Chương 4: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ MPC SỬ DỤNG HÀM LAGUERRA
4.5. Giải pháp chặn tín hiệu với điều kiện ràng buộc cho hệ SISO
Để giải quyết nhiệm vụ của luận văn này, ta cần xem xét giải quyết bài toán điều khiển MPC với các điều kiện ràng buộc với đối tƣợng tua bin hơi, trong đó công suất đầu vào của tua bin hơi là hữu hạn và khả năng điều chỉnh của van điều khiển là hữu hạn. Giải pháp chặn tín hiệu trong phương pháp tiếp cận bộ điều khiển MPC dùng hàm Laguerra đƣợc trình bày nhƣ sau.
Phương pháp tiếp cận quy hoạch bậc hai chắc chắn cần thiết cho hệ MIMO, nhưng nó cũng là cách hiệu quả để nhận dạng các điều kiện ràng buộc có tác động khi có nhiều tương tác giữa các biến với nhau. Với hệ SISO, các biến số bị giới hạn là tín hiệu điều khiển u(k), sai lệch điều khiển Δu(k) và tín hiệu đầu ra y(k). Nó có thể tìm ra giải pháp phân tích các vấn đề điều khiển ràng buộc. Cũng vậy, vai trò của bộ quan sát có thể đƣợc loại bỏ để đơn giản việc thiết kế. Trong cách tiếp cận MPC truyền thống, các điều khiển ràng buộc đƣợc giới thiệu là các biến số trong cửa sổ tối ƣu. Nhƣ một kết quả, một số điều kiện ràng buộc phát sinh nhanh thậm chí với hệ SISO. Đương nhiên với sự hiện diện của một số lượng lớn các điều kiện ràng buộc, quy hoạch bậc hai là cách hiệu quả để sắp xếp các tác động của điều kiện ràng buộc, ta quay lại với nguyên lý điều khiển hồi truy, dù là bộ điều khiển tối ƣu đƣợc tìm thấy cho toàn bộ quỹ đạo bên trong cửa sổ tối ƣu, nhƣng chỉ hàng đầu tiên của quỹ đạo đƣợc lựa chọn. Vì vậy, nếu lần lấy mẫu đầu tiên của điều kiện ràng buộc là điều kiện ràng buộc tác động, dựa theo Δu hoặc u thì giải pháp tối ƣu dựa vào điều kiện ràng buộc tác động và trở thành một điều kiện ràng buộc dạng đẳng thức và phần còn lại của điều kiện ràng buộc sẽ không ảnh hưởng đến giải pháp tối ưu. Phần còn lại của điều kiện ràng buộc ảnh hưởng đến quỹ đạo tối ưu nếu nó tác động và lần lấy mẫu đầu tiên của điều kiện ràng buộc là không tác động. Từ quan điểm đó, chỉ có thể gắn điều kiện ràng buộc cho lần lấy mẫu đầu tiên của các biến trong của
sổ tối ƣu. Phần còn lại của điều kiện ràng buộc đƣợc loại bỏ với giả thiết nó không tác động hoặc các ảnh hưởng nhỏ đến điều khiển mạch vòng kín. Dựa vào cơ sở lý luận đó, ta có 6 điều kiện ràng buộc cho hệ SISO, với giới hạn trên và dưới của biến điều khiển, sai lệch điều khiển và biến số đầu ra. Giải pháp cho mạch vòng kín có 9 trường hợp cần thảo luận.
Giải pháp chặn tín hiệu với ràng buộc vi sai của biến điều khiển
Giả sử điều kiện ràng buộc Δumin ≤ Δu(k) ≤ Δumax. Ở lần lấy mẫu thứ ki, biến trạng thái x(ki) xác định và cũng chứa thông tin điểm đặt cho việc đơn giản hóa và tối thiểu hóa hàm chi phí
J = ηT Ωη +2ηT Ψx( )
chịu sự ràng buộc Δu(ki)(= L(0)T η) dẫn tới 3 tình huống có thể xảy ra:
1. η = −Ω−1Ψx(ki), nếu Δumin < L(0)T η<Δumax Giải pháp tối ƣu là giải pháp tối ƣu tổng thể, tối thiểu hóa hàm chi phí bậc hai J.
2. Nếu L(0)T η ≤ Δumin, trong đó η = −Ω−1Ψx(ki), khi đó giải pháp tối ƣu ràng buộc η dẫn đến Δu(ki)= Δumin. Bởi vì điều kiện ràng buộc tác động và giải pháp tối ƣu thỏa mãn bất phương trình, nên thay cho việc tìm η, ta lấy trực tiếp Δu(ki)= Δumin như một giải pháp tối ƣu.
3. Tương tự, khi L(0)T η ≥ Δumax với η = −Ω−1Ψx(ki), điều kiện ràng buộc tác động, giải pháp tối ƣu η dẫn đến Δu(ki)= Δumax.
Sau khi tìm đƣợc Δu(ki), điều khiển tối ƣu vẫn là u(ki)= u(ki − 1) + Δu(ki).
Giải pháp chặn tín hiệu với ràng buộc biến điều khiển
Giả sử điều kiện ràng buộc của biến điều khiển umin ≤ u(k) ≤ umax. Ở thời điểm lấy
1. η = −Ω−1Ψx(ki) nếu umin <u(ki − 1) + L(0)T η<umax, có thể nói rằng nếu giải pháp tối ƣu tổng thể thỏa mãn điều kiện ràng buộc thì giải pháp tối ƣu là giải pháp tối ƣu tổng thể.
2. Nếu u(ki − 1) + L(0)T η ≤ umin, trong đó η = −Ω−1Ψx(ki), thì u(ki)= umin, từ đó ta có Δu(ki)= umin − u(ki − 1).
3. Tương tự, nếu u(ki − 1) + L(0)T η ≥ umax, trong đó η = −Ω−1Ψx(ki), thì u(ki)= umax và Δu(ki)= umax − u(ki − 1).
Thông tin về Δu(ki) được tính toán sử dụng trong trường hợp này rất quan trọng, bởi vì nó đƣợc cập nhật trong việc thực hiện của bộ điều khiển nhƣ là biến phản hồi.
Giải pháp chặn tín hiệu với điều kiện ràng buộc đầu ra
Giả sử bộ điều khiển dự báo đƣợc thiết kế sử dụng mô hình trạng thái với ma trận (A, B, C) và điều kiện ràng buộc đầu ra ymin ≤ y(k) ≤ ymax. Ở thời gian lấy mẫu ki, dự báo của x(ki +1 | ki) đƣợc mô tả theo quan hệ
x(ki +1 | ki)= Ax(ki)+ B L(0)T η và dự báo trạng thái đầu ra đƣợc mô tả
y(ki +1 | ki)= CAx(ki)+ CBL(0)T η Có ba tình huống xảy ra cho trường hợp này
1. Ở thời điểm lấy mẫu ki với thông tin của đối tƣợng x(ki), nếu ymin <CAx(ki)+
CBL(0)T η<ymax, trong đó η = −Ω−1Ψx(ki). Khi đó giải pháp tối ƣu là giải pháp tối ƣu tổng thế.
2. Nếu điều kiện ràng buộc xảy ra ở giới hạn dưới thì
−CB L(0)T η ≤−ymin + CAx(k)
Đặt Mact = −CB L(0)T, hệ số nhân Lagrange λact đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
λact = −(MactΩ−1MTact)−1(−ymin +CAx(ki)+MactΩ−1Ψx(ki))
Dựa vào biểu thức này, giải pháp tối ƣu cho véc tơ tham số đƣợc viết nhƣ sau:
η = −Ω−1(Ψx(ki)+MTactλact)
3. Tương tự, nếu điều kiện ràng buộc xảy ra ở giới hạn trên khi η =−Ω−1Ψx(ki), khi đó giải pháp tối ƣu ràng buộc η là tối thiểu hóa hàm chi phí J và thỏa mãn bất đẳng thức
CBL(0)T η ≤ ymax − CAx(ki)
Trong trường hợp này Mact = CB L(0)T , hệ số nhân Lagrange λact được biểu diễn nhƣ sau:
λact = −(MactΩ−1MTact)−1(ymax − CAx(ki)+MactΩ−1Ψx(ki)) giải pháp tối ƣu cho η nhƣ sau:
η = −Ω−1(Ψx(ki)+MTactλact) Thứ bậc của điều kiện ràng buộc
Phải khẳng định rằng, ở thời điểm lấy mẫu ki và biến trạng thái x(ki), giải pháp tối ưu có ràng buộc η tồn tại dưới điều kiện chỉ một điều kiện ràng buộc tác động. Việc quan sát đó dựa vào thực tế rằng ba kiểu điều kiện ràng buộc trên là độc lập với nhau. Ví dụ, Mact = ± L(0)T với điều kiện ràng buộc Δu; Mact = ± L(0)T Δt với điều kiện ràng buộc u, và Mact = ±CB L(0)T cho điều kiện ràng buộc y. Vì vậy, khi đặt chúng cạnh nhau, yếu tố quyết định (MactΩ−1MTact) bằng không và không có giải pháp cho λact. Điều này dẫn đến việc xếp hạng thứ bậc của điều kiện ràng buộc mà
điều kiện ràng buộc quan trọng nhất sẽ đƣợc thỏa mãn, điều kiện ràng buộc ít quan trọng sẽ đƣợc bị để lại.
Điều kiện ràng buộc quan trọng nhất sẽ kết hợp với tín hiệu điều khiển, có thể là cường độ của tín hiệu điều khiển hoặc sai lệch tín hiệu điều khiển. Điều kiện ràng buộc ít quan trọng hơn là ràng buộc đầu ra, bởi vì hiệu quả của kiểu ràng buộc này phụ thuộc vào sự tồn tại của mô hình chính xác cho dự báo.
Sau khi sắp xếp thứ bậc của điều kiện ràng buộc, với điều kiện ràng buộc quan trọng nhất là cường độ của tín hiệu điều khiển, điều kiện ràng buộc ít quan trọng hơn là sai lệch tín hiệu điều khiển và điều kiện ràng buộc ít quan trọng nhất là đầu ra, thực hiện việc xem xét điều kiện ràng buộc nhƣ sau:
1. Điều kiện ràng buộc ít quan trọng nhất xảy ra , ta đạt đƣợc η thỏa mãn điều kiện ràng buộc của y.
2. Kiểm tra η có thỏa mãn điều kiện ràng buộc Δu không, nếu không Δu sẽ đƣợc hiệu chỉnh để thỏa mãn điều kiện ràng buộc của Δu. Với Δu mới, ta cần kiểm tra có thỏa mãn điều kiện ràng buộc của u không, nếu không, ta cần hiệu chỉnh để thỏa mãn điều kiện ràng buộc u.