Chương 2: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO
2.5. Điều khiển dự báo cho hệ MIMO
Trong phần trước, để đơn giản cho việc minh họa hệ thống điều khiển dự báo, ta thiết kế dự trên hệ thống một đầu vào và một đầu ra. Phương pháp thiết kế đó có thể thực sự đƣợc mở rộng cho hệ thống nhiều đầu vào và nhiều đầu ra mà không cần quá nhiều sự bổ xung, bởi vì nó vẫn được biểu diễn dưới dạng phương trình trạng thái.
2.5.1. Dạng tổng quát của mô hình
Giả thiết đối tƣợng có m đầu vào, q đầu ra và n1 trạng thái. Ta cũng giả thiết rằng số đầu ra ít hơn hoặc bằng số đầu vào (q ≤ m). Nếu số đầu ra lớn hơn số đầu vào, ta không thể điều khiển đƣợc mỗi một đầu ra đo đƣợc một cách độc lập với sai lệch
trạng thái ổn định điểm không. Ở dạng tổng quát của vấn đề điều khiển dự báo, ta cũng có thể đƣa tín hiệu ồn và tín hiệu nhiễu vào để giải quyết.
xm(k +1)= Amxm(k)+ Bmu(k)+ Bdω(k) (1.14)
y(k)= Cmxm (k) (1.15)
Trong đó ω(k) là tín hiệu nhiễu đầu vào, giả thiết là chuỗi tích phân nhiễu ồn trắng.
Điều đó có nghĩa là đầu vào nhiễu ω(k) có giá trị trung bình bằng không, chuỗi ồn trắng (k) có phương trình sai phân
ω(k) − ω(k − 1) = ϵ (k) (1.16)
Từ (1.14), ta có một phương trình khác như sau:
xm(k )= Amxm(k-1)+ Bmu(k-1)+ Bdω(k-1) (1.17) Đặt Δxm(k)= xm (k)−xm (k −1)
và Δu(k)= u(k)−u(k −1)
sau đó trừ (1.14) cho (1.17) dẫn tới:
Δxm(k +1)= AmΔxm (k)+ BmΔu(k)+ Bdϵ (k) Theo mối quan hệ giữa đầu ra y(k) và biến trạng thái Δxm(k), suy ra
Δy(k +1)= CmΔxm (k +1)= CmAmΔxm (k)+ CmBmΔu(k)+ CmBd ϵ (k) Trong đó Δy(k +1)= y(k +1) − y(k).
Chọn véc tơ biến trạng thái mới x(k)=[Δxm(k)T y(k)T ]T , ta có:
[ ]
⏞
[⏞ ]
[ ]
⏞
[⏞ ]
[⏞ ] ϵ
⏞ [
] (1.18)
Trong đó Iq×q là ma trận đơn vị với kích thước q×q, với q là số đầu ra; và 0m là ma trận không có kích thước q × n1. Trong (1.18), Am, Bm, Cm lần lượt có kích thước ma trận là n1 × n1, n1 × m và q × n1.
Để đơn giản hóa, ta biểu diễn (1.18) dưới dạng như sau:
x(k +1)= Ax(k)+ BΔu(k)+ Bϵϵ (k)
y(k)= Cx(k) (1.19)
Trong đó A, B và C là các ma trận tương ứng với dạng được đưa ra trong (1.18).
Theo đó, kích thước của biến trạng thái mở rộng là n (n= n1+q).
Có hai điểm cần làm rõ ở đây. Điểm thứ nhất liên quan đến giá trị riêng của mô hình thiết kế mở rộng. Điểm thứ hai liên quan đến thực thi của mô hình không gian trạng thái. Cả hai điểm đó sẽ giúp ta hiểu đƣợc mô hình.
2.5.2. Giá trị riêng của mô hình mở rộng
Phương trình đặc trưng dạng đa thức của mô hình mở rộng là:
[
]
Nhƣ vậy thay bằng việc xác định thuộc tính của định thức của ma trận dạng tam giác ở phần thấp, ta xác định thuộc tính của ma trận đường chéo. Vì vậy, giá trị riêng của mô hình mở rộng là sự kết hợp giá trị riêng của mô hình đối tƣợng và q giá trị riêng, λ = 1. Điều đó có nghĩa là q thành phần tích phân đã đƣợc đƣa vào mô hình mở rộng, cũng có nghĩa là ta đã sử dụng các tác động tính phân cho hệ thống MPC.
2.5.3. Tính điều khiển đƣợc và quan sát đƣợc của mô hình mở rộng
Bởi vì mô hình đối tƣợng ban đầu đƣợc mở rộng với các bộ tích phân và thiết kế MPC đƣợc thực hiện dựa trên mô hình không gian trạng thái mở rộng, nó rất quan trọng cho việc thiết kế hệ thống điều khiển rằng mô hình mở rộng không trở nên không điều khiển đƣợc và không quan sát đƣợc, đặc biệt là đối với các khâu động học không ổn định của hệ thống. Điều khiển đƣợc là điều kiện tiên quyết cho hệ thống điều khiển dự báo để đạt đƣợc việc thực hiện điều khiển mạch vòng kín nhƣ mong muốn và quan sát đƣợc là điều kiện tiên quyết cho việc thiết kế thành công bộ quan sát. Tuy nhiên, các điều kiện này có thể đƣợc nới lỏng với các yêu cầu về khả năng ổn định được và khả năng phát hiện được nếu chỉ xem xét tính ổn định của mạch vòng kín.(Hệ thống là có khả năng ổn định được nếu ở chế độ không điều khiển được, nếu có, là ổn định. Chế độ điều khiển được của nó có thể ổn định hoặc không ổn định. Hệ thống là có khả năng phát hiện được nếu chế độ không quan sát được, nếu có, là ổn định. Chế độ quan sát được của nó có thể ổn định hoặc không ổn định. Chế độ ổn định ở đây có nghĩa là các giá trị riêng tương ứng nằm hoàn toàn trong vòng tròn đơn vị)
Bởi vì mô hình mở rộng có thêm các thành phần tích phân, ta cần kiểm tra xem ở điều kiện nào các yếu tố đƣợc thêm vào đó có thể điều khiển đƣợc. Cách đơn giản nhất là dựa vào giả thiết về thực thi tối giản. Nó đƣợc phát biểu nhƣ sau (theo Liuping Wang (2009), Model Predictive Control System Design and Implementation Using MATLAB):
Định nghĩa: Một thực thi (realization) của hàm truyền đạt G(z) là bất kỳ một bộ ba không gian trạng thái (A,B,C) mà G(z)= C(zI − A)−1B. Nếu một bộ ba (A,B,C) tồn tại thì G(z) đƣợc gọi là thực hiện đƣợc. Một thực thi (A,B,C) đƣợc gọi là thực thi tối giản của hàm truyền đạt nếu không có kích thước (ma trận) nhỏ hơn với bộ ba đã có.
Một thực thi tối giản có tính chất đặc biệt được phát biểu trong định lý dưới đây:
Định lý 1: Một thực thi tối giản có cả tính điều khiển đƣợc và quan sát đƣợc.
Với thông tin cơ bản này, chúng ta định hướng đưa ra điều kiện mà mô hình mở rộng có cả tính điều khiển đƣợc và quan sát đƣợc thông qua tham số của thực thi tối giản.
Định lý 2: Giả thiết mô hình hệ thống (Am,Bm,Cm) có cả tính chất điều khiển đƣợc, có hàm truyền Gm (z) với thực thi tối giản, trong đó:
Gm (z)= Cm (zI − Am)−1Bm
Khi đó hàm truyền đạt của mô hình mở rộng của thiết kế có dạng:
G(z)= z(z – 1)-1Gm (z)
Và có cả tính chất điều khiển đƣợc và quan sát đƣợc khi và chỉ khi mô hình hệ thống Gm (z) không có điểm không ở z=1.
2.5.4. Giải pháp điều khiển dự báo cho hệ thống MIMO Định nghĩa véc tơ Y và véc tơ ΔU nhƣ sau:
ΔU =[Δu(ki)T Δu(ki +1) T ...Δu(ki + Nc − 1) T]T
Y =[y(ki +1 | ki)T y(ki +2 | ki)T y(ki +3 | ki)T ... y(ki + Np | ki)T ]T
Dựa vào mô hình không gian trạng thái (A,B,C), biến trạng thái tương lai được tính toán tuần tự sử dụng bộ tham số điều khiển trong tương lai
x(ki +1 | ki)= Ax(ki)+ BΔu(ki)+ Bdϵ (ki)
x(ki +2 | ki)= Ax(ki +1 | ki)+ BΔu(ki +1)+ Bdϵ (ki +1| ki) = A2x(ki)+ ABΔu(ki)+ BΔu(ki +1)
+ ABdϵ (ki)+ Bdϵ (ki +1 | ki)
. x(ki + Np | ki)= ANp x(ki)+ ANp−1BΔu(ki)+ ANp−2BΔu(ki +1) + ANp−Nc BΔu(ki + Nc − 1) + ANp−1Bdϵ (ki)
+ ANp−2Bdϵ (ki +1 | ki)+ ... + Bdϵ (ki + Np − 1 | ki) Với giả thiết ϵ (ki) là chuỗi ồn trắng có giá trị trung bình bằng không, giá trị dự báo của ϵ (ki +i| ki) ở lần lấy mẫu tương lai i được giả thiết bằng không. Dự báo biến trạng thái và biến đầu ra được tính toán như là giá trị mong muốn của biến tương ứng, vì vậy, ảnh hưởng của nhiễu đến giá trị dự báo là bằng không. Từ đó ta có:
Y = Fx(ki)+ ΔU Trong đó
[
]
; = [
] Gia số điều khiển tối ƣu bên trong cửa số tối ƣu có dạng:
̅ ̅
Trong đó, có kích thước mNc×mNc và có kích thước mNc×n và ̅ có kích thước bằng với q hàng cuối cùng của . Ma trận trọng số ̅ là ma trận khối với m khối và có kích thước bằng với kích thước của
Tín hiệu điểm làm việc r(ki)=[r1(ki) r2(ki) ... rq(ki)]T nhƣ là q tín hiệu điểm làm việc tới hệ thống nhiều đầu ra.
Ứng dụng nguyên lý điều khiển hồi truy, m hàng đầu tiên của ΔU được lấy dưới dạng gia số điều khiển tối ƣu:
⏞ ̅ ̅
= Kyr(ki) − Kmpcx(ki) (1.20) Trong đó Im và 0m là ma trận đơn vị và ma trận không có kích thước m×m.
Trên đây là những ý tưởng cơ bản về bộ điều khiển dự báo dựa trên mô hình rời rạc thời gian. Trước khi đi sâu hơn vào phương pháp tiếp cận bộ điều khiển dự báo sử dụng hàm Laguerra, dễ dàng tính toán trên máy tính với các đối tƣợng đòi hỏi tầm dự báo lớn, ta đi vào tìm hiểu đối tƣợng điều khiển của luận văn này, đối tƣợng tua bin hơi.