Tài liệu Kinh tế lượng cơ sở - Bài 3 docx

Các tham số của các ước lượng OLS... Hệ số tuơng quan bội R: Là căn bậc hai của hệ số xác định bội và đo mức độ tương quan tuyến tính chung giữa Y, X 2 và X 3.. Hệ số tương quan cặp r i

Bài 3 MÔ HÌNH HỒI QUI bội (Multiple regression)

1 Mô hình hồi qui 3 biến

1.1 Mô hình:

Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào 2 biến giải thích X2,

X3 có dạng

PRF: E(Y/ X 2i , X 3i ) = β1 + β2 X 2i + β3X 3i (1)

Đồ thị là một mặt phẳng

PRM: Y i = β1 + β2 X 2i + β3 X 3i + u i

trong đó: β1 gọi là hệ số chặn ( intercept)

βj ( j = 2,3) gọi là hệ số góc riêng phần ( partial slope)

Giả sử mọi giả thiết của OLS đều thoả mãn, lúc đó với mẫu kích thước n được lập từ tổng thể sẽ xác định được:

SRF: Yˆ i = + βˆ1 βˆ2X 2i + βˆ3X 3i (2)

SRM: Y i = βˆ1 + βˆ2 X 2i + βˆ3 X 3i + e i

Tìm ( j =βˆj 1,3) sao cho Q = ∑ ∑ → min

=

=

=

i i n

i

i

Y

1

2 1

2

) ˆ (

⇒ ∂Q/∂βˆ1 = 0 ∂Q/∂βˆ2 = 0 ∂Q/∂βˆ

3 = 0

⇒ βˆ

1n + βˆ

2∑X2i + βˆ

3∑X3i = ∑Yi

βˆ

1∑X2i + βˆ

2∑X2i2 + βˆ

3∑X2iX3i = ∑X2iYi

βˆ1∑X3i + βˆ2∑X2Ü X3i + βˆ 3∑X3i2 = ∑X3iYi

Ký hiệu: Y = (∑Yi)/n X 2 = (∑X2i)/n X 3 = (∑X3i)/n

yi = Yi – Y x2i = X2i – X 2 x3i = X3i – X 3

⇒ βˆ 1 = Y - βˆ 2X 2 - βˆ3X 3 ∑x2iyi∑x3i2 - ∑x3iyi∑x2i x3i

βˆ

2 = - ∑x2i2∑x3i2 – (∑x2i x3i)2

∑x3iyi∑x2i2 - ∑x2iyi∑x2i x3i

βˆ3 = - ∑x2i2∑x3i2 – (∑x2i x3i)2

⇒ = yˆi βˆ2x2i +βˆ3x3i → Hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ

1.2 Các tham số của các ước lượng OLS

E(βˆ j ) = βj j = 1,3

Var(βˆ1) = ⎢⎣⎡n1 +

⎥

⎥

⎦

⎤

−

−

+

2 3 2

2 3

2 2

3 2 3 2

2 2

2 3

2 3

2 2

) (

2

i i i

i

i i i

i

x x x

x

x x X X x

X x X

σ2

Var(βˆ

2) =

3 2

2 3

2 2

2 3

)

i i

i

x x x

x

x

σ2 =

23

2 2

2

r

x i

σ

Var( ) = βˆ3

3 2

2 3

2 2

2 2

)

i i

i

x x x

x

x

σ2 =

23

2 3

2

r

x i

σ

Se( ) = βˆj var( ˆ )

j

β trong đó σ 2 ≈ σ ˆ 2 =

3

−

n RSS

Cov(βˆ2βˆ3) =

2 3

2 2

2 23

2 23

) 1

r

−

1.3 Hệ số xác định bội R 2

ESS RSS

R 2 = - = 1 - -

TSS TSS

Với mô hình ba biến:

R2 =

∑

2 3 3 2

ˆ

i

i i i

i y

y x y

β

1.4 Hệ số tương quan

a Hệ số tuơng quan bội R: Là căn bậc hai của hệ số xác định bội và đo mức

độ tương quan tuyến tính chung giữa Y, X 2 và X 3

b Hệ số tương quan cặp r ij: Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình

2

2

(

i i

i i

y x

y x

=

2 13

r

∑ ∑ ∑2 2 3

2

(

i i

i i

y x

y x

3

2 2

2 3

(

i i

i i

x x

x x

c Hệ số tương quan riêng phần r ij , k : Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình với điều kiện biến k không đổi

r 12,3 =

) 1 )(

1

23

2 13

23 13 12

r r

r r r

−

−

−

r 13,2 =

) 1 ( 1

23

2 12

23 12 13

r r

r r r

−

−

−

r 23,1 =

) 1 )(

1

13

2 12

13 12 23

r r

r r r

−

−

−

Ví dụ: Bảng sau đây cho Tỷ lệ lạm phát Y(%), Tỷ lệ thất nghiệp X2(%) và Tỷ lệ lạm phát kỳ vọng X3(%) của Mỹ giai đoạn 1970- 1982:

1971 4.30 5.9 3.84

1980 13.46 7.1 10.01

1981 10.24 7.6 10.81

a Hồi quy Y với X 2 và cho nhận xét Yt = õ1+ õ2*X2 + ut: õ2 < 0 do LP và TN

là nghịch biến Kết quả do õ2>0 mô hìn sai

b Hồi quy Y với X 2 và X 3 và so sánh với kết quả thu được ở phần a

c Hãy phân tích kết quả thu được ở mô hình 3 biến

Yt = õ1+ õ2*X2 + õ3*X3 + ut: õ2 < 0 do LP và TN là nghịch biến Kết quả õ2 <

0 và õ3>0 (Tỷ lệ TN tỷ lệ thuận với LP kỳ vọng) vậy thêm mô hình thêm biến X3

là phù hợp hơn

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 02/17/09 Time: 09:40

Sample: 1970 1982

Included observations: 13

Variable Coefficie

nt Std Error t-Statistic Prob

C 6.127172 4.285283 1.429817 0.1806

X2 0.244934 0.630456 0.388502 0.7051

R-squared 0.013536 Mean dependent

var

7.75692

3 Adjusted

R-squared

-0.076143

S.D dependent var 3.04189

2

S.E of regression 3.155577 Akaike info

Sum squared resid 109.5343 Schwarz criterion 5.36377

3

-32.29958

F-statistic 0.15093

4 Durbin-Watson

stat

0.969568 Prob(F-statistic) 0.70505

8

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 02/17/09 Time: 09:35

Sample: 1970 1982

Included observations: 13

Variable Coefficie

nt Std Error t-Statistic Prob

C 7.193357 1.594789 4.510538 0.0011 X2

-1.392472 0.305018 -4.565214 0.0010 X3 1.470032 0.175786 8.362633 0.0000 R-squared 0.876590 Mean dependent

var

7.75692

3 Adjusted

R-squared

0.851907 S.D dependent var 3.04189

2 S.E of regression 1.170605 Akaike info

Sum squared resid 13.70316 Schwarz criterion 3.48246

5

-18.78860 F-statistic 35.51521 Durbin-Watson

stat 2.225465 Prob(F-statistic) 0.000029

2 Mô hình hồi quy tổng quát k biến - Dạng ma trận của mô hình

2.1 Mô hình

Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào k – 1 biến giải thích

X2, ,X k có dạng

PRF: E(Y i ) = β1 + β2 X 2i + β3X 3i + … + βk X ki (1)

PRM: Y i = β1 + β2 X 2i + β3X 3i + … + βk X ki + u i (2)

trong đó: β1 gọi là hệ số chặn

βj ( j=2,k) gọi là các hệ số góc riêng phần

Với mẫu W = {(X 2i , X 3i ,…,X ki , Y i ); i = 1÷ n}, SRF: Yˆ i = + βˆ1 βˆ2X 2i + βˆ3X 3i + … + βˆk X ki (3)

SRM: Y i = βˆ1 + Xβˆ2 2i + Xβˆ3 3i + … + βˆk X ki + e i (4)

2.2 Dạng ma trận

Y1 = β1 + β2 X21 + …+ βk X k1 + u1

Y2 = β1 + β2 X22 + …+ βk X k2 + u2

…

Y n-1 = β1 + β2 X 2n-1 + + βk X kn-1 + u n-1

Y n = β1 + β2 X 2n + …+ βk X kn + u n

⇔

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

×

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

k kn

n

kn n

k k

n

n

u u

u u

X X

X X

X X

X X

Y Y

Y Y

2 1

2

1 1

2

2 22

1 21

1

2 1

1

1

1

1

β

β β

→ Y(n×1) = X(n×k) ×β(k×1) + U(n×1)

Y = X×β + U → E(Y) = Xβ

Tương tự, đặt = Yˆ ;

⎟⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

n

n Y Y

Y Y

ˆ ˆ

ˆ ˆ

1

2 1

βˆ= ; e = , th×

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

k

β

β β

ˆ

ˆ

ˆ

2 1

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

n

n

e e

e e

1

2 1

Y = X βˆ + e

2.3 Phương pháp bình phương nhỏ nhất

Tìm βˆ sao cho ∑ = e’e → min

=

n i i

e

1 2

⇔ (Y - X βˆ )’ (Y - X βˆ) → min ⇔ X’Xβˆ = X’Y Nếu tồn tại (X’X)-1 thì βˆ = (X’X)-1X’Y

Khi đó βˆ = (X’X)-1X’Y là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất

của β

2.4 Các tham số của ước lượng

Kì vọng : E(βˆ) = β Phương sai – hiệp phương sai

σ

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

) ˆ (

) ˆ , ˆ ( )

ˆ , ˆ (

) ˆ , ˆ (

) ˆ ( )

ˆ , ˆ (

) ˆ , ˆ (

) ˆ , ˆ ( )

ˆ (

2 1

2 2

1 2

1 2

1 1

k k

k

k k

Var Cov

Cov

Cov Var

Cov

Cov Cov

Var

β β

β β

β

β β β

β β

β β β

β β

2(X’X)-1

Với σ2 được ước lượng bởi = σ ˆ 2

k

n−

e e'

2.5 Sự phù hợp của hàm hồi qui :

Hệ số xác định béi:

R2 =

TSS

ESS = 1 -

TSS

RSS Đánh giá sự phù hợp của hàm hồi qui

Cho biết tỉ lệ sự biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi tất cả các

biến giải thích có trong mô hình

R2 có các tính chất sau:

+ 0 ≤ R 2 ≤ 1

Tính chất này dùng để đánh giá mức độ thích hợp của hàm hồi quy

+ Giá trị của R 2 đồng biến với số biến giải thích của mô hình Tuy nhiên không thể lấy điều đó để xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mô hình KHông thể quyết định đưa thêm biến vào đúng hay sai Phải tính thêm 2.6

2.6 Hệ số xác định bội hiÖu chỉnh

⎯R 2 = 1 – (1 – R 2)

k n

n

−

−1

R 2 có các tính chất sau:

+ R 2 có thể nhận giá trị âm.(khi nào R2 nhận giá trị âm?)

+ Khi số biến giải thích của mô hình tăng lên thì R 2 tăng chậm hơn R 2

⎯R 2 ≤ R2 ≤ 1 Tính chất này được dùng làm căn cứ xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào

mô hình Khi đưa thêm biến vào mô hình mà R2 còn tăng hoặc khi giá trị t của kiểm định về sự bằng không của hệ số hồi quy tương ứng với biến đưa thêm còn lớn hơn 1 thì việc đưa thêm biến còn hợp lý

2.7 Hệ số tương quan

a Hệ số tương quan bội R

b Hệ số tương quan cặp r ij (i,j = 1,k )

Các hệ số tương quan cặp thường được cho trong ma trận sau:

rij =

⎟⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

1

1

1

3 2 1

2 23 21

1 13 12

k k k

k k

r r r

r r

r

r r

r

rij = rji(i,j = 1,k)

c Hệ số tương quan riêng phần r 12,34 k r k-1k,12 k-2

r k-1k,12 k-2 : : Biểu thị sự tương quan giữa biến X k-1,Xk trong12 k-2

→ Các hệ số tương quan cặp được gọi là hệ số tương quan riêng phần bậc 0

3 Suy diễn thống kê

3.1 Ước lượng khoảng

i Khoảng tin cậy cho từng hệ số

j

βˆ – Se( )tβˆj α

2(n – k) < βj < + Se(βˆj )t

j

βˆ α

1 (n – k) (j = 1,k )

→ Khoảng tin cậy đối xứng, bên phải, bên trái

ii Khoảng tin cậy cho hai hệ số

(βˆ ±i βˆj ) – Se(βˆ ±i βˆj )tα2(n – k) < βi± βj <(βˆ ±i βˆj ) + Se(βˆ ±i βˆj )tα1 (n – k)

Se : Đ ộ l ệch chu ẩn

Với Se(βˆ ±i βˆj) = Var( βˆi± βˆj)= Var( βˆi) ± 2Cov( βˆi, βˆj) +Var( βˆj)

iii Khoảng tin cậy cho sai số ngẫu nhiờn

) ( 2 2

2( ) ˆ

k n

k n

−

− α

χ

σ

< σ2 < 2( )

1 1

2( ) ˆ

k n

k n

−

−

− α

χ σ

→ Khoảng tin cậy hai phía, bên phải, bên trái

3.2 Kiểm định giả thuyết :

a Kiểm định T:

Cặp giả thuyết Tiêu chuẩn kiểm

định

Miền bác bỏ H0

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≠

=

* 1

* 0

: H

: H

j j

j j

β β

β β

⏐T qs ⏐> ( )

2 /

k n

tα−

⎪

⎨

⎧

>

=

* 1

* 0

: H

: H

j j

j j

β β

β β

T qs =

) ˆ (

j

j j

Se β

β

β −

T qs > tα(n−k)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

=

* 1

* 0

: H

: H

j j

j j

β β

β

β

T qs < – tα(n−k)

⎩

⎨

⎧

≠

±

=

±

a

a

j i

j i

β β

β β

: H

: H

1

0

T qs =

) ˆ ˆ (

ˆ ˆ

j i

j i

Se

a

β β

β β

±

−

±

⏐T qs ⏐> ( )

2 /

k n

tα−

b Kiểm định χ 2 :

Đối với σ2 việc kiểm định cũng tiến hành tương tự với tiêu chuẩn kiểm

định:

χ2 = 2

0

2

ˆ ) (

σ

σ

k

n−

4 Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi qui

⎩

⎨

⎧

≠

=

0 :

H

0 :

H

2

1

2

0

R

R ⇔

⎩

⎨

⎧

≠

≠

∃

=

=

=

) 1 ( : 0 :

H

0

: H

1

2 0

j

j

k

β

β

β Tất cả các biến giải thích không giải thích cho Y

Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y

F qs =

) /(

1

) 1 /(

) /(

) 1 /(

2

2

k n R

k R k

n RSS

k ESS

−

−

−

=

−

−

F qs > Fα(k - 1; n - k) thì bác bỏ H0 : hàm hồi qui là phù hợp

Tất cả các kiểm định trên cũng đều có thể tiến hành bằng phương pháp P-value

Ví dụ: Với tệp số liệu đã cho, hãy tìm các ước lượng bằng phương pháp ma

trận và các tham số tương ứng của mô hình Hãy tiến hành các ước lượng và kiểm

định cần thiết

βˆ

5 Kiểm định thu hẹp hồi qui (Kiểm định Wald):

5.1 Thủ tục:

Xét mô hình:

E(Y/X2, ,X k - m , ,X k ) = β1 + β2X2 + … + βk X k (UR)

Nghi ngờ m biến giải thích X k-m+1 ,…, X k không giải thích cho Y

⎩

⎨H :∃ ≠0:( = − +1÷ )

⎧ H0 :βk−m+1 = βk−m+2 = βk = 0

Tất cả m biến giải thích không giải thích cho Y

Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y

Nếu giả thuyết H0 là đúng thì mô hình trở thành:

E(Y/X2,…, X k - m ) = β1 + β2X2 + … + βk-m X k - m (R)

Tiêu chuẩn kiểm định:

F qs =

) /(n k

/ )

=

) /(

) 1

ñ ur

−

−

/ ) (R2 −R2 m

Nếu F qs > Fα(m, n – k) bác bỏ H0

- Trường hợp m = 1: F qs = (T qs)2 với T qs ứng với hệ số duy nhất cần kiểm định

- Trường hợp m = k – 1 : F qs trong kiểm định thu hẹp chính là F qs

trong kiểm định sự phù hợp

- Kiểm định thu hẹp hồi qui còn dùng cho những trường hợp khác

Ví dụ: Với tệp số liệu ch3bt5 hãy ước lượng hàm cầu về thịt lợn phụ thuộc vào giá và thu nhập theo dạng tuyến tính và tuyến tính lôga và cho nhận xét Có thể bỏ được biến nào ra khỏi mô hình hay không?

5.2 Các dạng thu hẹp hồi qui

Ví dụ Y i = β1 + β2X2i + β3X3i + u i (UR)

H0: β3 = 1; H1: β3 ≠ 1

H0 đúng ⇒ Y i = β1 + β2X2i + X3i + u i

⇔Yi – X3i = β1 + β2X2i + u i ⇔ Y i * = β1 + β2X2i + u i (R)

H0: β2 = β3; H1: β2 ≠ β3

H0 đúng ⇒ Y i = β1 + β2X2i + β2X3i + u i

⇔ Y i = β1 + β2(X2i +X3i) + u i ⇔Y i = β1 + β2X i * + u i (R)

H0: β2 + β3 = a; H1: β2 + β3 ≠ a

H0 đúng ⇒ Y i = β1 + β2X2i + (a – β2)X3i + u i

⇔ Yi– aX3i = β1 + β2 (X 2i –X 3i ) + u i⇔ Y i * = β1 + β2 X i * + u i (R)

6 Dự báo

6.1 Dự báo giá trị trung bình

0

ˆ

Y – Se(Y )tˆ0 α2(n – k) < E(Y/X0) < Yˆ0 + Se(Y )tˆ0 α1 (n – k)

0

X ˆ

σ

ˆ

1

X)−

6.2 Dự báo giá trị cá biệt

0 – Se(Y0)tα2(n – k) < Y0 < Y + Se(Y0 0) tα1 (n – k) Với Se(Y 0) = σ ˆ 1 + X0' (X' X) − 1 X0

7 Một số mô hình Kinh tế

7.1 Hàm thu nhập – chi tiêu

Y i : Thu nhập

C i : Chi tiêu

C i = β1 + β2Y i + u i

- C là chi tiêu cho tiêu dùng : β1 > 0; 1 > β2 > 0

- C là chi tiêu cho hàng hóa thông thường

- C là chi tiêu cho hàng hóa cao cấp

- C là chi tiêu cho hàng hóa thứ cấp

7.2 Hàm cầu

Q i : cầu về hàng hóa

P i : giá cả hàng hóa

PT i : giá hàng hóa thay thế

PB i : giá hàng hóa bổ sung

Q i = β1 + β2P i + β3PT i + β4PB i + u i

7.3 Hàm tăng trưởng

r : tỷ lệ tăng trưởng

t : thời gian

Yt và Y0 là giá trị của biến Y tại thời kỳ t và thời kỳ gốc

Yt = Y0(1+ r)t

⇒ LnYt = LnY0 + t.Ln(1 + r)

⇒ Y’

t = β1 + β2.t

7.4 Hàm chi phí – sản lượng

Q i : sản lượng

TC i : tổng chi phí, MC i : chi phí cận biên, AC i : chi phí trung bình, FC i: chi phí cố định

TC i = β1 + β2Q i + β3Q2 3

2

i + β4Q i + u i

→ FC i = β1 + u i

→ MC i = β2 + 2β3Q i + 3β4Q i + u i

→ AC i =

i

Q

1

+ β2 + β3Q i + β4Q i + u i

7.5 Hàm hyperbol

Y=

X

2 1

1

β

β +

Là hàm phi tuyến đối với X song tuyến tính đối với tham số

phẩm

b Nếu β1 >0 và β2 < 0 khi đó đồ thị cong lên với mức tiệm cận trên là β1 Hàm này ding để phân tích sự phụ thuộc của chi tiêu vào thu nhập

c Nếu β1 <0 và β2 > 0 thì đó là đường cong Philips, nó cong xuống và tiệm cận

β1 ở dưới trục hoành

7.4 Hàm mũ – Hàm Loga tuyến tính

Mô hình kinh tế có dạng Y i =β0X2i β2 X3i β 3

⇔ lnY i = lnβ0 + β2lnX2i + β3lnX3i

Xột mụ hỡnh LY i = β1 + β2 LX2i + β3LX3i + v i

⇔ E(Y / X2i , X3i) = eβ1X2i β 2X3i β3

β1 : E(Y/X 2i = X 3i = 1) = eβ1

β2 = εE(Y)/X2 : Khi X 2 thay đổi 1%, yếu tố khỏc khụng đổi, thỡ E(Y)

thay đổi β2 %

Vớ dụ mụ hỡnh : E(Q i ) = eβ1K iβ 2L iβ 3

7.5 Hàm nửa Loga

*Mụ hỡnh : Y i = β1 + β2 lnX i + u i

β1 = E(Y/X = 1)

β2: Khi X tăng 1% thỡ E(Y) thay đổi β2 đơn vị

*Mô hình : LnY i = β1 + β2 X i + u i

β2: Khi X tăng 1 đơn vị thì E(Y) thay đổi β2%

7.6 Hàm chi phớ – lợi ớch

C i : chi phớ

U i : lợi ớch

Ui = β1 + β2C i + β3C i2 + u i

β2: >0 do LI đồng biến CP

β2 <0 : LI cận biờn giảm dần