2 Nếu một hàm số đồng biến trên các tập A, B khác rỗng thì chưa chắc hàm số đó đã đồng biến trên tập A ∪ B.. Nếu một hàm số nghịch biến trên các tập A, B khác rỗng thì chưa chắc hàm số đ[r]
Trang 1Trao đổi về hai bài toán liên quan tới hàm số
Bài toán 1: (nguồn: cô Ngô Thị Phong)
Tìm m để hàm số
2
1
y
x
− + −
=
− đồng biến trên tập xác định
Lời giải
Tập xác định của hàm số
2
1
y
x
− + −
=
− là D= −∞ ∪ +∞( ;1) (1; )
Ta có
2
2
( 1)
y
x
=
i) Giả sử hàm số
2
1
y
x
− + −
=
− đồng biến trên D= −∞ ∪ +∞( ;1) (1; ) Suy ra hàm
số này đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1 , 1;) ( +∞)
- Vì hàm số
2
1
y
x
− + −
=
− đồng biến trên (−∞;1) nên 2x2 −4x+ − ≥ ∀ <5 m 0, x 1
- Vì hàm số
2
1
y
x
− + −
=
− đồng biến trên (1;+∞) nên 2x2 −4x+ − ≥ ∀ >5 m 0, x 1 Dẫn tới 2x2 −4x+ − ≥ ∀ ≠5 m 0, x 1 Xét hàm f x( ) =2x2 −4x+ −5 m xác định và liên tục trên ℝ Ta có ( ) 0,f x ≥ ∀ ≠x 1, nên
1
(1) lim ( ) 0
x
→
= ≥ Như vậy ( )f x ≥ ∀ ∈0, x ℝ Tam thức ( )f x có '∆ = 2(m−3) Vì thế ( )f x ≥ ∀ ∈0, x ℝ khi và chỉ khi , m≤3
ii) Bây giờ, với m≤3, ta có
- Nếu m=3 thì hàm số
2
1
y
x
− + −
=
− trở thành y=2x+1. Hàm ( )g x =2x+1
đồng biến trên ℝ nên hàm y=2x+1 đồng biến trên tập D= −∞ ∪ +∞( ;1) (1; )
- Nếu m<3, giả sử hàm
2
( )
1
x
− + −
− đồng biến trên tập hợp
( ;1) (1; ),
D= −∞ ∪ +∞ thì với mọi x x1, 2∈D x, 1 < x2, ta đều có h x( )1 <h x( 2) (1)
Nhận thấy
3 lim ( ) lim 2 1
1
m
x
−
−
nên tồn tại số thực x2 >1 sao cho 2
( ) 0
h x < Tương tự, vì
3 lim ( ) lim 2 1
1
m
x
−
−
nên tồn tại số thực x1 <1 sao cho h x( )1 >0 Rõ ràng lúc này x x1, 2∈D x, 1 < x2, và h x( )1 > >0 h x( 2) (2) Mâu
Trang 2thuẫn giữa (1) và (2) chứng tỏ khi m<3 thì
2
( )
1
x
− + −
− không phải là
hàm số đồng biến trên D= −∞ ∪ +∞( ;1) (1; ), mặc dù hàm số này đồng biến trên mỗi khoảng xác định (−∞;1 , 1;) ( +∞)
Từ các lập luận trên, ta kết luận được rằng hàm số
2
1
y
x
− + −
=
− đồng biến trên
tập xác định khi và chỉ khi m=3
Bình luận:
1) Nếu một hàm số đồng biến trên tập X (khác rỗng) thì nó cũng đồng biến trên tập con (khác rỗng) của tập X Nếu một hàm số nghịch biến trên tập X (khác rỗng) thì nó cũng nghịch biến trên tập con (khác rỗng) của tập X
2) Nếu một hàm số đồng biến trên các tập A, B (khác rỗng) thì chưa chắc hàm số đó đã đồng biến trên tập A∪B Nếu một hàm số nghịch biến trên các tập A, B (khác rỗng) thì chưa chắc hàm số đó đã nghịch biến trên tập A∪B
3) Nếu lim ( )
→ = và m< ≤ +∞b thì tồn tại số thực x0 sao cho f x( 0)>m
Nếu lim ( )
→ = và −∞ ≤ <b m thì tồn tại số thực x0 sao cho f x( 0)<m
4) Nếu lim ( )
→ + = và m< ≤ +∞b thì tồn tại số thực x0 >a sao cho f x( 0)> m Nếu
→ + = và −∞ ≤ <b m thì tồn tại số thực x0 >a sao cho f x( 0)<m
5) Nếu lim ( )
→ − = và m< ≤ +∞b thì tồn tại số thực x0 <a sao cho f x( 0)>m Nếu lim ( )
→ − = và −∞ ≤ <b m thì tồn tại số thực x0 <a sao cho f x( 0)<m
6) Nếu hàm số f x xác định, đồng biến và có đạo hàm trên khoảng K thì ( ) '( ) 0,
K thì f x'( )≤ ∀ ∈0, x K
Bài toán 2: (nguồn: thầy Nguyễn Duy Tình)
Tìm m để giá trị cực đại của hàm số y= − +x4 2mx2 −2m+1 bằng 9
Lời giải
Hàm số y = − +x4 2mx2 −2m+1 xác định trên ℝ và có đạo hàm ( 2)
i) Trường hợp 1: m≤0 Khi đó 'y = ⇔ =0 x 0
Trang 3x −∞ 0 +∞
'
y + 0 −
y 1 2m−
−∞ −∞
Trong trường hợp này, giá trị cực đại của hàm số đã cho đạt bằng 9 khi
0
4
m
m m
≤
⇔ = −
ii) Trường hợp 2: m>0 Khi đó y'= ⇔ =0 x 0,x= ± m
x −∞ − m 0 m +∞
'
y + 0 − 0 + 0 −
y 2
(m−1) (m−1)2
−∞ 1 2m− −∞
Trong trường hợp này, giá trị cực đại của hàm số đã cho đạt bằng 9 khi
2
0
4
( 1) 9
m
m m
>
⇔ =
Từ hai trường hợp trên suy ra, với m= ±4 thì giá trị cực đại của hàm số
y = − +x mx − m+ bằng 9
Bình luận:
7) Cần phải xét riêng các trường hợp hàm số y = − +x4 2mx2 −2m+1 có 1 cực trị, có 3
cực trị, vì ở từng trường hợp cụ thể đó, hàm số đạt cực đại tại những điểm khác nhau
8) Phân biệt điểm cực đại của hàm số và giá trị cực đại (hay còn gọi là cực đại) của hàm
số
9) Dựa vào đặc điểm của hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số của x âm, ta thấy hàm 4
bằng 9 trên ,ℝ tức là ( 4 2 )