b Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ c Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị.. b vẽ đồ thị 2 hs trên cùng mặt phẳng tọa độ..[r]
Trang 1Lý thuyết:1
1 Kiến thức cần nhớ:
a) Tổng quát:
y = ax ( a ≠ 0 )
2
-2
O M
4
2
-2
O
M
a > 0 a < 0
- Chọn M( x M ;y M ) tùy ý.
- Kẻ đường thẳng OM
y = ax + b ( a ≠ 0)
4
2
-2
A B
4
2
A
B
a > 0 a < 0
- Chọn 2 điểm:
A(0;b) và B( −b
a ;0¿
- Kẻ đường thẳng AB
y = a x
2
-2 A
2
-2
A
a > 0 a < 0
- Lập bảng giá trị
- Nối các điểm bằng đường cong đều
y = ax2 + bx + c
( a ≠ 0)
4
2
O
2
-2
-4
O
a > 0 a < 0
- Lập bảng giá trị
- Nối các điểm bằng đường cong Parabol
b) Quan hệ giữa các đường
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Trang 2* Quan hệ giữa hai đường thẳng:
Quan hệ giữa (d) và (d’) (d): y = ax + b
(d’): y = a’x + b’
(d): ax + by = c (d’): a’x + b’y = c’
b ' ≠
c
c '
b '
- Trùng nhau a = a’; b = b’, c = c’ a' a = b
b '=
c
c '
- Vuông góc với nhau a.a’ = -1 a a' b b '=−1
* Quan hệ giữa đường thẳng(d) và đường cong (P):
- Không cắt nhau Phương trình mx2 = ax + b vô nghiệm
- Tiếp xúc nhau Phương trình mx2 = ax + b có nghiệm kép
- Cắt nhau tại hai điểm A và B Phương trình mx2 = ax + b có 2 nghiệm phân biệt
B Các dạng bài tập thường gặp:
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số.
Cách làm: Xem hướng dẫn trên
Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:
Cách làm: + Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:
{y=a y =ax +b ' x+b '
Giải hpt này ta được xM và yM
Kết luận: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là M ( x M ;y M )
+ Tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường cong là nghiệm của hệ phương trình:
{y=ax +b y =a x2
Giải hpt này ta được xN và yN
Kết luận: Tọa độ giao điểm đường thẳng và đường cong là N( x N ;y N )
Dạng 3: Lập phương trình hàm số biết một số điều kiện:
Lập phương trình đường thẳng (d) biết d di qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB;yB) Cách làm: Giả sử đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b ( * )
Trang 3Vì (d) đi qua A và B nên ta có hệ phương trình: {y A=a x A+b
y B=a x B+b
Giải hệ phương trình này ta được a và b sau đó thay vào (*) ta được phương trình đường thẳng cần tìm
Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(xA; yA) và biết hệ số góc là k
Cách làm: Giải phương trình : yA = kxA + b ta tìm được b
Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm là x1 và x2:
Cách làm: Có 2 cách làm
+ Cách 1: Phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 là: a( x- x1).(x – x2) = 0
( Nếu bài yêu cầu 1 phương trình thì chọn a = 1)
+ Cách 2: Áp dụng hệ thức Vi – ét: Ta tính {x1 +x2=S
x1 x2=P
Khi đó x1 và x2 là nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P = 0
Dạng 4: Tổng hợp
Bài tập có chứa tham số m Tìm m để bài tập thỏa mãn một số điều kiện nào đó
Cách làm : Vận dụng tất cả các kiến thức ở dạng 1, 2 và 3
C Bài tập áp dụng:
Bài 1: 1 Hãy lập một phương trình có 2 nghiệm là 2√2−1 và 2√2+1 ?
2 Cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình :
y = mx + m + 3 Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm ở bên phải trục tung?
Bài 2: Cho Parabol ( P ) có phương trình: y = - x2 và đường thẳng (d) có phương trình :
y = - mx + m - 1 Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x1
và x2 thỏa mãn: x12+x22=17 ?
Bài 3: Cho đường thẳng d1 : y = ( m+1)x +2 và đường thẳng d2 : y = 2x + 1
1 Xác định tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng trên theo m?
2 Tìm m sao cho d1 và d2 cắt nhau tại một điểm mà hoành độ và tung độ của điểm
đó trái dấu?
Bài 4: Cho Parabol (P): y = 12 x2 và đường thẳng (d) : y = x – m + 3.Tìm m để d và P cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x2 = 3x1
Bài 5: Cho 2 đường thẳng d1: y = (m+1)x +1 và d2: y = 2x + 2
a) Xác định tọa độ của chúng theo m
Trang 4b) Tìm m để 2 đường thẳng trên cắt nhau tại 1 điểm sao cho hoành độ và tung độ của điểm đó cùng dấu
Bài 6: Cho phương trình x2 – mx + m + 1, ẩn là x
a) Giải phương trình khi m = 3
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn: x2 = 2x1
Bài 7: Cho 3 đường thẳng d1: y = x+2; d2: y = 2x + 1 ; d3: y = (m2 +1)x + m
a) Tìm m để d2 // d3
b) Tìm m để 3 đường thẳng trên cắt nhau tại 1 điểm
Bài 8: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx + m + 1
a) Tìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt A và B
b) Gọi x1 và x2 là hoành độ của A và B Tìm m sao cho |x1 −x2|=2
Bài 9: Cho Parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (d) : y = mx – 2
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m d luôn cắ P tại hai điểm phân biệt A và B b) Gọi x1 và x2 là hoành độ của A và B Tìm m sao cho: x2
1 x2 + x2
2x1 = 2014
Bài 10: Cho hàm số y=−1
2 x
2
có đồ thị là đường parabol (P), đường thẳng (d) có hệ
số góc k đi qua điểm ( 0;2)
a) Viết phương trình đường thẳng d
b) Chứng minh rằng khi k thay đổi, (d) luôn cắt ( P) tại 2 điểm phân biệt
Bài 11: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là đường (P), đường thẳng d: y = - mx – m + 1 Tìm m để d và P cắt nhau tại A và B phân biệt mà yA + y B nhỏ nhất
Bài 12: Cho 3 đường thẳng (d1) : y = mx – m + 1; (d2) : y = 2x + 3 và (d3) : y = x + 1 a) Chứng minh khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua một điểm cố định
b) Tìm m để 3 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm
Bài 13: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x+m+1.Tìm m để (d) cắt (P) tại
2 điểm phân biệt bên phải trục tung
Bài 14: 1) Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = mx-1 luôn cắt đường cong (P) :
y = - x2 tại hai điểm phân biệt A ( x1;y1) và B(x2; y2)
2) Tìm m sao cho: x13
+x23 = - 4
Bài 15: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x - m+1.Tìm m để (d) cắt (P) tại
2 điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung
Trang 5Bài 16: Cho hàm số y=−1
2 x
2
có đồ thị là đường parabol P, đường thẳng có hệ số góc
k đi qua điểm ( 0; -2)
a) Viết phương trình đường thẳng d
b) Chứng minh rằng khi k thay đổi, (d) luôn cắt ( P) tại 2 điểm phân biệt
Bài 17: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = - mx - m+1.Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt mà tổng các tung độ của nó nhỏ nhất?
Bài 18: Cho 3 đường thẳng (d1) : y = x + 3; (d2) : y = - x + 1 và (d3) : y = √3 x m -2
Tìm m để 3 đường thẳng trên đồng quy
Bài 19:Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = x + 2
1) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
2) Tính diện tích tam giác OAB
Bài 20:Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = ( 2m + 2)x – m2 – 2m.Tìm m
để (d) cắt (P) tại hai điểm có hành độ x1 và x2 sao cho: 2x1 + x2 = 5
Bài 21: Cho các hàm số y = 2x – 2 và y = (m+1)x – m2 – m.( m khác 1)
1) Vẽ đồ thị các hàm số khi m = -2
2) Tìm m để đồ thi hai hàm số trên là các đường thẳng song song
Bài 22: Cho đường thẳng (d): 2(m – 1)x + ( m – 2)y = 2
1) Vẽ đường thẳng (d) với m = ½
2) Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
3) Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất?
Bài 23: Cho (P) : y = mx2 ( m khác 0 ) và (d) : y = 2(m – 2) x – m + 3 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu
Bài 24: Cho (P) : y = x2 ( m khác 0 ) và (d) : y = 2x + m
1) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ tọa độ khi m = 3 và tìm tọa độ giao điểm 2) Tìm m để (d) tiếp xúc (P), xác định tọa độ giao điểm
Bài 25: Cho (P) : y = - 12x2
và (d) : y = −12 x + 2 1) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng 2) Gọi A và B là giao của hai đồ thị trên Hãy tính diện tích tam giác OAB
Bài 26: Cho (P) : y = 12x2
và (d) : y = 2 x – 2
Trang 61) Chứng minh rằng (d) tiếp xúc (P)
2) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của chúng 3) Viết phương trình đường thẳng (d’) vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
Bài 27*: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua I(0;1) và cắt (P) : y = x2 tại hai điểm phân biệt M và N sao cho độ dài MN = 2 √10
Bài 28*: Trong mp Oxy cho (P): y = - 12 x 2 , điểm I(0;-2) và M( m;0) với m là tham số
a) Hãy vẽ (P)
b) Viết phương trình (d) đi qua I và Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với độ dài AB > 4
Bài 29: Trong mp Oxy cho A( -2; 2 ) và đường thẳng (d) : y = -2(x+1)
a) Giải thích tại sao A nằm trên (d)
b) Tìm a sao cho đồ thị hàm số y = ax2 đi qua A
Bài 30:Cho (d) : y = 2x+m và (P): y = x2 Tìm m để (d) tiếp xúc với (P)
Bài 31: Cho (P) : y = −12 x2
Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(-2;-2) và tiếp xúc với (P)?
Bài 32:Cho (d) : y = -x +2 và (P) : y = x2
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ tọa độ Oxy
b) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P)?
c) Lập phương trình đường thẳng song song với (d) và tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ là -1?
Bài 33:a) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(2;0) và vuông góc với đường
thẳng ( ∆ ): y = 2x – 3
b) Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ∆ ): y = 2x và
tiếp xúc với đường (P) : y = x2
Bài 34: Cho (d) : y = mx + 2
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi (d) luôn đi qua A(0;2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) lớn nhất
c) Khi m khác 0 , tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) bằng 1
Bài 35:Cho (P) : y = x2 và (d) : y = x + 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ Oxy
Trang 7b) Gọi A = (d) cắt (P) Tính diện tích tam giác AOB
Bài 36: Cho (P): y = x 2 và (d) : y = 2x – m + 1
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Gọi x1 và x2 là hoành độ của A và B Tìm m sao cho: x12
+x22 = 10
Bài 37: Cho (P): y = -x2 và (d) : y = mx – m – 1 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B nằm bên trái trục oy, bên phải trục oy; ở hai phía trục oy?
Bài 38: Cho (d) : y = (m - 2)x + 3 , m ≠ 2 và (d’) : y = -m2x + 1 , m ± 0
a) Tìm m để (d) // (d’)
b) Tìm m để (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B mà BAO=60^ 0
Bài 39: Cho (d) : y = ( 2m + 1)x – 2 , ( m ≠ 12¿ cắt Ox tại A, cắt Oy tại B
Tìm m sao cho:
a) Khoảng cách từ O (gốc tọa độ) đến (d) bằng √2
b) S▲AOB = 12
Bài 40: Cho (P) : y = - x2 và (d) : y = 2mx – 2m + 1 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 thỏa mãn:
a) x2 = 3x1 ?
b) |x2 −x1|=5
c) x2 , x1 trái dấu ( cùng dấu, cùng âm, cùng dương )
Bài 41: Cho (P) : y = 12 x2
và (d) : y = mx + 2 Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn : x12
+x22 nhỏ nhất
Bài 42: Cho (P) : y = 12x2
và (d) đi qua I(0;2) có hệ số góc k
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên Ox
Chứng minh tam giác IHK vuông tại I?
Bài 43: Cho (P) : y = x2 và (d) : y = mx – m + 1 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 thỏa mãn:
a) |x1| +|x2| = 4
b) x1 = 9x2
Bài 44: Cho (P) : y = x2 và (d) : y = 2mx – m2 + 1
a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1
Trang 8b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn :
x1 + 2x2 = 7
Bài 45: Cho (P): y = x2 và (d) : y = mx + m – 1 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ x1,x2 thỏa mãn : x12
+x22 =19
Bài 46: Cho (P) : y = x2 và (d) : y = 2mx – m2 + 9
a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục oy
HÀM SỐ BẬC HAI- TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ
HÀM SỐ y ax a 2 0
ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax a 2 0
A Kiến thức cơ bản
1 Tính chất hàm số y ax a 2 0
a) Tính chất:
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0
b) Nhận xét:
Nếu a > 0 thì y > 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0 giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0.
Nếu a < 0 thì y < 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0 giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0.
2 Tính chất đồ thị hàm số y ax a 2 0
Đồ thị hàm số y ax a 2 0 là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy là trục đối xứng đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0;0) là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0;0) là điểm cao nhất của đồ thị.
B Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hàm số y5x2
a) Lập bảng tính giá trị của y với các giá trị của x lần lượt bằng: -2; -1;
1 2
; 0;
1
2; 1; 2
b) Với giá trị nào của x thì hàm số nhận giá trị tường ứng bằng: 0; -7,5; -0,05; 50; -120
Bài giải
a) Bảng các giá trị tương ứng của x và y là:
2
2
2
5
4
4
b)
+ Với y = 0 ta có: 5x2 0 x2 0 x0
Trang 9+ Với y = -7,5 ta có: 5x2 7,5 x2 1,5 x 1,5
+ Với y = -0,05 ta có: 5x2 0,05 x2 0,01 x0,1
+ Với y = -7,5 ta có: 5x2 50 x2 10 pt vô nghiệm
+ Với y = -7,5 ta có: 5x2 120 x2 24 x2 6
Bài 2: Cho hàm số ym2 m x 2
Tìm giá trị của m để:
a) Hàm số đồng biến với mọi x > 0
b) Hàm số nghịch biến với mọi x > 0
Bài giải
Ta có: a m 2 m m m 1
a) Hàm số đồng biến với mọi x > 0
0
m
vậy m > 1 hoặc m < 0 thì hàm số đồng biến với mọi x > 0
b) Hàm số nghịch biến với mọi x > 0
ô
kh ng m
Bài 3: Cho hàm số y ax 2 Xác định hệ số a trong các trường hợp sau:
a) Đồ thị của nó đi qua điểm A(3; 12)
b) Đồ thị của nó đi qua điểm B(-2; 3)
Bài giải
a) Vì đồ thị hs đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có:
3
b) Vì đồ thị hs đi qua điểm B nên tọa độ điểm B thỏa mãn hs, ta có: 3 2 2 3
4
Bài 4: Cho hàm số y ax 2
a) Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 2)
b) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị của a vừa tìm được
Bài giải
a) Vì đồ thị hs đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có:
2
b) Với a = ½ ta có hàm số sau:
2 1 2
y x
14
12
10
8
6
4
2
f x = 1 2
x 2 y
Trang 10Bài 5: Cho hàm số y0, 4x2 Các điểm sau đây, điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc
đồ thị hàm số: A(-2; 1,6), B(3; 3,5), C( 5 ; 0,2)
Giải
PP: muốn kiểm tra xem 1 điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hs ta làm như sau: thay hoành độ của điểm đó vào hàm số, nếu giá trị của hs bằng với tung độ của nó thì điểm đó thuộc đồ thị hs; nếu giá trị của hs không bằng với tung độ của nó thì điểm đó không thuộc đồ thị hs.
- Điểm A(-2; 1,6)
Thay x = -2 vào hàm số ta có: y 0, 4 2 2 1, 6
, do đó điểm A thuộc đồ thị hs
- Điểm B(3; 3,5)
Thay x = 3 vào hs ta có: y 0, 4.32 3,6 3,5 do đó điểm B không thuộc đồ thị hs
- Điểm C( 5 ; 0,2)
Thay x = 5 vào hs ta có: y 0, 4 5 2 2 0, 2
do đó điểm C không thuộc đồ thị hs
Bài 6: Cho 2 hàm số
2 1 2
y x
và y = 2x – 2 a) Vẽ đồ thị 2 hàm số trên trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị
Giải
a) Vẽ đồ thị
14 12 10 8 6 4 2
g x = 2x-2
f x = 1 2
x 2
12
10
8
6
4
2
-2
f x = 1 2
x 2
x O
Trang 11b) pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:
2
1
thay x = 2 vào 1 trong 2 h/s ta được: y = 2.2 – 2 = 2 Vậy tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là M(2; 2)
Bài 7: Cho hàm số y ax 2
a) Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -3x + 4 tại điểm A có hoành độ bằng -2 b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
c) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị
Giải
a) tung độ của điểm A là: y = -3.(-2) + 4 = 10 Vậy tọa độ điểm A(-2; 10)
vì đồ thị hs y ax 2 đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 10 22 5
2
Khi
đó hs có dạng:
2 5 2
y x
b) vẽ đồ thị 2 hs trên cùng mặt phẳng tọa độ
10 8 6 4 2
-2 -4 -6
q x = -3x+4
h x = 5x 2
c) pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:
2
tọa độ điểm A(
4 8
;
5 5)
+ Với x1 2 y1 3 2 4 10
tọa độ điểm B(-2; 10)
Bài 8: Cho hàm số y ax 2
a) Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm A có hoành độ bằng 1 b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
c) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị.
Giải
a) tung độ của điểm A là: y = -2.1 + 3 = 1, do đó tọa độ của điểm A là A(1; 1)
vì đồ thị hs y ax 2 đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 1a.12 a1 Khi đó hs
có dạng: y x 2
b) vẽ đồ thị 2 hs trên cùng mặt phẳng tọa độ