Đường kính EF của đường tròn Cho tam giác ABC có BAC ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M E thuộc cung lớn BC.. Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳn[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
(Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi : 03/6/2017
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 ( 2.0 điểm ) Cho biểu thức :
P
-+ + - - , với x³ 0,x¹ 1. a) Rút gọn biểu thức P .
b) Cho biểu thức
27
Q
+
=
+ - , với x³ 0,x¹ 1,x¹ 4 Chứng minh Q ³ 6
Câu 2 ( 1.0 điểm ) Cho phương trình : x2- 2(m- 1)x m+ 2- 3= ( 0 x là ẩn, m là tham số) Tìm m
để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho 2
x + x + x - mx =
Câu 3 ( 2.0 điểm )
a) Giải phương trình : x+2 7- x =2 x- 1+ - x2+8x- 7 1.+
b) Giải hệ phương trình :
( ) ( )
2
1 3 1 2
ïï
ïïî
Câu 4 ( 3.0 điểm )
Cho tam giác ABC có ¼BAC =600, AC =b AB, =c b c( > Đường kính ) EF của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M ( E thuộc cung lớn BC ) Gọi I và J là chân
đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC Gọi H và K là chân đường vuông
góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC .
a) Chứng minh các tứ giác AIEJ , CMJ E nội tiếp và EA EM =EC EI .
b) Chứng minh I J M, , thẳng hàng và IJ vuông góc với HK .
c) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b c, .
Câu 5 ( 1 điểm ) Chứng minh biểu thức S =n n3( +2)2+(n+1)(n3- 5n+ -1) 2n- 1 chia hết cho
120, với n là số nguyên.
Câu 6 ( 1 điểm )
a) Cho ba số a b c, , thỏa mãn a b c+ + = và 0 a £ 1, b £ 1, c £ 1. Chứng minh rằng
a +b +c £
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T
=
- - với x y, là các số thực lớn hơn 1.
-Hết -Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh:………
Chữ kí giám thị 1:………
Chữ kí giám thị 2:………
Giáo viên đánh đề+ đáp án
Mai Vĩnh Phú trường THCS-THPT Tân Tiến- Bù Đốp - Bình Phước.
( Vùng quê nghèo chưa em nào đậu nổi trường chuyên Toán….)
Trang 2Câu 1
a) Ta có
P
=
-=
=
-=
2
x
b) Với x³ 0,x¹ 1,x¹ 4, ta có
27
Q
+
=
-27 3
x x
+
= +
9 36 3
x x
- +
=
+ 36
3
3
x
x
3
x
x
Dấu “=” xẩy ra khi
36 3
3
x
x
x32 36 x 9
Câu 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi 0 2m 4 0 m2 1
Theo hệ thức Vi-ét:
2
x x m
Mà x12+4x1+2x2- 2mx1=1
( )
m
m
é = + ê
ê = -ë
Từ 1
và 2
suy ra m 2 2
Câu 3
a) Điều kiện 1 x 7
Ta có x+2 7- x =2 x- 1+ - x2+8x- 7 1+
5
4
x x
x
Û êê - = - Û ê =ê
Vậy phương trình có hai nghiệm x4;x5
Trang 3b) Điều kiện 2 2
1
1 0
x
x xy
, kết hợp với phương trình 1
, ta có y 0.
Từ 1
, ta có
2
4 x 1 xy y 4 0 4 x 1 xy y24
16 x 1 x y y 4
y44y x2 216x16 0
Giải phương trình theo ẩn x ta được 2
4
x y
hoặc 2
4 0 4
x y
( loại)
Với
2 2
4
4
y
thế vào phương trình 2
, ta được : x2 3 3 x1 4 Điều kiện x 3, ta có
x x
2
2
4
0
1 1
3 1
x x
x x
1 1
3 1
x x
x x
2 0
x
( vì 2
0
1 1
3 1
x
x x
Với x ta có 2
2 0
y
y y
Kết hợp với điều kiện trên, hệ phương trình có nghiệm 2; 2
Câu 4
K
F
M
H
J
E I
A
B
O N
C
a) Ta có: AIE· =AJ E· =900 nên tứ giác AIEJ nội tiếp.
EMC =EJ C = nên tứ giác CMJ E nội tiếp.
Xét tam giác AEC và IEM, có
ACE EMI ( cùng chắn cung JE của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMJE ).
EAC EIM ( cùng chắn cung JE của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIEJ ).
Trang 4Do đó hai tam giác AEC đồng dạng IEM AE EC EA EM EC EI.
EI EM
(đpcm)
b) Ta có IEM AEC AEI CEM
Mặt khác AEI AJI ( cùng chắn cung IJ ), CEM CJM ( cùng chắn cung CM ) Suy ra
CJM AJI Mà I M, nằm hai phía của đường thẳng AC nên CJM AJI đối đỉnh suy ra I J M, , thẳng hàng
Tương tự, ta chứng minh được H M K, , thẳng hàng
Do tứ giác CFMK nội tiếp nên CFK CMK
Do tứ giác CMJE nội tiếp nên JME JCE
Mặt khác ECF 900 CFK JCE ( vì cùng phụ với ACF ).
Do đó CMK JME JMK EMC 900 hay IJ HK
c) Kẻ BN AC NAC Vì BAC 600 nên ABN 300
2
2 2
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC Xét tam giác đều BCE có 2 2 3 1 2 2
3
BC
R OE EM b c bc
Câu 5
Ta có
S =n n + n + n - n
( 1) ( 1) ( 2) ( 3)
(n 1) (n n 1) (n 2) (n 3)
Ta có S là tích của 5 số nguyên tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5! nên chia hết cho 120.
Câu 6
a) Từ giả thiết a £ 1,b£ 1,c £ , ta có 1 a4£ a b2, 6£ b c2, 8£ c2 Từ đó
a +b +c £ a +b +c
Lại có (a- 1)(b- 1) (c- 1) £ và (0 a+1)(b+1) (c+ ³1) 0 nên
(a+1)(b+1) (c+ -1) (a- 1)(b- 1) (c- 1) ³ 0
2ab 2bc 2ca 2 0 2ab bc ca 2
Hơn nữa a b c+ + = Û0 a2+b2+c2= - (ab bc ca+ + ) £ 2 Vậy a4+b6+c8£ 2
b) Ta có
T
-Do x>1,y>1 nên x- 1 0,> y- 1 0>
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương
,
y- x- , ta có :
1
x
x
Trang 5
-( ) ( )2
1
x
y
-Do đó
8
T
-Dấu “=” xẩy ra khi
1 1
2
1 1
x
y y
ï - = ïï
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =8 khi x= =y 2.
Lưu ý : Học sinh giải theo cách khác đúng khoa học theo yêu cầu bài toán giám khảo cân nhắc cho điểm tối đa của từng phần.