7.3 Hàm số bảo toàn bất đẳng thức trong hình học
7.3.1 Hàm số chuyển đổi các tam giác
Ta nhắc lại (không chứng minh) một số hệ thức đặc trưng cho tam giác mà mọi học sinh bậc THPT đều quen biết. Đây là những hệ thức đơn giản mô tả sự ràng buộc tự nhiên của các yếu tố cạnh và góc trong một tam giác.
Bài toán 7.14. Điều kiện cần và đủ để 3 số dương A, B, C là độ đo các góc của một tam giác là
A+B+C=π.
Bài toán 7.15. Điều kiện cần và đủ để 3 số dương a, b, c (khi gắn với cùng một đơn vị đo lường) lập thành độ dài các cạnh của một tam giác là
a+b > c b+c > a c+a > b Nói cách khác, ta có thể phát biểu ngắn gọn như sau.
Bài toán 7.16. Điều kiện cần và đủ để 3 số dương a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác là
|b−c|< a < b+c.
7.3. Hàm số bảo toàn bất đẳng thức trong hình học 233 Trong phần này, ta sẽ khảo sát các đặc trưng hàm cơ bản của một số hàm số sinh bởi các phép biến hình sơ cấp dạng tịnh tiến, vị tự, đối xứng (phản xạ) và nghịch đảo trên đường thẳng thực.
Về sau, ta gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giácABC.
Bài toán 7.17. Xác định α để hàm sốf(x) =x+α có tính chất: f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giácABC.
Giải.Đểf(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có f(a)>0, f(b)>0, f(c)>0.
Suy ra
a+α >0, b+α >0, c+α >0, ∀∆ABC hay
α >−a, α >−b, α >−c, ∀∆ABC.
Điều này tương đương với
α >max{−a,−b,−c}, ∀∆ABC hay α⩾0.
Ngược lại, với α ⩾ 0 thì dễ thấy f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác do a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Thật vậy, ta cóf(a) >0, f(b)>0, f(c)>0 và
|f(b)−f(c)|< f(a)< f(b) +f(c)⇔ |b−c|< a+α < b+c+ 2α.
Bất đẳng thức sau đúng vì|b−c|< a < b+c.
Vậy nên, với α ⩾ 0 thì hàm số f(x) =x+α có tính chất f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi∆ABC.
Bài toán 7.18. Xác địnhα để hàm sốf(x) =αxcó tính chất:f(a), f(b), f(c)là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Giải.Đểf(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có f(a)>0, f(b)>0, f(c)>0, ∀∆ABC.
Suy ra
αa >0, αb >0, αc >0, ∀∆ABC. (7.27) Từ (7.27) ta thu đượcα >0.
234 Chương 7. Bất đẳng thức hàm Ngược lại, nếuα >0thì f(a)>0,f(b)>0, f(c)>0 và
|f(b)−f(c)|< f(a)< f(b) +f(c)⇔α|b−c|< αa < α(b+c).
Bất đẳng thức sau đúng vì |b−c|< a < b+c.
Vậy nên, với α > 0 thì hàm số f(x) =αx có tính chất f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi ∆ABC.
Bài toán 7.19. Xác định α, β để hàm sốf(x) =αx+β có tính chất:f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Giải.Đểf(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có f(a)>0, f(b)>0, f(c)>0, ∀∆ABC.
Suy ra
αa+β >0, αb+β >0, αc+β >0, ∀∆ABC. (7.28) Từ (7.28) ta thu được α ⩾ 0. Thật vậy, nếu α < 0, β tuỳ ý cho trước thì khi ta chọn
∆ABC có ađủ lớn, ta sẽ nhận được αa+β <0.
Tương tự, cũng từ (7.28) ta suy ra β ⩾ 0. Thật vậy, nếu β < 0, ta chọn tam giác ABC có cạnhađủ nhỏ thì sẽ thu đượcαa+β <0.
Trường hợp khi đồng thời xảy ra α = 0, β = 0 thì f(x) ≡ 0, không thoả mãn bài toán.
Vớiα ⩾0, β⩾0 vàα+β >0thì ta thấy f(a)>0, f(b)>0, f(c)>0và
|f(b)−f(c)|< f(a)< f(b) +f(c)⇔α|b−c|< αa+β < α(b+c) + 2β.
Bất đẳng thức sau đúng vì |b−c|< a < b+c.
Suy ra f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác. Vậy nên:
Vớiα⩾0, β⩾0vàα+β >0thì hàm sốf(x) =αx+β có tính chấtf(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Bài toán 7.20. Xác định α, β để hàm số f(x) = 1
αx+β có tính chất: f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Giải. Nhận xét rằng, phép nghịch đảo g(x) = 1
x không có tính chất: g(a), g(b), g(c) là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi ∆ABC. Thật vậy, xét tam giác cân với a=b= 2,c= 1 thì ta có
1 a+ 1
b = 1 c.
Để f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có f(a)>0, f(b)>0, f(c)>0, ∀∆ABC.
7.3. Hàm số bảo toàn bất đẳng thức trong hình học 235 Suy ra
αa+β >0, αb+β >0, αc+β >0, ∀∆ABC. (7.29) Từ (7.29) ta thu đượcα ⩾0. Thật vậy, nếu α <0, β tuỳ ý cho trước thì ta chọn tam giácABC có cạnhađủ lớn thì sẽ thu được αa+β <0.
Tương tự, cũng từ (7.29) ta suy raβ ⩾0. Thật vậy, nếuβ <0, ta chọn∆ABC cóa đủ nhỏ thì sẽ thu đượcαa+β <0.
Trường hợp khi xảy ra đồng thờiα= 0 vàβ = 0thìf(x)không có nghĩa. Khiα >0 vàβ = 0 thìf(x)≡ 1
αx,không thoả mãn bài toán (theo nhận xét ở trên).
Với α = 0, β > 0, ta thu được hàm hằng dương nên f(a) = f(b) = f(c) > 0 và f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác đều.
Xét trường hợpα >0, β >0. Không mất tính tổng quát, ta giả thiếta⩾b⩾c. Khi đó
f(a)⩽f(b)⩽f(c).
Vậy ta chỉ cần xác định các số dương α, β sao cho luôn có
f(a) +f(b)> f(c), ∀∆ABC mà a⩾b⩾c hay
1
αa+β + 1
αb+β > 1
αc+β, ∀∆ABC, mà a⩾b⩾c. (7.30) Xét các tam giác ABC cân đồng dạng với tam giác cạnh 3,3,1, tức a=b= 3d, c=d vớid >0 tuỳ ý. Khi đó, (7.30) có dạng
1
3dα+β + 1
3dα+β > 1
dα+β, ∀d >0 hay
2
3dα+β > 1
dα+β, ∀d >0
⇔ 3dα+β <2(dα+β), ∀d >0 hay
β >2dα, ∀d >0.
Điều này không xảy ra khidđủ lớn.
Vậy với α = 0, β >0 thì hàm số f(x) = 1
αx+β có tính chấtf(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giácABC.
Bài toán 7.21. Xác định các hàm sốf(x) liên tục trong[0, π],f(0) = 0và có đạo hàm trong(0, π) sao cho f(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
236 Chương 7. Bất đẳng thức hàm Giải.Ta cần xác định hàm khả vif(x) sao cho
f(x)>0, ∀x∈(0, π) f(0) = 0
f(A) +f(B) +f(C) =π, ∀∆ABC.
Vìf(0) = 0và f(x) liên tục, nên từ
f(A) +f(B) +f(C) =π, ∀∆ABC, ta suy ra f(π) =π. TừC =π−(A+B), suy ra
f(A) +f(B) +f(π−A−B) =π, ∀A, B, A+B ∈(0, π), hay
f(x) +f(y) +f(π−x−y) =π, ∀x, y, x+y∈(0, π). (7.31) Lấy đạo hàm trong(0, π)theo biến x từ hệ thức (7.31), ta thu được
f0(x)−f0(π−x−y) = 0, ∀x, y, x+y ∈(0, π). (7.32) Từ (7.32) suy ra f0(x) là hàm hằng trong (0, π) và do f(0) = 0 nên q = 0 và vì vậy f(x) =px. Dof(π) =π nên p= 1 và ta thu đượcf(x) =x.
Vậy chỉ có hàm số f(x) = x là hàm liên tục trong [0, π], f(0) = 0 và có đạo hàm trong (0, π) thoả mãn:f(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo các góc của một tam giác ứng với mọi∆ABC cho trước.
Bài toán 7.22. Xác định các hàm sốf(x) liên tục trong[0, π], f(0) = 0vàf(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Giải.Ta phát biểu bài toán đã cho dưới dạng: Xác định các hàm số f(x) dương trong (0, π),liên tục trong [0, π], f(0) = 0và thoả mãn điều kiện
f(x) +f(y) +f(π−x−y) =π, ∀x, y∈(0, π), x+y < π. (7.33) Vìf(x) là hàm liên tục nên ta có thể mở rộng (7.33) thành
f(x) +f(y) +f(π−x−y) =π, ∀x, y∈[0, π], x+y⩽π.
Dof(0) = 0nên với y= 0, ta thu được
f(x) +f(π−x) =π, ∀x∈[0, π].
Đặtf(x) =x+g(x)thì g(0) = 0 vàg(x) là hàm liên tục trong[0, π]. Ta có x+g(x) + (π−x) +g(π−x) =π
⇔ g(x) +g(π−x) = 0, ∀x∈[0, π]
7.3. Hàm số bảo toàn bất đẳng thức trong hình học 237 hay
g(π−x) =−g(x), ∀x∈[0, π]. (7.34) Thếf(x) =x+g(x)vào (7.33)và sử dụng(7.34), ta thu được
x+g(x) +y+g(y) +π−(x+y) +g(π−(x+y)) =π, ∀x, y∈[0, π], x+y⩽π hay
g(x) +g(y)−g(x+y) = 0, ∀x, y∈[0, π], x+y⩽π hay
g(x+y) =g(x) +g(y), ∀x, y∈[0, π], x+y⩽π. (7.35) Dog(x)liên tục trong[0, π]nên(7.35)là phương trình hàm Cauchy, nên suy rag(x) =αx.
Do đó,f(x) = (1 +α)x. Đểf(x)>0với mọix∈(0, π),ta cần có 1 +α >0 và để f(A) +f(B) +f(C) =π
ta cần có 1 +α= 1. Suy ra α= 0 và do đóf(x)≡x.
Vậy chỉ có hàm sốf(x) =x thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Bài toán 7.23. Xác định các hàm số f(x) liên tục trong [0, π] sao cho f(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giácABC cho trước.
Giải.Ta thấy có hai hàm số hiển nhiên thoả mãn bài toán, đó làf(x) =xvàf(x)≡ π 3. Ta phát biểu bài toán đã cho dưới dạng: Xác định các hàm số f(x) liên tục trong [0, π]và
f(x)>0, f(x) +f(y) +f(π−x−y) =π, ∀x, y∈(0, π), x+y < π.
Vìf(x)liên tục trong [0, π]nên ta cũng có
f(x) +f(y) +f(π−x−y) =π, ∀x, y∈[0, π], x+y⩽π. (7.36) Choy→0, ta thu được
f(x) +f(0) +f(π−x) =π, ∀x∈(0, π) hay
f(π−x) =π−f(0)−f(x), ∀x∈[0, π].
Thế vào(7.36), ta thu được
f(x) +f(y) + [π−f(0)−f(x+y)] =π, ∀x, y∈[0, π], x+y⩽π
238 Chương 7. Bất đẳng thức hàm hay
f(x+y) +f(0) =f(x) +f(y), ∀x, y∈[0, π], x+y⩽π. (7.37) Đặtf(x) =f(0) +g(x). Khi đó g(x) liên tục trong [0, π]và (7.37)có dạng
g(x+y) =g(x) +g(y), ∀x, y∈[0, π], x+y⩽π. (7.38) Do g(x) liên tục trong [0, π]nên (7.38)là phương trình hàm Cauchy và g(x) = αx nên f(x) =αx+β. Ta cần xác định α, β để f(x)>0 với mọix∈(0, π) và để
f(A) +f(B) +f(C) =π hay
( αx+β >0, ∀x∈(0, π) α(A+B+C) + 3β =π, hay
( αx+β >0, ∀x∈(0, π) απ+ 3β =π.
Ta sẽ tìmα để
f(x) =αx+(1−α)π
3 >0, ∀x∈(0, π). (7.39) Cho x→0 vàx→π, từ (7.39)ta thu được
−1
2 ⩽α⩽1.
Ngược lại, với −1
2 ⩽α⩽1 và0< x < π, ta đều có f(x) =αx+(1−α)π
3 >0.
Khi α= 0 thìf(x) = π
3; khi α= 1 thì ta nhận được f(x) =x.
Vậy, các hàm cần tìm đều có dạng
f(x) =αx+(1−α)π 3 , −1
2 ⩽α⩽1.
Bài toán 7.24. Xác định các hàm số f(x) liên tục trong [0,1] sao cho f(a), f(b), f(c) tạo thành độ đo các cạnh của một tam giác nội tiếp trong đường tròn đường kính 1 ứng với mọi tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đường kính bằng 1 cho trước.
7.3. Hàm số bảo toàn bất đẳng thức trong hình học 239 Giải.Ta có nhận xét sau:
Xét đường trònO đường kính bằng 1. Ký hiệuM(∆)là tập hợp tất cả các tam giác nội tiếp trong đường tròn O đó. Khi đó điều kiện cần và đủ để ba số dương α, β, γ là ba góc của một tam giác làsinα,sinβ,sinγ tạo thành độ đo các cạnh của một tam giác thuộcM(∆).
Thật vậy, khi α, β, γ là ba góc của một tam giác thì 2Rsinα,2Rsinβ,2Rsinγ hay sinα,sinβ,sinγ là độ dài các cạnh tương ứng của tam giác nội tiếp được trong đường trònO đường kính bằng 1.
Ngược lại, khi sinα,sinβ,sinγ là độ dài các cạnh tương ứng của tam giác nội tiếp được trong đường trònO đường kính bằng 1 thì do các góc α, β, γ dương nênα, β, γ là ba góc của một tam giác.
Vậy, theo kết quả bài toán 7.22 thì các hàm cần tìm có dạng f(x) = sin
αarcsinx+(1−α)π 3
, −1
2 ⩽α⩽1.