Câu 4c chứng minh S,T,O bằng cách lấy điểm T' rồi chứng minh T' trùng T tứ giác MNQP nội tiếp nên OM.ON=OP.OQ. Từ ON.OM=OP.OQ thì ta dễ chứng minh được O,S,T thẳng hàng[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ
MÔN THỊ : TOÁN CHUYÊN
Thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
Câu 1 : (1.5 điêm)
Giải nhương trình :2015+/2015z — 2014 + v⁄2016z — 2015 = 2016
Câu 2 : (1.5 điêm)
Cho phương trình ( — 3)(#Š — z) + (4m + 1) — §ưma — 2 = Ú (x là ẫn số ) , tìm x để phương trình có 3
nghiệm #1, #a, #4 tha mãn điễu kiện x? + T5 + x? = 11
Cau 3: (2,0 diem)
z2 +? +ø +=(e+1)(w+1)
a) Giải HPT : Hà 9 Y 9
( y+1 )/ +{ r+i1 = b) Cho các số dueng x,y,z tha man cac diéu kién x + y+z= 2 va a? + y" +27 =2 Chứng minh rằng hiểu thức
sau không phụ thuậc vàn x,y,z:
((1+w?)(1+z) /(1+z?)(1+z) Lẻ ((1+z?)(1+w)
Cau 4: (3,0 diem)
Cho tam giác ABC cú 3 góc nhon nai tiền ñường tròn (O;R)}, Giả sử B, C cố định và A di động trên đường tròn san
cho AB < AC va AC < BC Đường trung thực của đoạn thẳng AB cắt AC và BC lần lượt tại P và Q Đường trung trực
của đoạn thẳng AC cắt AB và BC lân lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng OM ON = R?
h) Chứng minh rằng hốn điễm M,N,P,Q cùng năm trên một đường tròn
c) Giả sử hai đường tròn ngoai tiến tam giác BMM và CPG cắt nhau tại 5 và T, gọi H là hình chiếu vuông qúc của B
lên đường thẳng ST Chứng minh H chạy trên 1 đường tròn cố định khi A di động
Cau 5: (2,0 diem)
a) Cho a,b la hai số thay đỗi thaã mãn cac diéu kiéna > O,a +6 > 1.Tim gia tri nhd nhat cla biéu
s„2
8a“ +b
thức 4 =————— +È°
4a
b) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thõa mãn : z* — 2z3 + 6z? — 4u? — 322 + 4y+ 39 = 0
-HET -
Thí sinh không được phép sử dụng bắt cứ tài liệu nào Giám thị không giải thích gi thêm
Trang 2
Câu 1/
Câu 1: (1,5 điểm)
Giải phương trình : 3015+/2015z — 2014 + 4/20162 — 2015 = 2016 (1)
Ta cé phueng trinh (1) tueng dueng:
20154/20152 — 2014 — 2015 + 4/20162 — 2015-1=0
= 2015(4/2015a — 2014 — 1) + (y2016z — 2015 — 1) =0
2015? (z — 1) 2016(z — 1)
v⁄2015z — 2014 + 1 2016 — 2015 +1
v2015z — 23014 + 1 20162 — 2015 +1
Huặc x-1=ũ > 2 = 1
x/2015z — 2014 + 1 x/2016z — 2015 + 1
Vậy nhương trình có 1 nghiệm là x=1
Câu 2/
Trang 3Câu 2: Phương trình:
(x — 2) (x? — #) + (4m + 2)z — 8m — 2 = U
© (z— 2)(z? — #) + (4m: + 1)z — 2(4m + 1) = 0
« (œ — 3)(zˆ — + 4m + 1) = 0
Huặc # — 2 = Ú > #1 = 2ƒ)
Hoặc zˆ — z + 4mm + 1= 0(1)
xét nhương trình (1)
z2? =œ + 4m +1 =0
Để phương trình có 2 nghiệm phân hiệt => À > Ú
 = —-lữm — 3 >
=3
>m < ——
16
Theo Vi-et:
tg +23 = 1
92243 = 4m + ]
5 2 1 2 — fm apa 2 Dann op
> 275 +274 — (#a + Z3) 227923
` „2 „2 — +
©® z3 +za = —Wm — l(”)
Thay (*) và (9 vàn phương trình x? + x2 + x? = 11
=3-8m=11
=> ?m — — ] ( thỗa mãn điều kiện)
Câu 3:
+? +? +z+ụ=(œ+1)(w +1)
1(——)?+(——)ˆ =1 OF? + (oq)
Tu (1) suy ra:
© z(z + 1) + (w + 1) = (z + 1)(w + 1)
Chia 2 về chn(# + 1)(y+ 1)
+ + 1 œẶ-+l
Dat a= ‘
+1
_ Y
r+1
Ta cú hệ nhương trình tương đương:
Ta xét hệ nhương trình:
œb = U
œ + b= ]
<> Hoac a=0 => b=1
Hoac b=0 => a=1
=> Hoac x=0, y=1
Hoac x=0, y=0
Câu 4c chứng minh S,T,O bằng cách lây điểm T' rồi chứng minh T' trùng T
tứ giác MINQP nội tiếp nên OM.ON=OP.OQ
Từ ON.OM=OP.OQ thì ta dễ chứng minh được O,S,T thắng hàng
Tam giác BHO vuông tại H nên H di dộng trên đường tròn đường kính OB
Trang 4câu 5a,
3» b ol
4A+lzga+4b2 + ®” 2 8a + 4b? a + — ay
néub < Othi a> 1 nên 4A+1> 7a + (a + —) >9 => A> 2(1)
a
2 1
3 4A41>4a°4+—44 a
nếu h>0 có b > 1-a>B > (1—
2,121,121
=4a°+ —+— +4>3+4=7>A>1,502) 2a 2a
TỪ (1) và (2) suy ra min A=1,5 khi a=b=0,5.