1.6 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy
1.6.1 Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
x21+x22⩾2x1x2, ∀x1, x2 ∈R,
ta suy ra với mọi cặp số không âmx, y với tổng bằng 1 cho trước thì tíchxy đạt giá trị lớn nhất bằng 1
4 khi x=y= 1 2. Vậy
xy ⩽ 1
4. (1.27)
Nếu ta có một cặp số không âm khác, chẳng hạn u, v với tổng bằng 1 thì tích uv cũng có tính chất như đã nêu và
uv ⩽ 1
4. (1.28)
Phải chăng ta có thể cho một tiêu chuẩn để có thể sắp thứ tự cặp sốxy vàuv?
Nhận xét rằng, ta không thể sắp thự tự tất cả các cặp số dương theo một trình tự thông thường trên đường thẳng được. Tuy nhiên, đối với các cặp số dương có chung tổng thì nếu để ý đến trường hợp đặc biệt đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra khi các số hạng (hoặc thừa số đối với tích) bằng nhau, thì ta có thể phát biểu thứ tự các cặp đó dưới dạng văn học rằng tíchxy đạt giá trị lớn nhất trong trường hợp cặp số đó là đều, tức là x=y.
Định nghĩa 1.2. (i) Xét các cặp số không âm x, y với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn x+y = 1). Ta gọi hiệu
ρ(x, y) := max(x, y)−min(x, y),
34 Chương 1. Bất đẳng thức Cauchy là độ lệch của cặp số x, y hay là độ gần đều của cặp số x, y
(ii) Cặp x1, y1 được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp x2, y2 (hay cặp x2, y2
được gọi là xa đều hơn cặp x1, y1), nếu
ρ(x1, y1)⩽ρ(x2, y2).
Như vậy, theo định nghĩa trên thì cặpx, yluôn có độ lệchρ(x, y)⩾0và độ lệch bằng 0 khi và chỉ khix =y, khi đó cặp x, y là cặp gần đều nhất và các cặp 0,1 và1,0 sẽ là những cặp xa đều nhất.
Với các quy ước như trên, ta có thể sắp thứ tự các tích xy với tổngx+y= 1 không đổi theo ngôn ngữ "gần đều" như sau.
Định lí 1.20. Xét các cặp số không âm xj, yj (j = 1,2) với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn x+y= 1). Khi đó
x1y1⩾x2y2
khi và chỉ khi cặp x1, y1 gần đều hơn cặpx2, y2. Chứng minh. .
Xét các cặp số không âmx, y với tổng bằng 1 không đổi. Không mất tính tổng quát, coi0⩽x < y. Với mỗiε >0đủ nhỏ, để đảm bảox+ε < y−ε(chỉ cần chọnε∈[0,y−x2 ).
Dễ thấy rằng cặp x+ε, y−εgần đều hơn cặp x, yđã cho. Ta chỉ cần chứng minh rằng
xy ⩽(x+ε)(y−ε) (1.29)
là đủ.
Điều này là hiển nhiên vì (1.29)tương đương với bất đẳng thứcε(y−x−ε)⩾0.
Thứ tự sắp được theo ngôn ngữ "gần đều dần" cho ta một cách tiếp cận tự nhiên với nhiều bài toán của thực tiễn. Chẳng hạn, khi ta có cặp số tự nhiênx, ycó tổng bằng một số lẻ thì cặp số đó sẽ không bao giờ là cặp số nguyên bằng nhau được. Khi đó khái niệm gần đều nhất (mà không phải là đều) sẽ có ý nghĩa thực tiễn.
Nhận xét rằng, đối với các cặp số dương có chung tích thì ta cũng có thể phát biểu thứ tự các cặp đó dưới dạng văn học rằng tổngx+y đạt giá trị nhỏ nhất trong trường hợp cặp số đó là đều, tức là x=y.
Định nghĩa 1.3. (i) Xét các cặp số dương x, yvới tích không đổi (để đơn giản, ta chọn xy=a >0). Ta gọi hiệu
ρ(x, y) := max(x, y)−min(x, y), là độ lệch của cặp số x, y hay là độ gần đều của cặp số x, y
(ii) Cặp x1, y1 được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp x2, y2 (hay cặp x2, y2
được gọi là xa đều hơn cặp x1, y1), nếu
ρ(x1, y1)⩽ρ(x2, y2).
1.6. Phương pháp bất đẳng thức Cauchy 35 Như vậy, theo định nghĩa trên thì cặpx, yluôn có độ lệchρ(x, y)⩾0và độ lệch bằng 0 khi và chỉ khix =y, khi đó cặp x, y là cặp gần đều nhất và các cặp 0,1 và 1,0 sẽ là những cặp xa đều nhất.
Với các quy ước như trên, ta có thể sắp thứ tự các tổng x+y với tích xy không đổi theo ngôn ngữ "gần đều" như sau.
Định lí 1.21. Xét các cặp số dươngxj, yj (j= 1,2) với tích không đổi (để đơn giản, ta chọn xjyj = 1). Khi đó
x1+y1 ⩽x2+y2 khi và chỉ khi cặp x1, y1 gần đều hơn cặpx2, y2.
Chứng minh. Xét các cặp số dươngx, yvới tích bằng 1 không đổi. Không mất tính tổng quát, coi0< x < y. Với mỗiε >1, để đảm bảoεx <(ε)−1y (chỉ cần chọnε∈
1, qy
x
. Dễ thấy rằng cặp xε, y(ε)−1 gần đều hơn cặp x, y đã cho. Ta chỉ cần chứng minh rằng
x+y ⩾xε+y(ε)−1 (1.30)
là đủ.
Điều này là hiển nhiên vì(1.30) tương đương với bất đẳng thứcεx⩽y.
Định lí sau đây đóng vai trò trọng tâm đối với hai cặp số sắp được thứ tự.
Xét hai cặp số (z,2−z) và (y,2−y)với 1⩽z⩽y⩽2 hoặc
0⩽y⩽z⩽1.
Khi đó, theo định nghĩa, rõ ràng cặp số(z,2−z) gần đều hơn so với cặp số(y,2−y).
Vậy nên, ta có
Định lí 1.22(H.W.Melaughlin, F.T.Metcalf). Với mọi cặp dãy số dươnga= (a1, . . . , an) và b= (b1, . . . , bn) sao cho1⩽z⩽y ⩽2 hoặc0⩽y ⩽z⩽1, ta đều có
Xn
k=1
aykb2−yk Xn
k=1
a2−yk byk
⩾ Xn
k=1
azkb2−zk Xn
k=1
a2−zk bzk
.
Đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1]. Từ kết quả này, ta dễ dàng thu được ngay bất đẳng thức Cauchy quen biết.
Quá trình sắp đều có thể dùng để điều chỉnh bộ số như sau:
36 Chương 1. Bất đẳng thức Cauchy Bài toán 1.12. Cho
B=
na1+a2
2 ,a2+a3
2 ,ã ã ã ,a2005+a2006
2 ,a2006+a1
2 o
là một hoán vị của bộ số
A={a1, a2, . . . , a2006}.
Chứng minh rằng
a1=a2 =ã ã ã=a2006. Chứng minh. Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
a2k+a2k+1
2 ⩾
ak+ak+1
2 2
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiak=ak+1, k= 1,2, . . . ,2006,trong đó a2007 :=a1. DoB là một hoán vị củaA, nên
2006
X
k=1
a2k=
2006
X
k=1
a2k+a2k+1
2 =
2006
X
k=1
ak+ak+1
2 2
.
Điều này chỉ xảy ra khi đồng thời a1 = a2, a2 = a3, . . ., a2006 = a1, điều cần chứng minh.
Nhận xét 1.2. Vấn đề sắp thứ tự gần đều đối với bộ số tuỳ ý sẽ được đề cập trong các chương sau. Đặc biệt quá trình sắp thứ tự gắn chặt chẽ với giả thiết của Karamata khi mở rộng các bất đẳng thức cổ điển đối với lớp hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm.