Chứng minh rằng 0.5 điểm 6 trong các số lấy ra có ít nhất hai số nguyên tố cùng nhau.. Mà hai số thuộc cùng một cặp là hai số 0.25 nguyên tố cùng nhau nên ta được đpcm.[r]
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN (chuyên)
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
điểm Câu
1
Cho biểu thức
P
x
÷
1
2 1 , với x>0,x¹ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị biểu thức P tại x= 46 6 5 3 5 1- - ( - )
2.0 điểm
a
P
x
ç
2
x
=
( )( ) .
x x
+
1
0.25+0.25
b
Do đó P= - =
2 2
Câu
2 Cho phương trình x - mx+m - m- =
2 2 2 4 3 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho biểu thức T =x12+ -x22 x x1 2
đạt giá trị nhỏ nhất
1.0 điểm
Phương trình đã cho có 2 nghiệm
3
4
0.25
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Theo định lý Viet:
1 2
2
1 2
2
4 3
T =x2+ -x2 x x = x +x 2- x x
Do
3 4
m
nên m+ ³
21 6
4 Suy ra T ³
9
16 Vậy khi
3 4
m
, T đạt giá trị nhỏ nhất bằng
9
16.
0.25
Câu
3 a) Giải phương trình: 4(x2+ =1) 3 2x2- 7x+ +3 14x ( )1
x
x
é ³ ê
ê £ ê 2
3
2
0.125
( )1 Û 4x2- 14x+ -4 3 2x2- 7x+ =3 0 0.125
Û 2 2( x2- 7x+ -3) 3 2x2- 7x+ -3 2 0= 0.25 Đặt t= 2x2- 7x+3(t³ 0) Phương trình trở thành:
( )
t
t t
é=
ê
ê=-ê 2
2
2
0.125+0.125
Với t= Þ2 2x2- 7x+ = Û3 2 2x2- 7x- =1 0 0.125
4 (thỏa mãn)
Kết luận: x
±
Chú ý Thí sinh không đối chiếu điều kiện trừ toàn bài 0.125đ.
0.125
b) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
x y xy xy x y
-ïí
ïî
2
y
x y
ìïï ³
ïí
ïï + ³
ïî
1 3
Xét y- + x+ y- = Û x= =y
1
3. Thay vào (2) không thỏa mãn
0.25
Trang 3Xét .
x
y
é
ê ¹ ê
ê ¹ ê ê
1 3
1 3
-1
0.25
x y
é =
ê
-ê
0
3
0.125
Với x = y, thay vào (2) ta được:
x4- 4x3+7x2- 6x+ = Û2 0 x- 12 x2- 2x+ = Û2 0 x=1
Khi đó y=1. Vậy nghiệm của hệ là (1; 1)
Chú ý Thí sinh không xét trường hợp x= =y
1
3 trừ toàn bài 0.25đ.
0.25
Câu
4
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp
tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại T Gọi (T) là đường tròn
tâm T bán kính TA Đường tròn (T) cắt đoạn thẳng BC tại K.
a) Chứng minh rằng TA2=TB TC. và AK là tia phân giác góc ·BAC.
b) Lấy điểm P trên cung nhỏ AK của đường tròn (T) Chứng minh rằng
TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC
c) Gọi S, E, F lần lượt là giao điểm thứ hai của AP, BP, CP với (O).
Chứng minh rằng SO^EF
3.0 điểm
a) Chứng minh rằng TA2=TB TC. 1.0 điểm
Trang 4Xét hai tam giác TAB và TCA có:
góc T chung và TAB· =TCA· (cùng chắn cung AB). 0.25+0.25
Do đó DTAB: DTCA Suy ra .
TA TB TA TB TC
TC =TAÞ 2=
(đpcm) 0.25+0.25
Chứng minh AK là tia phân giác góc ·BAC. 0.5 điểm
Ta có ·BAK+TAB· =TKA· (tam giác TAK cân tại T) 0.125
Mà TKA· =KCA KAC· +· (góc ngoài của tam giác KAC) 0.125
Suy ra BAK· +TAB· =KCA KAC· +· Hơn nữa TAB· =KCA· (cmt)
Do đó BAK· =KAC· hay AK là tia phân giác góc ·BAC. 0.25
b) Chứng minh rằng TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
Ta có TA=TP (do PÎ »AK), mà TA2=TB TC. nên TP2=TB TC. 0.25 Suy ra
TP TC
TB =TP
Xét hai tam giác TPBvà TCP có: 0.25
Góc T chung và
TP TC
TB=TP
Suy ra TPB· =TCP· Do đó TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
Vì TPB· =TCP· (cmt) và TCP· =BCF· =BEF· (tứ giác BCEF nội tiếp)
Chú ý rằng tam giác TAP cân tại T và tam giác OAS cân tại O Gọi R là
giao điểm của SO và TP
Ta có ·PSR+RPS· =OAP· +·APT =OAP· +PAT· =90o Þ PRS· =900.
Do đó SO^TP (2) Từ (1) và (2) suy ra SO^EF
0.25
Trang 55 Cho biểu thức Q=a + a - a - a+
4 2 3 16 2 2 15 Tìm tất cả các các giá trị
Q=a4+2a3- 16a2- 2a+15= a4+2a3- 2a- 1- 16a2- 16 0.25
= -(a 1)(a+1)3- 16(a2- 1). 0.25
Với a lẻ, a=2k+1,k Î ¢
Khi đó: (a- 1)(a+1)3=2 2k k( +2)3=16k k( +1 16)M
Mà 16(a2- 1 16)M nên Q chia hết cho 16.
0.25
Với a chẵn, a=2k k, Î ¢
Khi đó: (a- 1)(a+1)3=(2k- 1 2)( k+1)3 là số lẻ nên không chia hết
cho 16 Do đó Q không chia hết cho 16.
Kết luận: a là số nguyên lẻ.
Chú ý Thí sinh dự đoán được a lẻ nhưng chứng minh sai thì được
toàn bài 0.25đ.
0.25
Câu
6 a) Từ 2016 số: , , , ,
1 2 3 2016 ta lấy ra 1009 số bất kì Chứng minh rằng trong các số lấy ra có ít nhất hai số nguyên tố cùng nhau 0.5 điểm
Chia các số đã cho thành 1008 cặp như sau:
( ; ), ( ; ), , (12 3 4 2015 2016; ) 0.25
Chọn 1009 số từ 1008 cặp trên nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít
nhất hai số thuộc cùng một cặp Mà hai số thuộc cùng một cặp là hai số
b) Cho hai số thực a, b đều lớn hơn 1 Chứng minh rằng:
ab
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Tương tự:
ab
b a- 1£
2 , nên a b b a ³ ab
1 1 Dấu “=” xảy ra khi a= =2b
0.125+0.125
3
Đặt t= 3ab+ Þ4 3ab= -t2 4 Khi đó:
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta được: S ³ . + =
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
t= 4 hay a= =2b .
0.125+0.125
Trang 6LƯU Ý: Học sinh giải theo cách khác đúng, khoa học theo yêu cầu bài toán, giám khảo cân
nhắc cho điểm tối đa từng phần.