Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm.. Điểm toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017
Môn thi: TOÁN - Bảng B Ngày thi: 03/03/2017
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1: (3,5 điểm)
Cho biểu thức 5 4 3 2 2
A
(với x0;x16;x1)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A1
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 x 6 x 1 9
b) Giải hệ phương trình:
4 5 10
4 2 7
Bài 3: (2,5 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:
1) n là bội số của 5
2) n8 là số chính phương
3) n3 là số chính phương
Bài 4: (7,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A là một điểm cố định trên
nửa đường tròn (AB C; ), D là điểm chuyển động trên AC Hai đoạn thẳng BD
và AC cắt nhau tại M, gọi K là hình chiếu của M trên BC
a) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK
b) Chứng minh rằng BM BD CM CA không đổi khi D di chuyển trên AC c) Khi D di chuyển trên AC ( DC ), chứng minh đường thẳng DK luôn đi
qua một điểm cố định
Bài 5: (2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A2x 1 4 x5x2 với 1 1
5
x
-Hết -
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2
Trang 2SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2017
Môn: TOÁN (BẢNG B)
(Hướng dẫn chấm này có 04 trang)
Bài 1
3,5đ
Câu a
2,0 đ
5 4 4 1 3 2 4 21
A
1,0
=
1 31 41
3 1 4
x x
Câu b
1,5 đ
A
4
x
x
Kết hợp với điều kiện xác định tìm được 0 x 16;x 1
(nếu không chỉ đủ kq là 0 x 16;x 1 thì không cho điểm bước này )
0,25
0,5
Bài 2
5,0đ
Câu a
2,5 đ
2
6 1 9
x x x ( đkxđ x 1) 0,25
2
2 1 1 6 1 9
Trường hợp 1: x 4 x1
do x 1 0 x 4 0 hai vế không âm bình phương
ta có x2 + 8x + 16 = x + 1 x2 + 7x + 15 = 0
2
7 4.15 0
phương trình vô nghiệm
0,5
Trường hợp 2: 2 x x1 21 2 (1)
4 4 1 (2)
x
Pt(2) x2 5x 3 0
2
( 5) 3.4 13 0
Phương trình (2) có hai nghiệm x1 = 5 13
2
; x2 = 5 13
2
0,5
Trang 3Đối chiếu với điều kiện (1) ta thấy chỉ có nghiệm x2 = 5 13
2
thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 5 13
2
Câu b
2,5đ
2
(2 ) 2(2 ) 3 0 (1)
4 2 7 (2)
1,0
Pt(1) 2 1 2 3 0 2 1
2 3
TH1: y2x1 thay vào phương trình (2) ta có
2x2 x 9 0 (phương trình vô nghiệm) 0,5 TH2: y2x3 thay vào phương trình (2) ta có
2
2x 3x 1 0 phương trình có hai nghiệm
1
2 2
0,5
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm 1; 1 và 1; 2
2
0,25
Bài 3
2,5đ
Giả sử tìm được n thỏa tc/1 ta đi chứng minh n không thỏa tc2;3
n là bội của 5 n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 0,25 Vậy n + 8 có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8
n 3 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7
0,5
Mà một số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0; 1;4;
5;6;9
Nên n+8 và n3 đều không phải là số chính phương t/c 2
và 3 đều sai (trái gt) Vậy tính chất 1 sai; t/c 2; 3 đúng
0,5
Ta đi tìm n thỏa mãn tc 2,3 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận phần trên)
Đặt
2 2
8 3
(p; k N)
2 2
11
p k
Do p,kN p k N p k; Z p k; p k; Kết hợp với (1) 11 6
0,75
Vậy n 28
(hs có thể làm bài tập này bằng cách xét 3TH mỗi TH chỉ đúng 2
Trang 4Bài 4
7,0đ
Câu a
K M
O
A
D
a Tứ giác MKCD nội tiếp MDK MCK 0,5
(hai góc nội tiếp (O) cùng chắn AB) MDK MDA hay DM
là phân giác của tam giác ADK
1,0
Tương tự chứng minh được AM là phân giác của tam giác ADK Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK 0,5
Câu b
2,5đ
b Hai tam giác BMK và BCD đồng dạng
BM BCBM BDBK BC
1,0 Tương tự ta có CM CA CK CB. 0,5
2
Do BC không đổi, vậy BM BD CM CA không đổi khi D
Câu c
2,5đ
c Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK tại I 0,5
Lại có tứ giác MDCK nội tiếp KMCKDC 0,5 Vậy IACIDCtứ giác ADCI nội tiếp hay I đường tròn
ngoại tiếp tam giác ADC I O cố định, mà I đường
thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định Vậy I cố định hay DK qua I cố định
1,0
Bài 5
2,0đ
2
với 1 1
5
x
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số (x1) và 1 5x không
âm
Có ( 1)(1 5 ) ( 1) (1 5 ) 1 2
2
0,5
Trang 51 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa
2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết
3 Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm,
không làm tròn
Hết
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x 1) 1 5x6x 0 x 0 thỏa điều kiện 1 1
5
x
Vây giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x0 0,25