Nhận xét rằng, việc mở rộng khái niệm của hàm lồi và hàm lõm như là một nhu cầu tự nhiên. Trong thực tế, có rất nhiều bài toán ứng dụng gắn với hàm số khả vi bậc hai nhưng không áp dụng phương pháp hàm lồi được vì đạo hàm bậc hai đổi dấu trong khoảng đang xét. Chẳng hạn, nếu bất đẳng thức
f x+y
2
⩽ f(x) +f(y)
2 ,
xảy ra với mọi cặp x, y trong I(a, b) thì người ta gọi f(x) là J-lồi (theo nghĩa Jensen).
Tuy nhiên, nếu bất đẳng thức f
x+y 2
⩽ f(x) +f(y)
2 ,
chỉ xảy ra với mọi cặp x, y với x ⩽y và z ⩾0 mà x, y+z ∈I(a, b), thì ta nói hàm số f(x) là Wright-lồi.
Tiếp theo, nếu để ý đến phép tính số học, thì vế trái và vế phải của bất đẳng thức fx+y
2
⩽ f(x) +f(y)
2 ,
lần lượt là giá trị hàm số tại điểm là trung bình cộng của đối số và trung bình cộng của các giá trị hàm số tương ứng. Do vậy, nếu ta thay vế phải bởi giá trị trung bình nhân, ta thu được
f
x+y 2
⩽p
f(x)f(y),
thì sẽ thu được lớp hàm thường được gọi là lồi logarit. Tương tự, ta có các định nghĩa hàm lồi mũ, hàm lồi sin,...
Tiếp theo, ta nhắc lại các tiêu chuẩn đơn giản để nhận biết tính lồi (lõm) của một hàm số.
Giả sửf(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a, b). Khi đó
4.6. Hàm tựa lồi và tựa lõm 141 (i) Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) lồi trên(a, b)là
f00(x)⩾0, ∀x∈(a, b).
(ii) Điều kiện cần và đủ để hàm sốf(x) lõm trên(a, b) là f00(x)⩽0, ∀x∈(a, b).
Tuy nhiên, cũng như đã nhận xét ở trên, trong ứng dụng, ta nhận thấy, do đặc thù của dạng toán, có khi chỉ đòi hỏi hàm số đã cho có tính chất yếu hơn tính lồi (lõm), chẳng hạn như, khi
f
x1+x2
2
⩽ f(x1) +f(x2)
2 ∀x1, x2 >0 mà x1+x2 ⩽1, thì không nhất thiếtf(x)phải là một hàm lồi trên (0,1).
Cũng như vậy, đối với hàm sốf(x) mà f
x1+x2
2
⩾ f(x1) +f(x2)
2 ∀x1, x2 >0 mà x1+x2 ⩽1, thì không nhất thiết đòi hỏi f(x) phải là một hàm lõm trên (0,1).
Ví dụ, với hàm sốf(x) = cosπx, ta luôn có khẳng định sau đây.
Bài toán 4.2. Nếu A, B, C là các góc của ∆ABC thì cosA+ cosB+ cosC
3 ⩽cosA+B+C
3 . (4.36)
Như vậy, mặc dù hàm f(x) = cos(πx) không là hàm lõm trong (0,1), ta vẫn có bất đẳng thức ( suy từ(4.1)), tương tự như đối với hàm số lõm trong (0,1):
cos(πx1) + cos(πx2)
2 ⩽cos(x2+x2)π
2 mà x1+x2<1. (4.37) Ta đi đến định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 4.4. Hàm số f(x) xác định trong(0, b)⊂(0,+∞) được gọi là hàm tựa lồi trong khoảng đó, nếu
fx1+x2 2
⩽ f(x1) +f(x2)
2 ∀x1, x2>0 mà x1+x2 ⩽b. (4.38) Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm tựa lõm trong một khoảng cho trước.
142 Chương 4. Hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm Định nghĩa 4.5. Hàm sốf(x) xác định trong(0, b)⊂(0,+∞)được gọi là hàm tựa lõm trong khoảng đó, nếu
fx1+x2
2
⩾ f(x1) +f(x2)
2 ∀x1, x2 >0 mà x1+x2 ⩽b. (4.39) Từ định nghĩa, ta có ngay khẳng định:
Nhận xét 4.4. Mọi hàmf(x)lồi (lõm) trong (0, b)⊂(0,+∞) đều là hàm tựa lồi (lõm) trong khoảng đó.
Nhận xét 4.5. Nếu hàmf(x) tựa lồi trong(0, b)⊂(0,+∞)thì nó là hàm tựa lồi trong mọi khoảng (0, a) với0< a⩽b.
Nhận xét 4.6. Mọi hàmf(x)tựa lồi (lõm) trong (0, b)⊂(0,+∞) đều là hàm lồi (lõm) trong khoảng (0, a) với 0< a⩽ b
2.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử f(x) tựa lồi trong (0, b). Khi x1, x2 ∈ 0,b
2
thì hiển nhiên,x1+x2 < bvà ta thu được
fx1+x2 2
⩽ f(x1) +f(x2)
2 ∀x1, x2 ∈ 0,b
2
. Hệ thức này chứng tỏ f(x) là một hàm lồi trong khoảng
0,b
2
.
Định lí 4.17. Giả thiết rằng hàm h(x) có đạo hàm cấp hai và lồi trên 0,b
2 i
. Khi đó hàm số
f(x) =
h(x), khi x∈ 0,b
2 i
, h(b−x), khi x∈hb
2, b
, sẽ là một hàm tựa lồi trong (0, b).
Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết thì f(x) có đạo hàm bậc hai trên (0, b) và do h00(x)⩾0 trên
0,b
2 i
, nên
f00(x) =
h00(x)⩾0, khi x∈ 0,b
2 i
, h00(b−x)⩾0, khi x∈hb
2, b . Vậy nên f(x) là một hàm tựa lồi trên(0, b).
4.6. Hàm tựa lồi và tựa lõm 143 Nhận xét 4.7. Kết luận của nhận xét trên vẫn đúng đối với hàm h(x) lồi tuỳ ý trên
0,b 2 i
.
Định lí 4.18. Cho hàm số h(x) liên tục và lồi trong
0,b 2 i
. Xét hàm số f(x) xác định theo công thức sau:
f(x) =
h(x), khix∈ 0,b
2 i
2h b
2
−h(b−x), khix∈b 2, b
. Khi đó,f(x) là một hàm tựa lồi trên (0, b).
Chứng minh. Theo giả thiết, h(x) lồi trong khoảng
0,b 2 i
vàf(x) xác định và liên tục trong(0, b).
Ta cần chứng minh bất đẳng thức (4.3):
f
x1+x2
2
⩽ f(x1) +f(x2)
2 ∀x1, x2∈(0, b) với x1+x2< b.
Bất đẳng thức này tương đương với h
x1+x2
2
⩽ f(x1) +f(x2)
2 ∀x1, x2∈(0, b) với x1+x2 < b. (4.40) Coix1< x2. Khi đó, nếux2 < b
2 thì (4.40)có dạng h
x1+x2 2
⩽ h(x1) +h(x2)
2 ∀x1, x2 ∈(0, b) với x1+x2 < b.
Điều này là hiển nhiên.
Xét trường hợp x2 > b
2. Đặt b
2 =d. Khi đó,(4.40)có dạng hx1+x2
2
⩽ h(x1) + 2h(d)−h(b−x2)
2 .
Dễ dàng suy ra
b−x2, x1+x2−d∈(0, d), (b−x2) + (x1+x2−d) =x1+d.
Không mất tổng quát, coix1+x2−b
2 ⩽b−x2. Khi đó x1 ⩽x1+x2− b
2 ⩽b−x2 ⩽d
144 Chương 4. Hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm và theo Định lí Lagrange, ta có
h(d)−h(b−x2) =h0(u)(d−b+x2), u∈(b−x2, d) (4.41) và
h(x1+x2−d)−h(x1) =h0(v)(d−x2), v∈(x1, x1+x2−d). (4.42) Vìv⩽unên h0(v)⩽h0(u), từ (4.41)và(4.42), ta thu được
h(d) +h(x1)⩾h(x1+x2−d) +h(b−x2). (4.43) Do
f
x1+x2
2
=f
x1+x2−d+d 2
⩽ f
x1+x2−d
2 +f(d)
2 ,
nên
f
x1+x2−d
⩾2f
x1+x2
2
−f(d). (4.44)
(4.43)và (4.44)cho ta
f(d) +f(x1)⩾2fx1+x2 2
−f(d) +f(b−x2), hay
2f(d)−f(b−x2)⩾2fx1+x2 2
−f(x1). (4.45)
Mặt khác, theo giả thiết, ta có
f(x2) +f(b−x2)⩾2f(d), hay
2f(d)−f(b−x2)⩽f(x2).
Hệ thức này và (4.45)cho ta(4.40).
Định lí 4.19. Để hàm f(x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa lồi trong khoảng đó, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây đồng thời được thoả mãn:
(i) f(x) lồi trong 0,b
2 i
, (ii) f(x) +f(b−x)⩾2f
b 2
, ∀x∈ 0,b
2
. Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên.
Điều kiện đủ. Giả sửf(x)lồi trong khoảng
0,b 2 i
và f(x) +f(b−x)⩾2fb
2
, ∀x∈ 0,b
2
.
4.6. Hàm tựa lồi và tựa lõm 145 Ta cần chứng minh bất đẳng thức
f
x1+x2
2
⩽ f(x1) +f(x2)
2 ∀x1, x2∈(0, b) với x1+x2< b. (4.46) Coix1 < x2. Khi đó, hiển nhiên x2 < b
2. Nếux2 ⩽ b
2 thì (4.46)là hiển nhiên.
Xét x2 > b
2. Khi đó, dễ dàng suy ra b−x2, x1+x2−b
2 ∈ 0,b
2
, (b−x2) + (x1+x2− b
2) =x1+b 2. Không mất tổng quát, coix1+x2−b
2 ⩽b−x2. Khi đó x1⩽x1+x2− b
2 ⩽b−x2⩽ b 2 và theo Định lí Lagrange, ta có
fb 2
−f(b−x2) =f0(u)b 2 −x2
, u∈
b−x2,b 2
(4.47) và
f
x1+x2− b 2
−f(x1) =f0(v)b 2 −x2
, v ∈
x1, x1+x2− b 2
. (4.48)
Vìv⩽u nên f0(v)⩽f0(u), từ (4.47)và (4.48), ta thu được f
b 2
+f(x1)⩾f
x1+x2− b 2
+f(b−x2). (4.49) Do
f
x1+x2
2
=f
x1+x2− b 2+ b
2 2
⩽
fx1+x2− b
2 2 +fb 2
2 ,
nên
f
x1+x2−b 2
⩾2f
x1+x2
2
−f b
2
. (4.50)
(4.49)và(4.50) cho ta fb 2
+f(x1)⩾2fx1+x2
2
−fb 2
+f(b−x2), hay
2fb 2
−f(b−x2)⩾2fx1+x2 2
−f(x1). (4.51)
146 Chương 4. Hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm Mặt khác, theo giả thiết, ta có
f(x2) +f(b−x2)⩾2f b
2
, hay
2fb 2
−f(b−x2)⩽f(x2). (4.52) Hệ thức(4.51) và(4.52)cho ta điều cần chứng minh.
Tương tự, ta có tiêu chuẩn để nhận biết hàm tựa lõm trên một khoảng cho trước.
Định lí 4.20. Để hàm f(x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa lõm trong khoảng đó, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây đồng thời được thoả mãn:
(i) f(x) lõm trong
0,b 2 i
, (ii) f(x) +f(b−x)⩽2f
b 2
, ∀x∈ 0,b
2
.
Từ Định lí 4.19 và 4.20, ta có thu được phương pháp dựng các hàm tựa lồi trên(0, b) như sau.
Hệ quả 4.3. Để hàm f(x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa lồi trong khoảng đó, điều kiện cần và đủ là tồn tại hàm số h0(x) liên tục và lồi trong
0,b 2 i
sao cho
f(x) =
h0(x), khi x∈ 0,b
2 i
h1(x), khi x∈b 2, b
, trong đó
h1(x)⩾2hb 2
−h(b−x), ∀x∈b 2, b
.
Tương tự, ta có cách xây dựng hàm tựa lõm trên một khoảng cho trước.
Hệ quả 4.4. Để hàm f(x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa lõm trong khoảng đó, điều kiện cần và đủ là tồn tại hàm số h0(x) liên tục và lõm trong
0,b 2 i
sao cho
f(x) =
h0(x), khi x∈ 0,b
2 i
h1(x), khi x∈b 2, b
, trong đó
h1(x)⩽2hb 2
−h(b−x), ∀x∈b 2, b
.