Tài liệu Bai1 PTPTuyen pdf

NỘI DUNG NEWTON – RAPHSON.

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK2 0506

CHƯƠNG 1 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI

TUYẾN f(x) = 0

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (02/2006)

NỘI DUNG

NEWTON – RAPHSON.

1 KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT – CÔNG THỨC SAI SỐ

-Phương trình f(x) = 0 (1), f: hàm số liên tục, có đạo hàm Khoảng cách ly nghiệm: Đoạn [a, b] (hoặc khoảng (a, b) ), trên đó phương trình (1) có nghiệm α duy nhất

VD: Phương trình x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm:

ĐK đủ: [a, b] là KCLN của (1) khi

 Đạo hàm f’ không đổi dấu trên đoạn (hoặc khoảng) (a,b)

 f(a).f(b) < 0 (giá trị 2 đầu trái dấu) Tìm KCLN: Tính f’, lập bảng biến thiên; Cách 2: Đồ thị (máy!)

CÔNG THỨC SAI SỐ

-Công thức sai số tổng quát: Phương trình f(x) = 0 (1) với nghiệm chính xác α trên khoảng cách ly nghiệm [a, b]

VD: P/trình f(x) = x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm [0,1]

( )

1

m

x

f

[ ]









=

⇔

∈

∀

>

≥

∈

x f m

b a x

m x

f

b a x

b

min ,

0 '

: ,

, 1

1

biết đã

đúng gần

Nghiệm

Nếu chọn nghiệm gần đúng







∆

⇒

=

? 00015

0 /

? 00014

0

/ :

739

0

b

a

Giải:

Ghi nhớ: Sai số luôn làm tròn lên

PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

-Ý tưởng: Liên tục chia đôi khoảng cách ly nghiệm

f(x) = 0 trên KCL nghiệm [a, b] Ký hiệu: a 0 = a, b 0 = b ⇒

f(a 0 ).f(b 0 ) < 0 Chia đôi: c 0 = (a 0 + b 0 )/2 ⇒ KCL nghiệm mới?

Dừng với nghiệm xấp xỉ x = c n (trung điểm ở hàng thứ n)

0

f(a 0 ).f(c 0 ) < 0: KCL mới [a 0 , c 0 ]

0

f(c 0 ).f(b 0 ) < 0 → [c 0 , b 0 ]

2 +

−

≤

− b n a

1 2

log

log

−







 −

≥

⇔

a b

n

VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

-Xấp xỉ nghiệm của phương trình f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] với sai số 0.2

Giải: Lập bảng chứa mọi kết quả trung gian cần thiết

Tìm n để có thể xấp xỉ nghiệm f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] bằng phương pháp chia đôi, sai số 10 -8

DÃY LẶP ĐƠN

-Dãy lặp đơn: -Dãy{x n } xác định x n+1 = ϕ(x n ), ϕ(x): hàm lặp

VD: Kiểm tra những dãy sau có là lặp đơn? Nếu có, viết ra hàm lặp ϕ Tính 5 số hạng đầu của dãy (x 0 bất kỳ) Từ đó, đoán tính hội tụ? Tìm liên hệ giữa giới hạn dãy và hàm lặp ϕ

Dãy lặp đơn x n = ϕ(x n-1 ) hội tụ về α ⇒ α là nghiệm p/t x = ϕ(x)

1 15 /

/

10

cos /

1

3 1 1

+

=

=













=

+

+ +

n n

n n

n n

z z

c

ny y

b

x x

a

2 1 0

xn

n

2 1 0

zn

n

DÃY LẶP ĐƠN HỘI TỤ

-Minh hoạ sự hội tụ của dãy lặp đơn: x n+1 = ϕ(x n ) = ax n + b Dãy lặp hội tụ về nghiệm p/trình: x = ϕ(x) ⇒ α = b/(1 – a)

DÃY LẶP ĐƠN PHÂN KỲ

-Phân kỳ

Hội tụ khi dãy {x n } “co” lại ⇒ x2 − x1 = ϕ( ) ( )x1 −ϕ x0 ≤ q x1 − x0

HÀM CO

-Hàm y = ϕ(x) co trên [a, b] với hệ số co q ⇔ ∃ q, 0 < q < 1:

y

|ϕ’(x)| ≤ q < 1 ∀ x∈[a, b] ⇒ ϕ(x) co trên [a, b] với hệ số co q

VD: Hàm y = x 2 co trên [-1/4, 1/4]???

VD: Trong những hàm sau đây, hàm nào thoả điều kiện co? Xác định hằng số q với các hàm co đó

( )

x

x

c

R x

x x

b

x x x

a

<

<

∈ +

=

∈

=

∈

=

0 , , ,

1

1 /

, arcsin /

1 , 0 ,

cos /

2

ϕ

ϕ

ϕ

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

- Ph trình f(x) = 0 Xác định khoảng cách ly nghiệm [a, b]

 Đưa pt f(x) = 0 về dạng lặp đơn x = ϕ(x), ϕ co trên [a, b] Lấy x 0 bất kỳ ∈ [a,b] ⇒ Dãy lặp x n+1 = ϕ(x n ) → α

Chú ý: Nhiều cách chọn hàm ϕ ⇒ càng đơn giản càng tốt

Ước lượng sai số (q: hệ số co của hàm lặp đơn ϕ(x) )

0 1

q x

n

−

≤

−α

Tiên nghiệm:

−

≤

q

q

Số lần lặp tối thiểu:

⇔

≤

−α ε

n

x

q

x x

q n

log

1

VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

-Xấp xỉ nghiệm ptrình f(x) = x 3 + x – 1000 = 0 với sai số 10 -8

Giải: Khoảng cách ly nghiệm

Lặp đơn: x = 1000 – x 3 = ϕ(x): Kiểm tra điều kiện co?

( )x x

x = 3 1000 − = ϕ

[ ]

( )







−

=

=

∈

0

1000

10 , 9

n n

x

x

ϕ

Dãy lặp:

Sai số:

1

−

≤

q

q

0

CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

-Nhận xét: q = 0.0034 << 1 ⇒ Hội tụ rất nhanh

Vấn đề: Xây dựng hàm ϕ với q << 1?

Tìm số lần lặp để xấp xỉ nghiệm x – cosx = 0 trên [0,1] với phương pháp lặp đơn, x 0 = 0 với sai số 10 -8

Giải: Dạng lặp x = cosx = ϕ(x) ⇒ q =

Ước lượng sai số tiên nghiệm:

x 0 = 0 ⇒ x 1 = ϕ(x 0 ) = 1

x f

x

f x

x x

' 0

PHƯƠNG PHÁP LẶP NEWTON (TIẾP TUYẾN)

-f(x) = 0 ⇔ Dạng lặp đơn

•Minh hoạ hình học:

•Công thức lặp Newton : ( ) ( ) ( )

n

n n

n n

x f

x

f x

x g

x

'

+

: hội tụ nhanh

( ) ( ) ( )

x f

x

f x

x g

x

'

−

=

=

ĐIỀU KIỆN LẶP NEWTON – SAI SỐ

-Lặp Newton thất bại:

•

•

•

•

•

•

•

Điều kiện hội tụ: 1/ Đhàm f’, f” không đổi dấu trên [a, b] 2/ Giá trị lặp ban đầu thoả: f(x 0 ) f’’(x 0 ) > 0 (ĐK Fourier)

•Ước lượng sai số : Công thức tổng quát (chủ yếu) hoặc

( ) , max[ ] "

2 1 1

m

M x

b a n

n

n −α ≤ − − = •(Phức tạp hơn)

VÍ DỤ LẶP NEWTON – TIẾP TUYẾN

-Giải xấp xỉ f(x) = x – cosx = 0 trên [0, 1], sai số 10 –8

1/ Kiểm tra điều kiện hội tụ

1

2/ Xây dựng dãy lặp:

Sai số :

0

HỆ PHI TUYẾN – PP NEWTON – RAPHSON

-Minh hoạ : Hệ 2 phương trình, 2 ẩn







=

=

0 )

, (

0 )

, (

2 1 2

2 1 1

x x f

x x f

⇔

2

1 2

2 2

1

, :

,

0

x

x x

R

R f

f f

x f

























∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

2

2 1

2

2

1 1

1

) ( '

x

f x

f

x

f x

f x

f

Ký hiệu ma trận f’(x)

(ma trận Jacobi):

⇒ Có thể tính “giá trị” f’(x (0) ) tại

“điểm” x (0) cho trước Ký hiệu: x( )k = [x1k , x2k ] : Bộ nghiệm gần đúng ở bước thứ k

Xem x (k) đã biết Tính x (k+1) : giải thuật Newton - Raphson

1/ Tính ma trận A = f’(x (k) ) (thay x (k) vào) & vectơ b = –f(x (k) )

2/ Giải hệ p/tr (bằng máy bỏ túi) Ah = b Tính x (k+1) = x (k) + h

VÍ DỤ LẶP NEWTON – RAPHSON VỚI HỆ PHI TUYẾN

-Tìm nghiệm gần đúng x (1) của hệ phi tuyến sau với 3 chữ số lẻ:









= +

−

−

≡

=

− +

≡

0 1

5 2

) ,

(

0 ln

3 )

, (

1 2

1

2 1 2

1 2

2 2 1

1 2

1 1

x x

x x

x x f

x x

x x

x

x 1.5, 1.5 , (0) = −

Giải: Ma trận A = f’(x)

5 1

−

b “nhỏ”: x (k) gần nghiệm

n x (n) Ma trận Jacobian A Vectơ –f(x (n) ) Vectơ h

ỨNG DỤNG THỰC TẾ: LÝ THUYẾT MẠCH

-Mạch điện: Nguồn (pin) V 0 , Điện trở R, Tụ C, Cảm ứng L

R

L

0

V

C

i

C

q U

dt

di L U

iR

C

q Ri

dt

di L

0

2

2

= +

+

⇒

=

C

q dt

dq R dt

q

d L dt

dq i

L

R LC

e q t

Rt

0 0

2 2

2

1

























−

Tìm R (L, C đã biết) để năng lượng tiêu hao của mạch có vận tốc cho trước: q/q 0 = 0.01 với t = 0.05s, L = 5H, C = 10 –4 F

LỜI GIẢI VÍ DỤ THỰC TẾ

-Biến đổi phương trình thu được (ẩn R)

2

1 cos

0

2

























−

= −

q

q t

L

R LC

e R

Rt

( ) = 0.005 cos[ 2000 −0.01 2 ⋅(0.05) ] −0.01= 0

Khoảng cách ly nghiệm: R ∈ [0, 400 Ω] (2000 – 0.01R 2 ≥ 0) Giải thực tế: Đồ thị

P/p chia đôi (n = 21)

⇒ R = 328.1515 Ω