vào mật độ phân phối tức là tỷ số giữa các tần số và trị số khoảng cách tổ di = Fi/hi
dMo - dMo -1
Mo = XMomin + hMo
(dMo – dMo -1) + (dMo – dMo+1) Trong đó: XMomin: Giới hạn đưới của tổ chứa mốt
hMo: Trị số khoảng cách tổ chứa mốt dMo: Mật độ phân phối của tổ chứa mốt
dMo+1: Mật độ phân phối của tổ đứng sau tổ chứa mốt dMo-1: Mật độ phân phối của tổ đứng trước tổ chứa mốt
VD2: Có tài liệu về doanh thu của 79 cửa hàng trong tháng 12/2005 nhƣ sau:
Doanh thu (Tr đồng)
Số cửa hàng Fi
Khoảng cách tổ hi
Mật độ phân phối di = Fi/hi
200 –400 400 – 500 500 – 600 600 – 800 800 – 1000
8 12 25 25 9
200 100 100 200 200
0.04 0.12 0.25 0.125 0.045
35
Tổng 79
Yêu cầu: Tính mốt về doanh thu của các cửa hàng trên?
Ta thấy Mo nằm vào tổ 3 (500 – 600) vì có mật độ phân phối lớn nhất.
0,25 – 0,12
Mo = 500 + 100 = 550,9 triệu đồng
(0,25 – 0,12) + (0,25 – 0,125)
Mốt thường dùng để nghiên cứu khuynh hướng của phong trào. VD kích cỡ giày dép, quần áo.
4.3.4. Số trung vị a. Khái niệm
Là lƣợng biến của đơn vị đứng ở chính giữa trong dãy số lƣợng biến, chia số đơn vị trong dãy số thành 2 phần bằng nhau.
b. Cách xác định
Với dãy số lượng biến không có khoảng cách tổ:
- Trường hợp n lẻ n +1 Vị trí Me =
2 - Trường hợp n chẵn
n +2 Vị trí Me =
2
Đối với dãy số lượng biến có khoảng cách tổ:
Trước hết xác định tổ chứa trung vị đó là tổ có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng
Σ Fi/2 - SMe -1 Me = XMemin + hMe
FMe
Trong đó: XMemin: Giới hạn dưới của tổ có chứa trung vị hMe : Trị số khoảng cách tổ chứa trung vị
SMe -1: Tổng các tần số của các tổ đứng trước tổ chứa trung vị
FMe: Tần số của tổ chứa trung vị Σ Fi: Tổng các tần số
36 VD: Doanh số bán hàng của 79 cửa hàng trong tháng 12/2005 nhƣ sau:
Doanh số (Tr đồng)
Số cửa hàng Fi
Tần số tích luỹ Si
200 –400 400 – 500 500 – 600 600 – 800 800 – 1000
8 12 25 25 9
8 20 45 70
Tổng 79
Yêu cầu: Tính trung vị về doanh số của các cửa hàng trên?
Tổ chứa trung vị là tổ 3 (500 – 600) vì tần số tích luỹ là 45 > 79+1)/2
79/2 - 20
Me = 500 +100 =578 triệu đồng
25
Trung vị biểu hiện mức độ đại biểu của hiện tƣợng mà không san bằng bù trừ chênh lệch giữa các lƣợng biến đƣợc dùng để thay thế số trung bình cộng và nêu lên đặc trƣng phân phối của dãy số.