kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M vµ I..[r]
Trang 1PHềNG GD&ĐT
Đề khảo sát đội tuyển Toán 9 Câu 1 (1,5 điểm).
Tìm các số tự nhiên dạng abcd biết abcd ⋮ 11 và a= b + c, bc là số chính phơng
Câu 2 (2 điểm)
Cho: P =[1,5 - (x4− x4+1
x2+1) x3x − x (4 x −1) −47+6 x6− x −6 ]: x2+29 x+78
3 x2+12 x − 36
1 Rút gọn P
2 Tìm x để |P| = 15
Câu 3 (1,5 điểm):
Giải phơng trình: √2x2+8 x +6+√x2−1= 2x + 2
Câu 4 (1 điểm)
Tìm đa thức P(x) biết:
P(x) chia cho (x -3) d 3
P(x) chia cho (x+4) d (- 4)
P(x) chia cho (x2 + x – 12) đợc (x2 + 3) và còn d
Câu 5 (1 điểm):
Tìm Min của: P = x 2008− 2008 x +2008
Câu 6 (1 điểm):
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 1
a+1+
1
b +1+
1
c +1=2 .
CMR: abc ≤1
Câu 7 (1 điểm):
Qua điểm A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ 1 đờng thẳng cắt BC tại M và cắt
DC tại I CMR: giá trị của biểu thức:
AM2+
1
AI2 không phụ thuộc vào vị trí của M và I.
Câu 8 (1điểm):
Cho O nằm trong Δ ABC Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của Δ ABC lần lợt tại A ' , \{ B ' , \{ C❑' Tìm vị trí của O để:
O A '+ OB
O B '+ OC
O C ' nhỏ nhất
đáp án
Câu
1 Vì abcd⋮11⇒ a+c−b−d ⋮11
Mà a=b+c ⇒2 c − d⋮11 (1)
Mặt khác: −9 ≤ 2 c − d ≤ 18 ⇒2 c − d ∈{0 ;1} (2)
Từ (1) và (2) ta có:
+TH1: 2c – d =0 ⇔d =2 c ≤ 9 ⇒c ≤ 4 mà bc là số chính phơng
⇒c ∈{0 ;1 ;4}
Nếu c =0 thì vô lí vì số chính phơng đã tận cùng là 0 thì phảI có hai
chữ số tận cùng là 00
Trang 2NÕu c = 1 th×
b=8 a=9 ⇒abcd=9812
d=2
¿ { {
NÕu c = 4
⇒ bc=64 ⇒ b=6 a=10
¿ {
lo¹i
+TH2: 2c – d =11
⇒2 d=c +11≤ 18⇒ c ≤ 7
⇒ c ∈{0;1 ;4 ;5; 6}
Mµ c lÎ vËy c 1; 5
NÕu c=1
a=9 b=8 ⇒abcd=9816
d=6
¿ { {
lo¹i v× kh«ng chia hÕt cho 11
NÕu c=5
a=7 b=2⇒ abcd=7258
d=8
¿ { {
lo¹i v× kh«ng chia hÕt cho 11
VËy cã duy nhÊt sè 9812 tho¶ m·n
C©u
2 P=(32−
x6−1
x2 + 1.
x3−4 x2+x −4
x7 +6 x6− x −6): x
2 +3 x+26 x +76
3 x2 +18 x −6 x −36
(3
2−
(x3+1)( x3−1)
x2+ 1 .
(x − 4)(x2+1) (x+6)(x6−1)): (x+3)(x +26)
(x +6)(3 x − 6)
(32−
x −4
x +6).(x+6)(3 x −6)
(x +3)(x+26)
3 x +18 −2 x+8
(x+6)(3 x −6)
(x +3)(x+26)=
x +26
2(x+6).
(x +6)(3 x −6)
(x +3)(x+26)
3 x −6 2(x+3)
§KX§:
¿
x ≠1
x ≠ −1
x ≠ −3
x ≠ 2
x ≠ −26
¿ { { { {
¿
Trang 3b/
|P| =15⇔|3 x −6 2 x+6=15⇔|x − 2| =10 |x +3||
⇔
x −2=10 x+30
¿
x − 2=− 10 x −30
¿
⇔
¿
x= −32
9
¿
x= − 28
9
¿
¿
¿
¿
¿
¿ ¿
¿
Vậy với x= − 32
9 và x=
− 28
9 thì |P| =15
Câu
3
Giải phơng trình: √2 x2+8 x+6+√x2−1=2 x +2 (1)
ĐK
x ≥ 1
¿
x=−1
¿
¿
¿
¿
(1)⇔2 x2
+8 x+6+ x2−1+2√(x2− 1)(2 x2+8 x +6)=4 x2+8 x+4
⇔√(x+1)(x −1) 2(x+1)(x +3)=x2− 1
⇔∨x+1∨√2(x − 1)(x +3)=(x −1)(x +1)
+ Nếu x =-1 thoả mãn
+ Nếu x 1 ta có PT:
√2(x −1)(x +3)=x − 1
x −1¿2
¿
⇔
¿
x −1=0
¿
2 x +6=x − 1
¿
x=1
¿
x=− 7 loai
¿
¿
¿
¿
¿
⇔ 2(x −1)(x +3)=¿
Vậy nghiệm của PT là x = 1 và x=-1
Câu
4 + Vì P(x) chia cho x
2+ x -12 đợc thơng là x2 +3 và còn d Do đó P(x)
là đa thức bậc 4 và số d là: ax + b
Trang 4Vậy P(x) = (x2+ 3 )(x2 +x – 12) + ax +b
+ P(3) = 3 ⇔3 a+b=3
+ P(-4) = -4 4ab 4
⇒ a=1 b=0
⇒ P(x)=(x2
+3)(x2
+x −12)+ x
¿ {
⇔ P(x )=x4
+x3− 12 x2+3 x2+3 x − 36+x
⇔ P (x)=x4
+x3−9 x2
+4 x −36
Câu
5
P=x2008+ 1+1+ 1⏟
2007
−2008 x +1 P≥ 20082008
√x2008 11 1⏟
2008
− 2008 x+1
P ≥ 1
Dấu “=” xảy ra khi x = ±1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1 Dấu “=” xảy ra khi x = ±1
Câu
6
Từ
1
1
1
⇒ 1
a+1=(1−
1
1+b)+(1 −
1
b b+1+
c c+1 ≥2√bc(b+1)(c +1)
T2
1
b+1 ≥ 2√ac(a+1)(c+1)
1
c+1 ≥2√ab(a+1)(b+1)
Nhân vế với vế của 3 BĐT trên ta có: abc ≤1
8
Câu
7
Trên tia đối của tia DC lấy điểm E | BM = DE
Ta có: Δ ABM = Δ ADE (2 cạnh góc vuông )
∠ A1=∠ A2; AM=AE
TA Có
∠AEI =∠ A +∠ A2=∠ A1+∠ A3
⇒∠ A2=∠ A1
⇒ Δ AEI
Vuông tại A Có CD vuông góc với EI
⇒ 1
AD2=
1
AE2+
1
AI2
AM 2
1
AI 2 = 1
a2
Câu
8 Ta có : S1 = SBOC ; S2 = SAOC; S3 = SAOB
Trang 5S2
S OA ' C=
S3
S OA ' B=
S2+S3
S1
T2 OB
OB '=
S 1+S3
S 2
OC
S 1+S 2
S 3
⇒ P= S2 +S3
S1 +
S 1+S3
S 2 +
S 1+S 2
S 3
(S1
S2+
S2
S1)+(S3
S2+
S2
S3)+(S1
S3+
S3
S1)≥ 6
DÊu “=” x¶y ra khi S1 = S2 = S3
Hay tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c dÒu