Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM , K là hình chiếu vuông góc của M trên BC ; MK cắt AB tại H.. a Chứng minh rằng tứ giác AFKE là hình vuông.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm) Cho
3 1
2 1
Tính
2
P
Câu 2 (3,0 điểm) Cho hai hàm số: 2 3
và y x 2m1 có đồ thị lần lượt là d d1, 2.
Gọi A x y( ;0 0) là giao điểm của d1và d2.
a) Tìm tọa độ điểm A
b) Tìm mnguyên để biểu thức
2
2
T
nhận giá trị nguyên
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: 2x211x21 3 4 3 x 4
2) Giải hệ phương trình sau:
Câu 4 (2,0 điểm) Cho tam giác MNP cân tạiP Gọi H là trung điểm MN, K là hình chiếu vuông góc
của H trên PM Dựng đường thẳng qua P vuông góc với NK và cắt HK tại I Chứng minh rằng I là
trung điểm của HK
Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên tia đối của tia AClấy điểm M sao cho
0 AM AC Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM, K là hình chiếu vuông góc của M trênBC, MK cắt AB tại H GọiE F, lần lượt là trung điểm của CH và BM
a) Chứng minh rằng tứ giác AFKE là hình vuông
b) Chứng minh rằng AK EF OH, , đồng qui
Câu 6 (2,0 điểm) Tìm số nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình x2 y2 100.1102n với n là số
nguyên dương cho trước Chứng minh rằng số nghiệm này không thể là số chính phương
Câu 7 (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc +ca = abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
HẾT
Trang 2-(Giám thị không giải thích gì thêm)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
(Gồm 06 trang)
Câu 1
(3,0 điểm) Cho
3 1
2 1
Tính
2
P
3 1
2 1
3 1 ( 6 2) ( 3 1)
2 1
3 1 2 1 1
2 1
2 2 2 ( 3 1)
2 1
2( 3 1)
Ta có x 3 1 0 (x 3 1)( x 1 3) 0
2
(x 1) 3 0
2
P
1
2x 6
1
2 3 4
2
3 1
3 1
0,5
Câu 2
(3,0 điểm) Cho hai hàm số:
và y x 2m1 có đồ thị lần lượt là
1, 2
d d Gọi A x y( ;0 0) là giao điểm của d1và d2.
a) Tìm tọa độ điểm A
b) Tìm mnguyên để biểu thức
2
2
T
nhận giá trị nguyên
a)
(1,5 điểm)
Tọa độ điểm A là nghiệm hệ:
2 2 3 3 1
m2 1x m3 m x m
Trang 3CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1
b)
(1,5 điểm)
2 2
1
T
T
2
2 2
3
T
m
T
Suy ra:
1
3 à
3 T m T nên T {1; 2; 3}
+) T 1 tìm được m = -1.
+) T = 2 không tìm được m nguyên thỏa mãn.
Câu 3
(4,0 điểm)
1) Giải phương trình: 2x211x21 3 4 3 x 4
2) Giải hệ phương trình sau:
1)
(2,0 điểm) Do
3 4x 4 2 4x 4 4 0 x
2
3
3
x
3
12
3
3
12
x x
Giải (1): Đặt t = 3 4x 4 PT (1) trở thành: 2
12
2 4
x
(2)
+) Với x 3thì 2
12
2 4
suy ra phương trình (2) vô nghiệm 0,25
+) Với x 3
2
2
12
2 4
x
(2) vô nghiệm
Trang 4Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 0,25 2)
(2,0 điểm) Giải hệ:
1 1 2
xy x xy
0,5
0,5 +) Với xy = 1 thay vào (2) ta được:
2
3 3
+) Với
1 2
x
xy
thay vào (2) ta được:
2
1
2 3
1
1 3
x
Vậy hệ có ba nghiệm là:
;3 , ; 2 , ;1
Câu 4
(2,0 điểm)
Cho tam giác MNP cân tạiP Gọi H là trung điểm MN, K là hình chiếu vuông
góc của H trên PM Dựng đường thẳng qua P vuông góc với NK và cắt HK tại I
Chứng minh rằng I là trung điểm của HK
E I
K
H
P
+) Gọi E là trung điểm của MK suy ra HE là đường trung bình của tam giác
+) Từ giả thiết suy ra HKPE (2)
Từ (1) và (2) ta có PI và HK là hai đường cao của tam giác PHE Suy ra I là trực
Lại có MH PH (do tam giác MNP cân tại P) 0,5
Trang 5CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Suy ra EI//MH mà E là trung điểm MK nên I là trung điểm HK (ĐPCM)
Câu 5
(4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên tia đối của tia AClấy điểm M sao
cho0 AM AC Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM, K là
hình chiếu vuông góc của M trênBC; MK cắt AB tại H GọiE F, lần lượt là
trung điểm của CH và BM
a) Chứng minh rằng tứ giác AFKE là hình vuông
b) Chứng minh rằng AK EF OH, , đồng qui
I E
H K
O
F A C
B
M
a)
(2,5 điểm) +) Ta có AE = KE =
1
2HC (1) (do AE, KE là hai đường trung tuyến của hai tam
+) Tương tự có AF = KF =
1
+) Chứng minh được: ΔCHA = ΔBMA (g-c-g)
Suy ra MB = HC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác AFKE là hình thoi 0,5 +) Chứng minh được ΔAEC =ΔAFB suy ra CAE B AF
Mà BAE EAC 90 0suy ra EAFBAFBAE 900
Suy ra tứ giác AFKE là hình vuông
0,5
0,5 b)
(1,5 điểm)
+) Có tứ giác AFKE là hình vuông suy ra AK và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi
+) Chứng minh được KO là đường trung trực của MC
Tương tự suy ra: AO//KH
Suy ra tứ giác AOKH là hình bình hành suy ra AK và OH cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường
Trang 6Câu 6
(2,0 điểm)
Tìm số nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình x2 y2 100.1102n với n là
số nguyên dương cho trước Chứng minh rằng số nghiệm này không thể là số
chính phương
*) Ta có x2 y2 100.1102n (x y x y )( ) 2 2n2.52n2.112n
2
v u
2 5n n 11n (1)
ulà ước nguyên dương của 2 52n 2n2.112n
2 5 11a b c ( , , , 2 , 2 2, 2 )
Suy ra a có 2n +1 cách chọn, b có 2n+3 cách chọn, c có 2n+1 cách chọn
Suy ra ucó (2n+1)2(2n+3) cách chọn Mỗi cách chọn u chỉ có một cách chọn v
nên phương trình (1) có (2n+1)2(2n+3) cặp nghiệm (u; v) 0,5
Mặt khác v > u, trong các cặp xét trên có một cặp u = v nên chỉ có
2
cặp (u; v) thỏa mãn v > u > 0
Mà mỗi cặp (u; v) cho duy nhất cặp nghiệm (x; y) nguyên dương
Vậy phương trình đã cho có
2
cặp nghiệm nguyên dương 0,5
*) Ta có
2
2
2n 1 2n 3 1
+) có 4n26n 1 4n12 2n1 1
nên giả sử m là ước chung lớn nhất của
2
1 à 4n 6 1
n v n thì m là ước của -1 suy ra m =1 hay n1, 4n26n1
+) Để 2
là số chính phương khi và chỉ khi n1 à 4nv 26n1 đều là những số chính phương
Mặt khác 2n124n26n 1 2n2 ,2 n *
nên 4n26n1 không thể
là số chính phương
Vậy số các cặp nghiệm của phương trình đã cho không thể là số chính phương 0,25
Trang 7CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 7
(2,0 điểm)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc +ca = abc Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
+) Từ giả thiết suy ra:
1 1 1
1
+) Chứng minh được: a4b4a b ab3 3 (1) với mọi a, b>0 đẳng thức xảy ra khi a = b. 0,5
Từ (1) 2 a 4b4a4a b b3 4ab3
4 4
2 a b
a b
1 1 1 2
a b
Tương tự ta có:
1 1 1 2
b c
(3)
1 1 1 2
c a
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (2), (3) và (4) ta được
1 1 1
1
P
a b c
Đẳng thức xảy ra khi a b c 3
Lưu ý:
- Học sinh phải lập luật chặt chẽ mới cho điểm tối đa từng phần
- Học sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng với phần bài làm đó
- Bài hình không có hình vẽ không cho điểm.