Từ đó suy ra độ dài a, b, c là các cạnh của một tam giác Chú ý: 1 Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.. 2[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS HOẰNG SƠN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN LẦN 1 NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán
(Thời gian: 150 phút - không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức
:
P
1) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định 2) Tìm giá trị của x để giá trị của P bằng 0
3) Tìm giá trị của x để P 1
Câu 2 ( 4 điểm):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 9x227x19
2) Cho đa thức: Ax y y z z x xyz
a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x + y + z chia hết cho
6 thì A - 3xyz chia hết cho 6
Câu 3 ( 4 điểm):
1) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a3
+b3
Tính P= ab2
a2+b2−c2+
bc 2
b2+c2−a2+
ca 2
c2+a2− b2
2
2
2 2016
x
Câu 4 (7 điểm):
1) Cho hình bình hành ABCD có góc A = 1200 Đường phân giác của góc
D đi qua trung điểm của cạnh AB
a) Chứng minh: AB = 2AD b) Gọi F là trung điểm của cạnh CD Chứng minh: ADF là tam giác đều
và AFC là tam giác cân
c) Chứng minh AC vuông góc với AD 2) Cho tam giác ABC, trong tâm G (AB < AC) Qua G vẽ đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC ở D và E Chứng minh rằng: 3
ADAE
Câu 5 (1 điểm): Cho a, b, c là các độ dài thỏa mãn điều kiện:
1
Chứng minh rằng: a, b, c là các cạnh của một tam giác
Họ tên: Số báo danh :
Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2
TRƯỜNG THCS
HOẰNG SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HSG CẤP HUYỆN LẦN 1 NĂM HỌC 2016-2017 - MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1
(4 đ)
1) Điều kiện:
x x x 0,25 đ 2) Rút gọn:
3
3
3 2
:
1
.
.
1 1
P
x x
Vì: x2 + 1 > 0 với mọi
x Do đó không có giá trị nào của x để P
= 0
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ 0,5 đ
3) Vì P 1 nên P = 1 hoặc P = -1
+ Nếu: P = 1 thì
2
2
1
1
x
x
hai giá trị này không thỏa mãn điều kiện + Nếu: P = -1 thì
2 2
x
x
với mọi x Vây không có giá trị nào của x để P 1
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
2a
2
0,25 0,5 0,25
Trang 3Câu 2b
3
3 3
1
2 1
2
Vậy x y ; 1;1
0,25 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
2a) Ta có:
A x y y z z x xyz = (x + y + z)(xy + yz + zx)
b) Vì x, y, z là các số nguyên và x + y + z
6 nên A 6 Mặt khác: x + y + z
6 nên trong ba số x,
y, z phải có ít nhất một số chẵn, suy ra:
xyz 2 => 3xyz 6
Suy ra: A - 3xyz chia hết cho 6
1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Câu 3
( 4 đ)
Từ a3+b3c3=0
⇔( a+b+c )(a2
+b2
+c2− ab − bc − ca)=0
Ta có
a2
+b2
+c2≥ ab+bc+ca
vì a,b,c đôi một khác nhau nên không xảy
ra đẳng thức
Do đó a+b+c= 0
⇒ a=−b − c b=−c −a c=− a −b
¿ {{
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
Trang 4− a− b¿2
¿
− b −c¿2
¿
− c − a¿2
¿
c2
+a2−¿
b2+c2−¿
a a
+b2−¿
¿
P=ab
¿
Ta có:
4 2 2 2 3 4 2 2 2013
Ax x x x x
2 2 2 2 2 2 2 2 2013
x2 2 x2 2x 1 2013 x2 2 x 12 2013
Với mọi x, ta có:
x2 2 x 12 0 Ax2 2 x 12 2013 2013 Đẳng thức A = 2013
xảy ra khi và chỉ khi:
x – 1 = 0 x = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất
của A là: minA =
2013 x = 1
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25
+) Ta có:
2
2016
B
x
Với mọi x 0, ta có:
2
2016
0 2016
x
x
2
x
B
x
Đẳng thức
2015 2016
B
xảy ra khi và chỉ khi:
x – 2016 = 0 x =
2016
Vậy giá trị nhỏ nhất
của B là:
2015
min
2016
B
x =
0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 52016 1a) Gọi E là trung điểm của AB Ta chứng minh: ADE cân
Suy ra: AD = AE, mà
AE = EB = AB/2 =>
AB = 2AD b) + Xét ADF có
AD = DF do DF =
AE =AB/2 (AB = DC)
Suy ra: ADF là tam giác cân mà góc A =
1200 => góc D = 600
Vậy ADF cân và có
1 góc bằng 600 nên
ADF là tam giác đều + Ta có: AF = FD
= DC/2 mà FC = DC/2 => AF = FC Suy ra: AFC là tam giác cân
c) Do ADF đều nên góc AFC = 1200
Theo câu b) AFC là tam giác cân nên góc ACF = 600/2 = 300
Xét ADC có:
ADC + DCA = 600
+ 300 = 900 =>
DAC = 900
hay: AC vuông góc với AD
E
F
2,0đ 1,5 đ
1,5đ
Câu 5
(1 đ)
Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam 0,25 đ
Trang 6giác thì:
a < b + c; b < a + c
và c < a + b
Theo bài ra ta có:
1
c(a2 + b2 - c2) +a(b2
+ c2 - a2) + b(c2 + a2 -
b2) - 2abc > 0
a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b - a3 - b3 -
c3 - 2abc >0 (*) Vì: (b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) = a2b +
a2c + b2a + b2c + c2a +
c2b - a3 - b3 - c3 - 2abc Nên (*) (-a + b + c) (a - b + c)(a +b - c) >
0
Ta chứng minh được
cả ba thừa số đều dương tức:
Từ đó suy ra độ dài a,
b, c là các cạnh của một tam giác
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
Chú ý:
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho
đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.
4) Bài 4 nếu không vẽ hình thì không chấm điểm.
Trang 7Họ và tên:
Lớp:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 5
NĂM HỌC: 2016- 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Bài 1:
Tổng của hai số là 390 Nếu thêm số 3 vào trước số thứ hai sẽ được số thứ nhất Tìm hai số đó.
Bài 2:
Tính: (4,578 : 3,27 + 5,232 : 3,27) x 4,08 – 4,08
Bài 3:
Tìm số có hai chữ số biết rắng số đó gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị của nó.
Bài 4:
Bài 5:
Tìm X biết: X – 15,7 – 2,18 = 36,5
Bài 6:
Tổng số tuổi của hai anh em là 24 tuổi Biết rằng 6 năm nữa thì số tuổi của em bằng tuổi anh Tính tuổi hiện nay của mỗi người.
Bài 7:
Tính: 8 ngày 7 giờ - 3ngày 14 giờ
Bài 8:
Cho m = 27,63; n = 9,8; p = 3,67 Tính giá trị của p x n – m
Bài 9: Trung bình cộng của hai số bằng 15,5 Số bé bằng 13,5 tìm số lớn.
Bài 10:
Một bếp ăn dự trữ một số gạo cho 120 người ăn trong 20 ngày Sau khi ăn được 5 ngày, bếp ăn nhận thêm 30 người nữa (Mức ăn của mỗi người như nhau) Hỏi số gạo còn lại đủ ăn trong bao nhiêu ngày nữa?
Bài 11:
Tìm số tự nhiên X biết:
Bài 12:
Tính:
Bài 13:
Tính giá trị của A, biết a = 53,63: A = 4,1 x (a + 46,47) – 217
Bài 14:
Một cửa hàng mua 60000 đồng một hộp bánh Hỏi cửa hàng đó phải bán ra giá bao nhiêu để được lãi
25 % giá bán?
Bài 15:
Đoàn khách du lịch có 50 người, muốn thuê xe loại 4 chỗ ngồi Hỏi cần thuê ít nhất bao nhiêu xe để chở hết số khách đó?
Bài 16 ( tự luận):
Cho hình tam giác ABC vuông ở A có chu vi là 120 cm Độ dài cạnh AC lớn hơn AB 10 cm BC dài 50 cm.
a Tính độ dài cạnh AB; AC.
b Tính diện tích hình tam giác ABC