BG TCC chuong 1 2 3 1

với: ??? là phần phụ đại số của phần tử ??? trong m.trận A.VD: K/sát tinh khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo nếu có của... * T/c 11 là đ.k cần và đủ cho tính khả nghịch của một m.trận

Group Fb: TCC.S2.KÌ 3.21

Chương 1 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC1.1 MA TRẬN

1.1.1 Các k.n:

- Một ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 là một bảng gồm m.n số được viết thành m hàng, n cột trong ngoặc: ( ), hoặc ngoặc: [ ] như sau:

- M.trận cột: chỉ có 1 cột; m.trận hàng: chỉ có 1 hàng

- M.trận bậc thang là m.trận thỏa 2 đ/k:

a Hàng không (gồm toàn số 0), nếu có, phải nằm dưới mọi hàng khác

không.

b Với 2 hàng khác không bất kì kề nhau: p.tử khác 0 đầu tiên của hàng

trên phải nằm về bên trái cột chứa p.tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới A=

- M.trận tam giác trên (dưới): là m.trận vuông có mọi p.tử nằm phía dưới (trên) đường chéo đều bằng 0.

- M.trận tam giác trên hoặc dưới đều gọi là m.trận tam giác.

- M.trận vừa là tam giác trên, vừa là tam giác dưới gọi là m.trận đường chéo.

- M.trận đơn vị cấp n ( 𝐼𝑛 ℎ𝑜ặ𝑐 𝐸𝑛): là m.trận đường chéo cấp n có các p.tử đường chéo đều bằng 1

A nhân tương ứng với cột j của B rồi cộng lại.

M.trận vuông A được gọi là khả nghịch, nếu tồn tại m.trận vuông B

cùng cấp, sao cho: A.B = B.A = I (m.trận đơn vị cùng cấp) (4)

Khi đó gọi B là m.trận nghịch đảo của A, kí hiệu: 𝐵 = 𝐴−1

Vd 2: Khảo sát tính khả nghịch của A và tìm 𝐴−1, nếu A khả nghịch, với: 𝐴 = 1 −2

0 −1Giải: 𝐴 khả nghịch tức là có B = x y

z t sao cho: A.B = B.A = I,

Các tính chất:

T/c 1: Phép cộng có t/c g.hoán, kết hợp, A + (-A) = 0; A + 0 = AT/c 2: Với hai m.trận A, B, hai số thực a, b thì:

a.(A + B) = a.A + a.B; (a + b).A = a.A + b.AT/c 3: 𝑎 𝐴 𝑇 = 𝑎 𝐴𝑇; 𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇;

𝐴 𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇.𝐴𝑇; 𝐴𝑇 𝑇 = 𝐴T/c 4: 0 𝐴 = 𝒪; 𝐴 𝒪 = 𝒪; 𝒪 𝐴 = 𝒪; 1 𝐴 = 𝐴; −1 𝐴 = −𝐴;

𝐴𝑚×𝑛 𝐼𝑛 = 𝐴𝑚×𝑛; 𝐼𝑚 𝐴𝑚×𝑛 = 𝐴𝑚×𝑛

T/c 5: 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐶 + 𝐵 𝐶; 𝐶 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 𝐴 + 𝐶 𝐵

T/c 6: Nếu A, B là các m.trận vuông cùng cấp, khả nghịch thì A.B cũng khả nghịch và: 𝐴 𝐵 −1 = 𝐵−1 𝐴−1

1.2 Định thức của m.trận vuông: Đ.thức của m.trận vuông A là

số, kí hiệu: det(A) hoặc: 𝐴

1.2.1 Đ.thức của m.trận vuông cấp 2, cấp 3:

a Cho: 𝐴 = 𝑎𝑎11 𝑎12

21 𝑎22 : 𝐝𝐞𝐭 𝐴 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12 (5)

VD: Tính det(A), với: A =

c Cho: A = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛: Từ A bỏ đi (n – r) hàng và (n – r) cột, được một

m.trận vuông cấp r, gọi là m.trận vuông con cấp r của A Kí hiệu 𝑀𝑖𝑗

là m.trận cấp (n – 1), thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng i và cột j Khi đó gọi: 𝐴𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 𝑑𝑒𝑡(𝑀𝑖𝑗) là phần phụ đại số của p.tử 𝑎𝑖𝑗trong m.trận A Ta đ.nghĩa:

𝑎1𝑗 𝐴1𝑘+ 𝑎2𝑗 𝐴2𝑘+ + 𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑘 = 0, ∀𝑘 ≠ 𝑗 (7e)

T/c 2: Nếu A có 1 hàng 0 (cột 0) thì: 𝐝𝐞𝐭 𝐴 = 𝟎

T/c 3: 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑻 = 𝐝𝐞𝐭(𝑨)

T/c 4: Nếu đổi chỗ 2 hàng (2 cột) của m.trận thì định thức chỉ đổi

dấu Đặc biệt nếu A có 2 hàng (2 cột) giống nhau thì 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝟎.

T/c 5: Nếu nhân 1 hàng (cột) của A với số a thì định thức được

nhân lên với a Đặc biệt: 𝒅𝒆𝒕 𝜶 𝑨 = 𝜶𝒏 𝐝𝐞𝐭 𝑨

T/c 6: Nếu A có 2 hàng (2 cột) tương ứng tỉ lệ thì: 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝟎

T/c 7: Nếu A có 1 hàng (1 cột) mà mỗi phần tử là tổng của 2 số

hạng thì: 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝒅𝒆𝒕 𝑨𝟏 + 𝒅𝒆𝒕 𝑨𝟐 , ( 𝑨𝟏và 𝑨𝟐 là các m.trận thu được từ A bằng cách giữ nguyên các hàng (cột) khác, còn hàng (cột) nói trên chỉ giữ lại số hạng thứ nhất và thứ 2 tương ứng).

với: 𝐴𝑖𝑗 là phần phụ đại số của phần tử 𝑎𝑖𝑗 trong m.trận A.

VD: K/sát tinh khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của

Chú ý: Với m.trận vuông A cấp n Kí hiệu 𝛿 là đ.thức của m.trận vuông

con cấp k, nằm trên k hàng: 𝑖1,𝑖2, ,𝑖𝑘 và k cột: 𝑗1,𝑗2, ,𝑗𝑘; kí hiệu 𝛽 là đ.thức của m.trận vuông con cấp (n – k) từ A bằng cách bỏ đi k hàng, k cột nói trên, gọi là định thức con bù của đ.thức 𝛿 Khi đó đại lượng:

∆= (−1)𝑖1 + 𝑖2+ ⋯+𝑖𝑘+𝑗1+ 𝑗2+ ⋯+𝑗𝑘 𝛽 được gọi là phần bù đại số của định thức 𝛿.

𝛿6 = 0 3

1 0 = −3; 𝛽6 =

1 0

2 3 = 3, ∆6= −3det 𝐴 = 𝛿1 ∆1 + 𝛿2 ∆2 + 𝛿3 ∆3 + 𝛿4 ∆4 + 𝛿5 𝛽5 + 𝛿6 ∆6= −8

NX: * Các t/c trên giúp cho việc tính đ.thức đơn giản hơn.

* T/c 11 là đ.k cần và đủ cho tính khả nghịch của một m.trận vàc.thức tìm m.trận nghịch đảo theo các phần phụ đại số

* Nếu A có các dạng: 𝑩ȁ 𝓞𝑪ȁ𝑫 , 𝑩ȁ 𝑪𝓞ȁ𝑫 , thì: det(A) = det(B).det(D)

* Nếu A có các dạng: 𝓞ȁ𝑩𝑫ȁ𝑪 , 𝑪ȁ𝑫𝑩ȁ𝓞 , ta vẫn chọn khai triển theo cáchàng chứa B (B, D là các m.trận vuông, 𝓞 là m.trận không)

Vd:

1.3 Hạng của m.trận

1.3.1 Đ/n: Cho m.trận A = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 Hạng của A là số, kí hiệu: r(A),

là cấp cao nhất của các m.trận vuông con có đ.thức khác 0 của A

1.3.3 Tìm hạng của m.trận

a Đ.lí:

1/ Các phép biến đổi sau (gọi là các phép biến đổi sơ cấp) không làm

thay đổi hạng của m.trận:

a Đổi chỗ 2 hàng (2 cột)

b Nhân 1 hàng (1 cột) với thừa số 𝛼 ≠ 0.

c Nhân 1 hàng (1 cột) với thừa số 𝜆 bất kì rồi cộng vào 1 hàng (1 cột)

khác.

2/ M.trận bậc thang có hạng bằng số hàng khác không của nó.

3/ Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận.

b Tìm hạng của m.trận: Dùng các phép b.đổi trên, đưa A về dạng bậc

Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Các k/n và t/c nghiệm:

Khi v.phải (1) không đồng thời bằng 0 thì hệ (1) gọi là hệ không thuầnnhất Hệ p.trình sau gọi là hệ thuần nhất ứng với hệ (1):

Gọi A là m.trận của hệ (1) hoặc (2); b là m.trận cột v.phải, x là m.trận

các ẩn số Ma trận A ghép thêm cột b vào bên phải, kí hiệu là ഥ𝑨 và gọi

là m.trận mở rộng của hệ không th.nhất (1) hay (1a)

Khi đó:

(1) có dạng ma trận: 𝑨 𝒙𝑻 = 𝒃, (1𝑎)

(2) có dạng ma trận: 𝑨 𝒙𝑻 = 𝟎, (2a)

2.1.2 T/c nghiệm:

T/c 1: Hệ th.nhất (2) hay (2a) luôn có nghiệm: 𝑥 = 𝒪 = 0,0, … , 0

(gọi là nghiệm tầm thường) Ngoài ra: nếu 𝑥, 𝑥′ là các nghiệm của (2) hay (2a) thì: y =t 𝑥 + 𝑠 𝑥′ cũng là nghiệm của (2) hay (2a)

T/c 2: Nếu x là một nghiệm của hệ th.nhất (2) hay (2a), y là một

nghiệm của (1) hay (1a) thì: z = x + y cũng là nghiệm của (1) hay (1a)

(𝑨𝒋 là m.trận thu được từ A bằng cách thay cột j bởi cột tự do b).

b3 P.Pháp khử Gauss: Dùng các phép biến đổi tương đương: Đổi chỗ 2

p.tr; Nhân 2 vế 1 p.tr với cùng thừa số 𝛼 ≠ 0; Nhân 2 vế một p.tr với cùng thừa số 𝜆 bất kì rồi cộng vào 1 pt khác, để đưa về hệ mới có m.tr

là tam giác Từ đó giải từ p.tr đơn giản nhất, thế ngược lên.

Lưu ý: - Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất

- Đ/v p.pháp khử, để đơn giản, nên tr.bày qua sơ đồ các phép

biến đổi tương ứng trên các hàng của m.trận ghép: ഥ𝑨 = 𝑨 𝒃

Vd 1: Giải hệ p.trình: ቐ

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 82𝑥 + 𝑦 + 7𝑧 = 21

a/ Nếu 𝒓 𝑨 = 𝒓 𝑨∗ < 𝒓 ഥ𝑨 = 𝒓 ഥ𝑨∗ , tức là có một hàng kháckhông của ഥ𝑨∗ chứa 1 hàng không của 𝑨∗, thì hệ vô nghiệm

b/ Nếu 𝒓 𝑨 = 𝒓 ഥ𝑨 = 𝒏, thì hệ có nghiệm duy nhất (hệ Cramer)

c/ Nếu 𝒓 𝐴 = 𝑟 ഥ𝑨 = 𝑟 < 𝑛, tức là ഥ𝑨∗và 𝑨∗ đều có đúng r hàng kháckhông, thì ta giữ nguyên ở vế trái r ẩn trên r cột chứa r phần tử khác 0 đầu tiên của r hàng này (r ẩn này gọi là r ẩn phụ thuộc); chuyển (n – r)

ẩn còn lại sang vế phải, các ẩn này nhận giá trị tùy ý (nên gọi là các ẩn

tự do) Ta nhận được hệ Cramer (của r ẩn phụ thuộc), giải theo (n – r)

ẩn tự do Lúc này hệ có vô số nghiệm (do các ẩn tự do lấy g.trị tùy ý)

b/

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑢 = 12𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑢 = 2

𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2𝑢 = 32𝑥 − 𝑦 + 𝑢 = 5

Vd 3: Tìm đ/k tham số m để hệ p.trình sau có nghiệm duy nhất:

ቐ

𝑥 + 𝑦 + 1 − 𝑚 𝑧 = 𝑚 + 2

1 + 𝑚 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 02𝑥 − 𝑚𝑦 + 3𝑧 = 𝑚 + 2

Đ.lí 1: Xét hệ p.trình: 𝑨 𝒙𝑻 = 𝒃 (𝒗ớ𝒊 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 𝒎×𝒏) Khi đó:

a Nếu 𝒓 𝑨 < 𝒓 ഥ𝑨 , thì hệ vô nghiệm

b Nếu 𝒓 𝑨 = 𝒓 ഥ𝑨 = 𝒏 (Số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất

c Nếu 𝒓 𝑨 = 𝒓 ഥ𝑨 = 𝒓 < 𝒏, thì hệ có vô số nghiệm, trong đó có (n – r ) ẩn lấy giá trị tùy ý

2.3 Thuật toán Gauss-Jordan k/s tính khả nghịch của m.trận

Ứng dụng p.pháp giải hệ p.trình, để k/s và tìm m.trận nghịch đảo

(nếu có) của m.trận vuông: 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 𝒏×𝒏, ta thực hiện các bước:

B1 Dùng các phép b.đổi sơ cấp trên các hàng, đưa m.trận ghép:

𝐴 𝐼 về dạng: 𝐴∗ 𝐵∗ , trong đó 𝐴∗ là m.trận tam giác, khi đó:

• Nếu 𝐴∗ có 1 p.tử đường chéo là 0, thì k.luận A không khả nghịch Kết thúc

• Nếu mọi p.tử đường chéo của 𝐴∗ đều ≠ 0, thì k.luận A khả nghịch

và chuyển sang B2

B2 Dùng b.đổi trên, đưa 𝐴∗ 𝐵∗ về dạng: 𝐼 𝐵 , suy ra: 𝐴−1 = 𝐵

Vd 1: K/s tính khả nghịch và tìm m.trận nghịch đảo (nếu có) của:

−2𝑥 + 2𝑧 + 𝑢 = 3sao cho: 𝑢 + 2𝑧 − 2𝑥 = 4

Vd 4 (Bt): Cho A là m.trận đường chéo Tìm 𝐴𝑘

Chương 3 Không gian véc tơ

3.1 Không gian véc tơ

3.1.1 Đ/n 1: Cho tập X ≠ ∅, trên đó x.định 2 phép toán: phép cộng

hai p.tử của X (kí hiệu: (+)) và phép nhân p.tử của X với một số thực(hoặc phức) (kí hiệu: (.)), thỏa các đ/k sau:

- Nếu phép nhân chỉ thực hiện với số thực thì X gọi là k.gian véc tơthực Nếu phép nhân thực hiện với số phức thì X gọi là k.gian véc tơphức Trong tài liệu này ta chỉ xét k.gian véc tơ thực.

3.1.2 Các ví dụ:

Vd 1: Tập: ℝ𝑛 = 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 : 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ , với phépcộng (+) và phép nhân với số thực:

k.gian véc tơ (véc tơ 0 = 𝒪𝑚×𝑛)

Vd 3: 𝐶[𝑎, 𝑏] là tập tất cả các hàm số liên tục trên [a, b], với phép cộnghai hàm số, phép nhân hàm số với số thực, trở thành một k.gian véc

tơ (véc tơ 0 là hàm đồng nhất = 0 trên [a, b]

Vd 4: 𝑃𝑛[𝑥] là tập tất cả các đa thức của biến x, có bậc không quá n, với phép cộng các h.số, phép nhân h.số với số thực, là k.gian véc tơ

Vd 5: Các tập ℕ, ℤ với phép cộng, phép nhân thông thường không

phải là k.g véc tơ

3.1.3.Nhận xét: Trong k.g véc tơ X:

a Véc tơ không (0) là duy nhất.

b Với mỗi véc tơ x, véc tơ đối (– x ) là duy nhất

c 0 𝑥 = 𝟎 𝑣é𝑐 𝑡ơ 𝟎 ; 𝛼 𝟎 = 𝟎; −1 𝑥 = −𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋

d 𝛼 𝑥 = 𝟎(𝑣é𝑐 𝑡ơ 𝟎) ⇔ ቈ𝛼 = 0𝑥 = 𝟎(𝑣é𝑐 𝑡ơ 𝟎)

3.1.2 Không gian con

a Đ/n 2: Tập con 𝑌 ≠ ∅ của k.g véc tơ X được gọi là một k.g con của

X, nếu với phép cộng véc tơ trên X và phép nhân véc tơ với một sốthì Y cũng là một k.g véc tơ

b Nx: Tập con 𝑌 ≠ ∅ của k.g véc tơ X là một k.g con của X khi và chỉ

khi: ቄ𝒖 + 𝒗 ∈ 𝒀

𝜶 𝒖 ∈ 𝒀 , ∀𝒖, 𝒗 ∈ 𝒀, ∀𝒔ố 𝜶.

c Các vd:

Vd 6: 𝑃𝑛[𝑥] là k.g con của k.g véc tơ 𝐶[𝑎,𝑏]

Vd 7: Tập tất cả các m.trận đường chéo cấp n là k.g con của Μ𝑛×𝑛

Vd 8: 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3: 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 = 𝑑 là k.g con của k.gvéc tơ ℝ3 khi và chỉ khi: d = 0

Lưu ý: Với k.g véc tơ X bất kì đều có các k.g con Y = {0} và Y = X, gọi là

các k.g con tầm thường

3.1.3 Bao tuyến tính

Cho k.g véc tơ X và họ véc tơ: 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} ⊂ X và n số thực

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 Véc tơ 𝑢 = 𝑥1 𝑢1 + 𝑥2 𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑢𝑛 gọi là một tổhợp tuyến tính các véc tơ của S hay của 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛.

Đ.n 1: 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝑆 = { 𝑢 = 𝑥1 𝑢1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑢𝑛: 𝑥𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1, 𝑛}

gọi là bao tuyến tính của S (còn kí hiệu là: < S >), hay tập sinh bởi S.Nếu X = Span(S), ta nói S là một hệ sinh của X

Đ.lí: Span(S) là một k.g con của X và là k.g con nhỏ nhất chứa S

(Vì vậy gọi Span(S) là k.g con sinh bởi S) (==S3+++)

Vd 9: Trong ℝ3, với 𝑆 = {𝑢1 = 0,1,0 , 𝑢2 = (1,0,0)} thì 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝑆 làmặt phẳng qua gốc tọa độ, nhận 𝑢1, 𝑢2 làm các véc tơ chỉ phương

Vd 10: Trong Μ𝑛×𝑛, tìm Span({I})

3.2 Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ

Phần này có các nội dung cơ bản sau: K.n độc lập t.tính, p.thuộct.tính; Cơ sở và số chiều của k.g véc tơ, xác định cơ sở và số chiềucủa k.g hữu hạn chiều

3.2.1 Hệ độc lập t.tính, hệ p.thuộc t.tính

Đ.n1:Cho k.g véc tơ X và hệ véc tơ 𝑆 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚 ⊂ 𝑋 Ta nói:

a 𝑆 là hệ độc lập tuyến tính, nếu tổ hợp tuyến tính:

𝑢 = 𝑥1 𝑢1 + 𝑥2 𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑢𝑚 = 0

khi và chỉ khi: 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑚 = 0

b 𝑆 là hệ phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các số: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚

không đồng thời bằng 0 sao cho:

𝑥1 𝑢1 + 𝑥2 𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑢𝑚 = 0

c 𝑆 là hệ độc lập tuyến tính cực đại trong X, nếu 𝑆 là hệ độc lập

tuyến tính và: ∀𝑥 ∈ 𝑋, ℎệ {𝑆, 𝑥} phụ thuộc tuyến tính.

Vd 1: Trong ℝ3, xét hệ: 𝑆 = {

}

𝑢1 = 1,1,0 , 𝑢2 = 𝑚 − 1,1,0 , 𝑢3 =(𝑚, −1, 𝑚 + 1)

Tìm đ/k của tham số m để hệ S phụ thuộc tuyến tính

Vd 2: Trong ℝ𝑛, hệ sau đây là độc lập tuyến tính cực đại:

b Mọi hệ có chứa véc tơ 0 đều là hệ p.thuộc t.tính

c Mọi hệ con của hệ độc lập t.tính đều độc lập t.tính

d Nếu S chứa một hệ phụ thuộc t.tính thì S là hệ p.thuộc t.tính.

Đlí 2: (Bổ đề cơ bản) Trong k.g véc tơ X, nếu hệ 𝑆 =

𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚 gồm các véc tơ là các tổ hợp t.tính của các véc tơ: 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 , với m > k thì S là hệ p.thuộc t.tính.

Vd 4: Trong ℝ2, hệ 3 véc tơ: u1 = 1, 1 , u2 = 2, 1 , u3 = 0, 1

là hệ p.thuộc t.tính

3.2.2 Cơ sở và số chiều của k.g véc tơ

Đlí 3: Giả sử S và B là các hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại trong

k.g véc tơ X Khi đó:

a Nếu S gồm m véc tơ thì B cũng bao gồm m véc tơ.

b Nếu S có vô số véc tơ thì B cũng có vô số véc tơ.

Đ.n 2 : Giả sử S là hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong k.g véc tơ X Khi

đó ta nói S là một cơ sở của X, nếu X = span (S), tức là mọi véc tơ của

X đều có biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các véc

tơ của S Khi đó: nếu S gồm một số hữu hạn véc tơ thì ta nói X là k.g

hữu hạn chiều; nếu S có vô số véc tơ thì nói X là k.g vô hạn chiều

NX: * Nếu S là một cơ sở của k.g véc tơ X thì S là hệ độc lập t.tính

cực đại trong X Do đó, theo đ.lí 3, mọi cơ sở của một k.g véc tơ hoặc

là có vô số véc tơ, hoặc có số lượng véc tơ bằng nhau

* Trong k.g hữu hạn chiều: Một hệ véc tơ là một cơ sở khi và chỉkhi nó là hệ độc lập tuyến tính cực đại

G.sử S là một cơ sở của X Số chiều của X, kí hiệu 𝑑𝑖𝑚𝑋, x.định bởi:

𝑑𝑖𝑚𝑋 = ቊ 𝑛, 𝑛ế𝑢 𝑆 𝑔ồ𝑚 𝑛 𝑣é𝑐 𝑡ơ,

+∞, 𝑛ế𝑢 𝑆 𝑐ó 𝑣ô 𝑠ố 𝑣é𝑐 𝑡ơ

gọi là cơ sở chính tắc của ℝ𝑛, và do đó: dim ℝ𝑛 = n.

Vd 6: 𝑃𝑛[𝑥], hệ sau đây là một cơ sở: Φ = 𝜑0, 𝜑1, … , 𝜑𝑛 , 𝑣ớ𝑖:

𝜑0 𝑥 = 1, 𝜑1 𝑥 = 𝑥, … , 𝜑𝑛 𝑥 = 𝑥𝑛, ∀𝑥 ∈ ℝ gọi là cơ sở chính tắc của 𝑃𝑛[𝑥], và do đó: dim 𝑃𝑛[𝑥]= n + 1.

Vd 7: Vì: ∀𝑛, 𝑃𝑛[𝑥] ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏], nên 𝐶[𝑎,𝑏] là k.g vô hạn chiều.

Vd 8: Trong Μ𝑚×𝑛, hệ véc tơ sau đây là một cơ sở: Φ = ቊ

Vd 9: Xét 𝑌 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 Khi đó: Y là k.g con 2 chiều của ℝ3, có một cơ sở là: 𝑆 = 𝑢1 = 1,0,1 , 𝑢2 = (0,1,1)

Vd 10: Tập hợp các ma trận chéo cấp n là một k.g con của Μ𝑛×𝑛, có số chiều là n, với cơ sở: 𝑆 = {𝜑𝑘𝑘: 𝑘 = 1, 𝑛}

3.3 Không gian véc tơ hữu hạn chiều

Giả sử X là k.g véc tơ hữu hạn chiều, dim(X) = n

3.3.1 Các tính chất chung

Đlí 1: Trong k.g véc tơ n chiều:

a Mọi hệ gồm nhiều hơn n véc tơ đều là hệ phụ thuộc t.tính,

b Bất kì hệ nào gồm ít hơn n véc tơ đều không phải là tập sinh củak.gian,

c Mọi hệ n véc tơ độc lập t.tính đều là cơ sở hay đều là tập sinh củak.gian,

NX: Trong k.g véc tơ n chiều:

a Số chiều (dim(X)) là số tối đại các véc tơ độc lập t.tính,

b Số chiều là số tối thiểu các véc tơ của tập sinh,

c Số chiều của mọi k.g con đều không vượt quá n

Đ.lí 2: a Đối với hệ bất kì gồm k véc tơ độc lập tuyến tính, với

k < n, đều có thể bổ sung vào đó thêm (n – k) véc tơ để hệtrở thành một cơ sở của X

b Nếu 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚} là một tập sinh của X thì 𝑚 ≥ 𝑛 và

S chứa một cơ sở của X

3.3.2 Tọa độ của véc tơ theo cơ sở: Cho k.g véc tơ n chiều X, với

một cơ sở sắp thứ tự: 𝑆 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 Khi đó mọi véc tơ u trong

X đều có biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp t.tính của các véc tơ S:

𝑢 = 𝑥1 𝑢1 + 𝑥2 𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑢𝑛

Ta gọi các số 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 là các tọa đô của véc tơ u trong cơ sở được

sắp thứ tự S Kí hiệu: 𝑢 𝑆 = (𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛): gọi là hàng tọa đô;

𝑢 𝑆 = 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑇: gọi là cột tọa độ của véc tơ u trong cơ sở

được sắp thứ tự S

Nx: * Khi cố định một cơ sở sắp thứ tự: Phép cộng các véc tơ chính

là phép cộng các ma trận hàng (cột) tọa độ, phép nhân véc tơ với

một số chính là phép nhân số đó với ma trận hàng (cột) tọa độ, haivéc tơ bằng nhau khi và chỉ khi các hàng (cột) tọa độ bằng nhau:

Vd: C/m: 𝑆 = {𝑢1 = 1, −1,0 , 𝑢2 = 0, −1,1 , 𝑢3 = (1,0,1)} là một cơ

sở của ℝ3 Tìm 𝑢 𝑆, với u = (2, 3, 4).

Vd: C/m: 𝐵 = {𝑓1: 𝑓1 𝑥 = 1 + 𝑥, 𝑓2: 𝑓2 𝑥 = 1 − 𝑥; 𝑓3: 𝑓3(𝑥) = 𝑥2} là

một cơ sở của 𝑃2[𝑥] Tìm 𝑓 𝐵, với 𝑓 x = 2𝑥2 − 3𝑥 + 5

Vd: C/m hệ U sau đây là một cơ sở của Μ2×2: 𝑈 = ൜

0 4

3.3.3 Hạng của hệ véc tơ

Đ/n: Trong k.g véc tơ X, cho hệ véc tơ: 𝐵 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚}

Hạng của hệ B là số kí hiệu: rank(B), hay r(B), đó là số véc tơ độc lập tuyến tính cực đại trong B.

Vd: Trong ℝ3, tìm rank(B), với:

B = {u = (-1,2,3), v = (-2,4,6), x = (-1,2,3)}

Đ.lí 3: Hạng của ma trận A bằng hạng của hệ véc tơ hàng và

bằng hạng của hệ véc tơ cột của A.