Bài tập Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:.. Suy ra đpcm.Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.[r]
Trang 1Bài tập Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2+y2+z2≤ xyz
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= x
x2+yz+
y
y2+zx+
z
z2+xy
Bài giải Trước hết ta chứng minh xy +yz+zx
x2+y2+z2 ≤ 1
Xét hiệu x ❑2+y2
+z2−(xy+yz+zx)=k
Suy ra 2k=2x ❑2+2 y2+2 z2−2 xy −2 yz − 2 zx = ( x − y )2+( y − z )2+( z − x )2≥ 0
Suy ra đpcm.Đẳng thức xảy ra khi x=y=z
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số thực dương,ta có
x ❑2+yz ≥ 2√x2yz=2 x√yz ; y ❑2+zx ≥ 2√y2zx=2 y√zx
z ❑2
+xy ≥ 2√z2xy=2 z√xy
Suy ra P≤ x
2 x√yz+
y
2 y√zx+
z
2 z√xy =
1
2√yz+
1
2√zx+
1
2√xy
Mặt khác,theo bất đẳng thức cô-si,ta có
1
x+
1
y ≥
2
√xy⇒ 1
4(1x+
1
y)≥ 1
2√xy
Tương tự 1
4(1y+
1
z) 2√1yz ;
1
4(1z+
1
x)≥ 1
2√zx ;
Suy ra P 1
4(1x+
1
y+
1
y+
1
z+
1
z+
1
x)=1
2(1x+
1
y+
1
z)=1
2.
yz +xz +xy
1
2.
yz+xz+xy
x2
+y2
+z2
1 2
Min (P)=
1
x2
=yz
y2=zx
z2
=xy
x2+y2+z2=xyz
x= y=z
⇔ x= y =z=3
¿{{ { {
Họ và tên:Nguyễn Công Hải-Lớp 8a3-Trường THCS Lâm Thao