KIẾN THỨC CƠ BẢN YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP BÀI 6 * TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU 1* ĐỊNH LÍ VỀ HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU Định lí Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt[r]
Trang 1MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hãy tính x và y trong các hình sau
№Bài 1 : (h.1a,b)
14
5 7
x y Hình 1 x y
a) 16 b)
№Bài 2 : (h.2a,b)
x y x
2 6 2 8
a) Hình 2 b)
№Bài 3 : (h.3a,b)
x
7 x 9 y 5 x
y Hình 3 y
a) A b)
№Bài 4 : (h.4a,b)
AB
AC =
3 4
15 x
y
3 B C
a) Hình 4 b)
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 1 * MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ
ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Trang 21- HỆ THỨC GIỮA CẠNH GÓC VUÔNG VÀ HÌNH CHIẾU CỦA NÓ TRÊN CẠNH HUYỀN
Định lí 1
Như vậy,trong tam giác ABC vuông tại A ta nhận được
AB2 = BC.BH c2 = a.c’
AC2 = BC.CH b2 = a.b’
2- MỘT SỐ HỆ THỨC LIÊN QUAN TỚI ĐƯỜNG CAO
Định lí 2
Như vậy, Trong ΔABC vuông tại A (hình định lí 1), ta nhận được:
AH2 = BH.HC h2 = c’.b’
Định lí 3
Như vậy, Trong ΔABC vuông tại A (hình định lí 1), ta nhận được:
AB.AC = AH.BC b c = a h
Định lí 4
Như vậy, Trong ΔABC vuông tại A (hình định lí 1), ta nhận được:
2
1
AH = 2
1
AB + 2
1
AC 2
1
h = 2
1
b + 2
1
c
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
ĐỀ SỐ 2
№Bài 1 : Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 400 rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 400
№Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng
AC
AB =
sin B sin C
BC = 8cm Hãy tính cạnh AB(làm tròn đến chữ
Trong một tam giác vuông, bình phương một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông
Trang 3số thập phân thứ ba), biết rằng cos 300 0,866.
B = α (h.9) A 6cm B
Biết tg α =
5
12, hãy tính : Hình 9
a) Cạnh AC; b) Cạnh BC
№Bài 5 : Tìm giá trị x (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) trong mỗi tam giác vuông với
kích thước được chỉ ra trên hình 10, biết rằng:
tg 470 1,072; cos 380 0,788
16
38 0
x 63 x
47 0
a) Hình 10 b)
№Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB = 6cm, AC = 8cm Tính các tỉ số lượng
giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C
№Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ đường cao AH Tính sinB, sinC trong mỗi trường
hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng :
a) AB = 13; BH = 5 b)BH = 3; CH = 4
№Bài 8 : Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn
450 : sin750, cos530, sin47020’, tg620, cotg82045’
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 2 * TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1* KHÁI NIỆM VỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN
a) Mở đầu
Cho tam giác ABC vuông tại A Xét góc nhọn B của nó A
Cạnh AB được gọi là cạnh kề của góc B.
Cạnh AC được gọi là cạnh đối của góc B.
Ta đã biết : Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau khi
và chỉ khi chúng có cùng số đo của một góc nhọn, hoặc tỉ số B C
các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một góc nhọn trong một tam giác đó như nhau Như vậy, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một góc nhọn trong một tam giác vuông đặt trưng cho độ lớn của góc nhọn đó
b) Định nghĩa : Cho góc nhọn α Vẽ một tam giác vuông có góc nhọn α
Cách vẽ : Vẽ góc α, từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc α kẻ đường vuông góc với cạnh kia , xác định cạnh đối và cạnh kề của góc α Khi đó:
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α.Kí hiệu: sin α
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α Kí hiệu: cos α
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α.Kí hiệu: tg α (hay tan α)
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α
Trang 4Nhận xét : Từ định nghĩa trên ta nhận thấy tỉ số lượng giác của một gĩc nhọn luơn luơn
dương Hơn nữa sin α < 1 , cos α < 1.
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN
ĐỀ SỐ 3
giác của các gĩc đặt biệt, hãy tìm cạnh huyền và cạnh gĩc vuơng cịn lại (làm trịn đến chữ số thập phân thứ tư)
№Bài 2 :Đường cao BD của tam giác nhọn ABC bằng 6;đoạn thẳng AD bằng 5
a) Tính diện tích tam giác ABD ;
b) Tính AC, dùng các thơng tin dưới đây nếu cần : sinC =
3
5, cosC =
4
5, tgC =
3
4
№Bài 4 : Hãy tìm sinα, cosα (làm trịn đến chữ số thập phân thứ tư) nếu biết
a) tgα =
1
3; b) cotgα =
3
4
№Bài 5 : Dựng gĩc nhọn α, biết rằng
a) sinα = 0,25; b) cosα = 0,75 ; 8
c) tgα = 1 ; d) cotgα = 2
Hãy viết một phương trình để từ đĩ 70 0
cĩ thể tìm được x(khơng phải giải phương trình này) x 4
№Bài 7 : Cho hình 13.
Hãy tính sinL (làm trịn đến chữ số 30 0 80 0
thập phân thứ tư), biết rằng sin300 = 0,5 L Hình 12
4,2
sin α =
Cạnh đối Cạnh huyền; cos α =
cạnh kề cạnh huyền ;
tg α =
cạnhđối cạnh kề ; cotg α =
cạnhkề cạnhđố i;
Trang 530 0
N 2,8 M
Hình 13.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 2 * TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
2* TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU A
Hãy cho biết tổng số đo của hai góc
của góc α và góc β Lập các tỉ số lượng giác của góc α B α β C
và góc β Trong các tỉ số này, hãy cho biết các cặp tỉ số bằng nhau Hình 19.
Bài giải :
Ta có : α + β = 900 Theo định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn với h.19
Ta có : sin α =
AC
BC ; cos α =
AB
BC ; tg α =
AC
AB ; cotg α =
AB
AC ;
sin β =
AB
BC ; cos β =
AC
BC ; tg β =
AB
AC ; cotg β =
AC
AB ;
Từ đó rút ra : sin α = cos β ( =
AC
BC); cos α = sin β ( =
AB
BC)
AC
AB); cotg α = tg β (=
AB
AC )
BẢNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
α
Tỉ số lượng giác
300 450 600
sin α
12 22 23
cos α
23 22 12
tg α
1
3 1 3
cotg α 3 1
1 3
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Trang 6ĐỀ SỐ 4
№Bài 1: Các cạnh của một tam giác có độ dài 4cm, 6cm và 6cm Hãy tính góc nhỏ nhất của
tam giác đó
a) AC; b) BC; c) Phân giác BD
AB = AC = 8cm, CD = 6cm, BAC = 340
34 0 42 0
và CAD = 420 Hãy tính : 8 8
c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD B
C Hình 16.
giác ABC, có thể dùng các thông tin dưới đây nếu cần
sin200 0,3420, cos200 0,9397, tg200 0,3640
№Bài 5 : Từ đỉnh một ngọn đèn biển
cao 38m so với mặt nước biển, người 30 0
ta nhìn thấy một hòn đảo dưới góc 38m
300 so với đường nằm ngang chân đèn Hình 17.
(h.17) Hỏi khoảng cách từ đảo đến
chân đèn (ở mực nước biển) bằng bao nhiêu ?
có AB = 11cm, ABC = 380, ACB = 300 11
N là chân đường vuông góc kẻ từ A
đến BC (h.18) Hãy tính AN, AC 30 0 38 0
C N B
Hình 18
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 4 * MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1* CÁC HỆ THỨC
Trang 7Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và
cạnh góc vuông b, c (h.25) c b
B a C
VÍ DỤ 1: (?1/tr 85 – SGK) Viết các tỉ số lượng giác của góc B và góc C Từ đó hãy tính
mỗi cạnh góc vuông theo:
a) Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C
b) Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C
a) Ta có :
sin B =
AC
BC =
b
a b = a sin B; cos B =
AB
BC=
c
a c = a cos B
sin C =
AB
BC=
c
a c = a sin C; cos C =
AC
BC =
b
a b = a cos C b) Ta có :
tg B =
AC
AB =
b
c b = c tg B ; cotg B =
AB
AC=
c
b c = b cotg B
tg C =
AB
AC=
c
b c = b tg C ; cotg C =
AC
AB =
b
c b = c cotg C
Từ kết quả trên ta có định lí :
Như vậy, trong tam giác ABC vuông tại A, ta có các hệ thức :
b = a sin B = a cos C ; b = c tg B = c cotg C
c = a sin C = a cos B ; c = b tg C = b cotg B
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
ĐỀ SỐ 5
№Bài 1 : Tìm x và y trong các hình sau (h.20):
C D 4 C
C 50 0
8 y x 7 x
30 0 60 0 40 0
A P B A A P y Q B
Định lí : Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng :
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề ; b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề
Trang 8y D B AB//CD a) b) c) Q
№Bài 2 : Cho hình 21 Biết:
QPT = 180,
PTQ = 1500, 8
QT = 8cm,
TR = 5cm,
Hãy tính 18 0 150 0
a) PT; P T 5 R
b) Diện tích tam giác PQR Hình 21.
Cho BCD là tam giác đều
cạnh 5cm và góc DAB bằng
400 Hãy tính
a) AD;
b) AB
400
A B Hình 22 C
№Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết HB = 25cm,
HC = 64cm, tính B , C
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 4 * MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
2 ÁP DỤNG GIẢI TAM GIÁC VUÔNG:
Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn thì
ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và góc còn lại của nó Bài toán đặt ra như thế gọi là bài toán
“ Giải tam giác vuông”
Ví dụ 3 : Cho tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông AB = 5
AC = 8 (h.27) Hãy giải tam giác vuông ABC C
Theo định lí py-ta-go, ta có:
BC = AB2AC2 = 5282 9,434 8
Mặt khác
tg C =
AB
AC =
5
Tra bảng hay sử dụng máy tính bỏ túi, ta tìm được A 5 B
C 320, do đó B 900 – 320 580 Hình 27.
py-ta-go
Trang 9Bài giải :
Ta có: tg B =
8
5 = 1,6 B 580 P
BC =
AC sin B = 0
8 sin 58 9,434 36 0
PQ = 7 (h.28) Hãy giải tam giác vuông OPQ
Ta có Q
= 900 – P = 900 – 360 = 540 O Q
Theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông Hình 28
ta có :
OP = PQ.sin Q = 7.sin 540 5,663
OQ = PQ.sin P = 7.sin 360 4,114
SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN
TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
ĐỀ SỐ 6
№Bài 1 : Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm Chứng minh rằng bốn điểm
A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó
№Bài 2 : Cho góc nhọn xOy và hai điểm D, E thuộc tia Oy Dựng đường tròn tâm M đi qua D
và E sao cho tâm M đi qua tia Ox
№Bài 3: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo,
OA = 2cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2cm Trong năm điểm A, B, C, D, O,
điểm nào nằm trên đường tròn ? Điểm nào nằm trong đường tròn ? Điểm nào nằm ngoài đường tròn ?
№Bài 4 : Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB,
AC theo thứ tự ở D, E
a) Chứng minh rằng CDAB, BEAC
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng AK vuông góc với BC
№Bài 5 : Cho hình vuông ABCD.
a) Chứng minh rằng bốn đỉnh của hình vuông cùng nằm trên một đường tròn Hãy chỉ ra vị trí của tâm đường tròn đó
b) Tính bán kính của đường tròn đó, biết cạnh của hình vuông bằng 2dm
Trang 10№Bài 6 : Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn
ở D
a) Vì sao AD là đường kính đường tròn (O) ?
b) Tính số đo góc ACD
c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O)
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 1 *SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN. 1* NHẮC LẠI VỀ ĐƯỜNG TRÒN
Định nghĩa: Đường tròn tâm O, bán kính R (với R > 0)
là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R
Đường tròn như vậy được kí hiệu : (O; R) trong trường hợp
không cần chú ý đến bán kính có thể sử dụng kí hiệu (O)
* Vị trí tương đối của điểm và đường tròn :
Cho đường tròn (O; R) và điểm M, ta có :
Nếu OM < R M nằm trong đường tròn
Nếu OM = R M nằm trên đường tròn
Nếu OM > R M nằm ngoài đường tròn
Nhận xét : “ Nếu AMB = 900 thì M thuộc đường tròn đường kính AB”
2* CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN
Nhận xét :
3* TÂM ĐỐI XỨNG
4* TRỤC ĐỐI XỨNG
O R
1.Một điểm O cho trước và một số thực R > 0 cho trước xác định một đường tròn (O; R)
2 Một đoạn thẳng AB cho trước xác định một đường tròn đường kính AB
3 Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ một đường tròn đi qua ba điểm đó ( gọi là đường tròn ngoại tiếp ΔABC )
Đường tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đường tròn là tâm đối xứng
của đường tròn đó
Đường tròn là hình có trục đối xứng Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng
của đường tròn
Trang 11ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
№Bài 1 : Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn;
b) HK < BC
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
b) So sánh độ dài AC và BD Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì ?
№Bài 3 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính Gọi I
và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF
Chứng minh rằng IE = KF
№Bài 4 : Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm Dây BC của đường tròn vuông góc với
OA tại trung điểm của OA Tính độ dài BC
№Bài 5 : Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt
đường tròn (O) ở B và C
a) Tứ giác OBDC là hình gì ? Vì sao ?
b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA
c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều
№Bài 6 : Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm bên ngoài
đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn Vẽ dây CD vuông góc với OI tại
I Hãy cho biết ACBD là hình gì ? Vì sao ?
YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP
BÀI 2 * ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1* SO SÁNH ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY
Trang 12Định lí 1:
2- QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY:
Định lí 2 :
Định lí 3 :
AB là đường kính
AB cắt CD tại I AB CD
I O ; CI = ID
VÍ DỤ 2: (?1/tr 104 – SGK) Cho hình 67 Hãy tính độ dài dây AB, biết
OA = 13cm, AM = MB, OM = 5cm
Bài giải :
OM đi qua trung điểm M của dây AB (AB không đi qua O)
nên OM AB
Theo định lí py-ta-go, ta có :
AM2 = OA2 – OM2 A B = 132 – 52 = 144
AM = 144 = 12 (cm) AB = 2.AM = 2.12 = 24 (cm).
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
ĐỀ SỐ 8
№Bài 1 : Cho hình vẽ, trong đó hai dây CD, EF bằng nhau và vuông góc với nhau tại I,
IC = 2cm, ID = 14cm
Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây
E
O M
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy