GIAO LUU HSG L9 NGOC LAC

a Chứng minh MC là tiếp tuyến của của O; R b Chứng minh IK song song với AB c Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất?. Tìm giá trị lớn nhất đó..[r]

Môn: TOÁN - Ngày thi /3/2019

Câu 1 (4đ) 1 Cho biểu thức

2 x 16 x 4 2 x 1 M

x 6 x 8 2 x x 4

    với x0;x4;x16 Rút gọn biểu thức M Và tìm x để M=6

2 Gọi a là nghiệm dương của phương trình 2.x2 + x – 1 = 0

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 4 2

2a 3 Q

2(2a 2a 3) 2a





Câu 2 (4điểm)

a) Giải phương trình: x42x32x22x x22x10 2

b) Giải hệ phương trình:

1

1 1

1

x

x y y

x y









Câu 3 (4điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x22y22xy 4x 3y 2 0 ,

2 Xác định tất cả các cặp số (a; b), với a, b là số nguyên dương, sao cho:

a b a b2   chia hết cho ab2 b 7

Câu 4 (6điểm)

Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B) Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là trung điểm của AC Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH tại K

a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của của (O; R) b) Chứng minh IK song song với AB

c) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất?

Tìm giá trị lớn nhất đó

Câu 5(2điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c   3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q a 3b3c3

Hết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH THANH HÓA

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2018-2019 Môn: TOÁN - Ngày thi /3/2019

II Hướng dẫn chi tiết

Câu

1(2đ

)

Cho biểu thức

2 x 16 x 4 2 x 1 M

x 6 x 8 2 x x 4

    với x0;x4;x16

+ Rút gọn biểu thức M

- Ta có

M ( x 2)( x 4) x 2 x 4

2 x 16 ( x 4)( x 4) (2 x 1)( x 2)

( x 2)( x 4)



( x 2)( x 4)



( x 2)( x 1)

( x 2)( x 4)



x 1

x 4





+ Tìm x để M = 6

Ta có:

x 1

x 4



x 1 6( x 4)

x 5

x 25

Câu

2

Câu 2 Giải phương trình,

a) GPT: x42x32x22x x22x10 2 (2,0 điểm)

- Phương trình (x42x3x2) ( x22x1) x22x10 3 0.25đ

Do

2

( 1) 9 3







x x

x

0 5đ

Dấu bằng xẩy ra

2 2

( 1) 9 3









x x

0 5đ

3a) GPT: x22y22xy 4x 3y 2 0 , trong đó x, y là các số nguyên dương (2,0 điểm)

Viết lại pt dưới dạng: x22 (x y 2) 2 y2 3y 2 0 (*) 0.25đ Coi (*) là pt bậc hai ẩn x Pt (*) có nghiệm nên

+) TH1:

3







x

x

Cặp số x = 3; y = 1 thỏa mãn pt ban đầu

0.25đ

2b) Giải hệ :

1

1 1

1

x

x y y

x y









(2,0 điểm)

- Điều kiện:

x y x y  

Từ hệ phương trình suy ra

   

0.25đ

- Hệ phương trình

a

b





 



0 5đ

Cộng vế theo vế của pt (a) và pt (b), ta được:

4x 2 4y 2

0.25đ Trừ vế theo vế của pt (a) cho pt (b), ta được:

(2)

x y   x  y Nhân tương ứng hai vế của (1) và (2):

x y   x  y

0.25đ

4(4 2)(4 2) ( 1)( 4 36 16)

+) TH1: xy Thay vào (a):

1 4y 2 1 y

1

2



   





0.25đ

+) TH2: x9y 5 0 loại do

- Vậy nghiệm của hệ là:

( ; ) ( , );( , )

 

2/ (2điểm)

Xác định tất cả các cặp số (a; b), với a, b là số nguyên dương, sao cho a b a b2  

chia hết cho ab2 b 7

Do (a b a b2   ) (ab2 b 7)

 b a b a b( 2   )- a ab( 2 b 7)(ab2 b 7)

 (b2 7a)(ab2 b 7) Vì b2 7a b 2ab2 b 7nên:

TH1: b2 7a= 0 : chọn a7m b2, 7m , m N *

TH2: b2 7a < 0: do (b2 7a)ab2 b 7 nên 7a b 2 ab2 b 7

 (7  b a b2)  2  b 7 b2  7  b = 1 hoặc b = 2

+ với b = 1: (a2 a 1) (a8)  (a 8)(a 7) 57  a 8  57 a 8

vì a > 0 nên a = 49, a = 11.

+ với b = 2: (2a2 a 2) (4 a9)  8(2a2 a 2) 4  a 9

 (4a 9)(4a 7) 79 4  a 9  79 4  a 9: không thỏa mãn

Vậy (a, b) = (7m2;7 )m , (11;1), (49;1), m N *

0.5đ

0,5đ

0,5đ

0.5đ

Câu

4(6đ

)

Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B) Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là trung điểm của AC Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH tại K

K

M

I

C

A

a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của của (O; R) 1,5 điểm)

Tam giác OAC cân tại O, có OI là đường trung tuyến nên OI là đường trung trực

Xét hai tam giác AMO và CMO có

( )











OA OC

OM chung OAM OCM c c c

MA MC

0.5đ

Vì MAO 900  MCO900 MCCO, hay MC là tiếp tuyến của (O;R) 0.5đ

b) Chứng minh IK song song với AB (2,5 điểm)

Ta có













CH AB

Do ACB900 BCAC BC OM/ /

Xét hai tam giác BCH và OMA có











BCH OMA

MA OA R CBH MOA

0 5đ

0.7 5

Từ (1) và (2) suy ra CH 2KH  K là trung điểm của CH 0.2 5

CAH có:













IC IA

IK

KC KH là đường trung bình của CAH  IK/ /AH  IK/ /AB 0.5đ

c) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất

đó (2,0 điểm)

Chu vi tam giác ABC là (2 )P  AB BC CA  2R(CB CA ) 0.25đ Mặt khác ta có (CB CA )2(CB2CA2)(121 ) 22  AB2 8R2

 CA CB 2 2R

0 5đ 0.25đ Suy ra (2 ) 2P  R2 2R(2 2 2) R

Dấu “=” xảy ra CA CB  C là điểm chính giữa cung AB

0.25đ 0.25đ Vậy: Max(2 ) 2(1P   2)R C là điểm chính giữa cung AB 0 5đ

Câu

5(2đ)

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q a 3b3c3 (2,0 điểm)

Do

, , 0

0 , , 3 3







  



a b c

a b c

Ta có b3c3 (b c )3 3 (bc b c ) (3  a)33(a 3)bc 0.25đ

Do

3 0

1

 







a

b c

0.25đ

K I

C

A

Suy ra

Khi đó

Dấu bằng xẩy ra

3 0

1 0

1 1

1 0

3



   





 







 

 

    



a a

a

a b c

b c

a b c a

a b c

0.25đ

câu 1

ý 2

(2,0đ)

Vì 2.a2 = 1 – a nên 0 < a < 1 và

2

4 1 2a a a

2

 

Từ đó, ta có:

(2a 3) 2(2a 2a 3) 2a Q

2(2a 2a 3) 4a



0,25 đ

(2a 3) 2(2a 2a 3) 2a

2(2a 3)



1 2(2 a) 2a

0,5 đ

2

2 a

a 2



2

Vậy

2 Q

2