Tài liệu Đồ thị phẳng ppt

ĐỒ THỊ PHẲNGĐịnh nghĩa ̈ Đồ thị phẳng ̈ Một đ à thị vô hướng G được gọi là phẳng nếu tồn tại một cách vẽ G trong mặt phẳng sao cho không có hai cạnh nào của G cắt nhau.. ̈ Khi G làmột đ

Trang 1

ĐỒ THỊ PHẲNG

Định nghĩa

̈ Đồ thị phẳng

̈ Một đ à thị vô hướng G được gọi là phẳng nếu tồn tại

một cách vẽ G trong mặt phẳng sao cho không có hai

cạnh nào của G cắt nhau

̈ Khi G làmột đ àthị phẳng thì mỗi cách vẽ G trong mặt

phẳng (sao cho không có hai cạnh nào của G cắt nhau)

được gọi làmột biểu diễn phẳng của G

Trang 2

Lý Thuyết Đồ Thị - Đồ Thị Phẳng - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 3

Định nghĩa

̈ Ghi chú: hai cạnh có chung một đỉnh được qui ư ùc là

không cắt nhau

Không cắt nhau Cắt nhau

Định nghĩa

̈ Vídụ

̈ Đồ thị (G1) là đ à thị phẳng và các đ à thị (G2), (G3) là

các biểu diễn phẳng của (G1)

(G2)

(G3) (G1)

Trang 3

Định nghĩa

̈ (b) Phép biến đ åi đồng phôi

̈ Thêm vào 1 đỉnh nằm trên 1 cạnh, hay gộp 2 cạnh có

chung đỉnh bậc 2 thành 1 cạnh

̈ (c) Đồthị đ àng phôi

̈ Hai đ àthị được gọi làđ àng phôi nếu mỗi đồthị cóđược

từđ àthị kia bằng cách thực hiện một dãy các phép biến

đ åi đồng phôi

̈ Định lý: Nếu G làmột đ àthị phẳng thìta cóthểtm một

đ à thị G1đ àng phôi với G sao cho có thể vẽ G1 bằng

cách chỉdùng các đoạn thẳng

Định nghĩa

̈ Các đ àthị sau đây đ àng phôi:

Trang 4

Các phép rút gọn cơ bản

̈ Tính phẳng của một đ àthị không thay đổi nếu thực hiện

một hay nhiều lần các phép rút gọn sau đây:

̊Bỏđi các khuyên

̊Bỏ bớt các cạnh song song (chỉ giữ lại một cạnh nối

hai đỉnh)

̊Gộp hai cạnh cóchung đỉnh bậc 2 thành một cạnh

Các phép rút gọn cơ bản

Bỏ đỉnh bậc 2 Bỏ cạnh ssong Bỏ đỉnh bậc 2 Bỏ cạnh ssong

Trang 5

̈ Định lý1:

̊Đồ thị đủ K5 không

phẳng

̈ Định lý2:

̊Đồ thị lưỡng phân đ û

K3,3 không phẳng

K5

K3, 3

̈ Nhận xét:

̊Hai đ à thị K5 vàK3,3 là các đồ thị không phẳng đơn

giản nhất với các tính chất sau

̊Nếu xóa đi 1 đỉnh hay 1 cạnh của 2 đồ thị trên thì

chúng ta sẽ cóđược đ àthị phẳng

̊Đồthị K5làđ àthị không phẳng cóít đỉnh nhất

̊Đồthị K3,3làđ àthị không phẳng cóít cạnh nhất

Trang 6

̈ Định lý 3:

̊Điều kiện cần và đ û đ å một đ à thị liên thông G có

tnh phẳng là G không chứa bất kỳ đ à thị con nào

đ àng phôi với K5hay K3,3

1

7 7

6

5 5

4 4

3

2 2

1

6

5

4 3 2

7

6

5

4

2 Đồng

phôi

Vẽ lại Đồ thị

con

Trang 7

Công thức Euler

̈ Định lý: Cho G làđ àthị phẳng, liên thông gồm n đỉnh, e

cạnh GiảsửG chia mặt phẳng ra làm f vùng, ta cócông

thức sau (công thức Euler):

f = e -n + 2

̈ Hệquả: Nếu G làđồthị đơn, phẳng, liên thông, gồm n

đỉnh vàe cạnh (với e > 2) GiảsửG chia mặt phẳng ra

thành f vùng Ta có:

e ≥(3/2)f

e ≤3n -6

Công thức Euler

̈ Ví dụ, áp dụng hệ quả nầy đ å chứng minh tính không

phẳng của K5 K5 làđồthị đơn vàliên thông có v=5 và

e=10, ta cóe=10 > 9=3v-6 do đóK5 không phẳng (chúý

rằng đ ûo lại nếu một đ àthị thỏa mãn e ≤3v –6 thìchưa

chắc làđồthị phẳng, K3,3làmột vídụ)

Trang 8

̈ Sắc số của đồ thị

̊ Một phép tô màu đ àthị làmột cách đ ùnh nhãn cho

mỗi đỉnh của đ àthị bằng một màu sao cho 2 đỉnh kề

nhau phải được đ ùnh nhãn khác nhau

̊ Sắc số của một đ à thị G, ký hiệu γ(G), là một số

nguyên dương k nhỏ nhất sao cho tồn tại một phép

tô màu G chỉsửdụng k màu

̈ γ(G)=4

̈ γ(Kn)=n,∀n∈|N

̈ γ(Km, n)=2, ∀m, n∈|N

X

Đ X

V

T

Trang 9

̈ Một vài tính chất về sắc số

̊Nếu đ àthị G cóchứa ít nhất một cạnh không phải là

khuyên thìγ(G)≥2

̊Đồthị đ ûn đỉnh Kncósắc sốlàn Nếu đ àthị G chứa

một đ àthị con đ úng cấu Krthìγ(G)≥r

̊Nếu đ àthị G làmột chu trình sơ cấp n đỉnh thì

̈γ(G)= 2 nếu n chẳn, γ(G)= 3 nếu n lẻ;

̈γ(G)= (n mod 2) + 2

̈ Định lý1

̊ Nếu T làmột cây n đỉnh với n≥2 thìγ(T)= 2

̈ Định lý2

̊ Cho G làđồthị liên thông cóít nhất 1 cạnh Khi đ ù

γ(G)=2 khi vàchỉkhi G không chứa chu trình sơ cấp

cósốcạnh lẻ

̈ Định lý3

Trang 10

Bài toán sắc số

̈ Lịch sửvềgiảthuyết 4 màu

̈ Khoảng 10/1852, giáo sư De Morgan ởtrường Đại học

Luân Đôn viết thưcho đ àng nghiệp của mình làông Sir

William Hamilton đ åbàn vềbài toán: “Mọi bản đ àđều

có thể tô bằng 4 màu sao cho hai nư ùc nằm kề nhau

phải được tô bằng hai màu khác nhau”

̈ Sau đ ù có nhiều cố gắng của một số nhà toán học đ å

giải bài toán nầy nhưng đ àu không đi đ án kết quảcuối

cùng Đặc biệt có một lời giải bị sai (phải sau 10 năm

mới phát hiện được chỗ không đ ùng trong lời giải),

nhưng lý luận của lời giải nầy đ ùng cho “bài toán 5

màu” Vào năm 1976,

̈ Định lý 5 màu: mọi đ àthị phẳng cóthểtô bằng 5 màu

Trang 11

̈ Liên quan giữa giảthuyết 4 màu vàsắc sốđ àthị phẳng

Tiêu đề	Đồ Thị Phẳng
Trường học	Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Chuyên ngành	Công Nghệ Thông Tin
Thể loại	Tài liệu
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	172,41 KB