Về hai bài toán tối ưu hai cấp luận án thạc sĩ

Cụthể, trong luận văn này chúng ta sẽ thấy: việc tìm điểm Pareto và Pareto yếucủa bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine lại quy về việc giải bàitoán tối ưu với ràng buộc bất đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

Mục lục

1 Bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu

1.1 Bài toán tối ưu véc tơ 6

1.2 Hàm phân thức affine 7

1.3 Bài toán tối ưu véc tơ phân thức affine 10

1.4 Phép tính cận đối ngẫu Lagrange để giải bài toán tối ưu trên tập Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine 13

1.4.1 Bài toán tối ưu trên tập Pareto 13

1.4.2 Phương pháp giải 18

2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 26 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 26

2.1.1 Mô tả bài toán 27

2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 27

2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 36

2.2.1 Mô tả bài toán 36

2.2.2 Bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 37

2.2.3 Thuật toán và sự hội tụ 39

Tài liệu tham khảo 47

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp

đỡ nghiêm túc của GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học, Viện Hàn lâmKhoa học và Công nghệ Việt Nam) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến thầy và kính chúc thầy luôn luôn mạnh khỏe

Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô giảng dạy tại Đại học Thái Nguyên vàtại Viện Toán học đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích không chỉ trongkhoa học mà còn cả trong cuộc sống

Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gianhọc tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thành luận văn này.Cuối cùng, con xin cảm ơn bố mẹ Nhờ có bố mẹ không quản gian khó, vất

vả sớm khuya nhưng vẫn tạo mọi điều kiện tốt nhất để con có được thành quảngày hôm nay Xin kính tặng bản luận văn này cho Bố và Mẹ

Thái Nguyên, tháng 6 - 2013Người viết Luận văn

Vũ Văn Dự

Mở đầu

Bài toán tối ưu đa mục tiêu và bài toán bất đẳng thức biến phân là hai lớpbài toán được nảy sinh trong quá trình nghiên cứu và giải các bài toán thực tế,như: bài toán kinh tế, vật lý toán, giao thông đô thị, lý thuyết trò chơi Cả hailớp bài toán này cũng mới được quan tâm đến trong khoảng 50 năm trở lại đây,

do tính ứng dụng rộng rãi của nó trong đời sống kinh tế - xã hội Tuy nhiên,việc nghiên cứu các bài toán này lại gặp rất nhiều khó khăn, nhiều vấn đề liênquan đến các bài toán này vẫn chưa được giải quyết

Bài toán tối ưu đa mục tiêu và bài toán bất đẳng thức biến phân có mối quan

hệ tương hỗ cho nhau Nhiều khi việc tìm nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu đamục tiêu lại quy về việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số Cụthể, trong luận văn này chúng ta sẽ thấy: việc tìm điểm Pareto và Pareto yếucủa bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine lại quy về việc giải bàitoán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số Trongbản luận văn này, chúng ta sẽ tìm hiểu về bài toán tối ưu trên tập Pareto củabài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine và bài toán bất đẳng thứcbiến phân hai cấp (viết tắt là BVI - Bilevel Variational Inequalities) Cụ thể:Đối với bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàmphân thức affine, chúng ta sẽ tìm hiểu các kiến thức cơ bản, như: bài toán tối

ưu véc tơ phân thức affine, điểm Pareto (hay nghiệm hữu hiệu), điểm Paretoyếu (hay nghiệm hữu hiệu yếu), định lý về điều kiện cần và đủ của điểm Pareto

và Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine Đồng thời,chúng ta cũng sẽ trình bày một thuật toán nhánh-cận để giải bài toán tối ưutrên tập Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine (còngọi là Thuật toán LB)

Những nghiên cứu ban đầu về bài toán tối ưu đa mục tiêu lần đầu được giớithiệu từ cuối thế kỷ XIX bởi nhà kinh tế học Vilfredo Federico Damaso Pareto

(1848 - 1923) Tuy nhiên tối ưu đa mục tiêu chỉ được quan tâm và có nhữngbước phát triển đột phá trong khoảng 40 năm trở lại đây Bài toán tối ưu đamục tiêu hàm phân thức affine (viết tắt là bài toán (V P )) là sự mở rộng tựnhiên của bài toán tối ưu véc tơ tuyến tính Các kết quả nghiên cứu cho thấyrằng tập Pareto của bài toán (V P ) khác biệt và phức tạp hơn nhiều so với tậpPareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính.

Bài toán tối ưu trên tập Pareto và tập Pareto yếu thuộc lớp bài toán tối ưuhai cấp, lớp bài toán này lần đầu được đề xuất năm 1972 và hiện nay đang rấtđược quan tâm bởi những ứng dụng rộng rãi của nó trong thực tiễn Bài toántối ưu trên tập Pareto (hoặc tập Pareto yếu) của bài toán tối ưu đa mục tiêuphân thức affine được viết tắt là bài toán(P ) (hoặc bài toán(W P )) cũng là mộtdạng của bài toán tối ưu hai cấp Trên thực tế, trong hoạt động lao động sảnxuất cũng đòi hỏi việc giải các bài toán này Ví dụ, một công ty sản xuất đồ

ăn nhanh có p nhà máy (được đặt tại các địa phương khác nhau), mỗi nhà máylại sản xuất n loại đồ ăn khác nhau Hàm lợi nhuậnf (x) của công ty phụ thuộcvào phương án sản xuất số lượng sản phẩm x = (x1, x2, , xn) Công ty muốntìm một phương án sản xuất số lượng sản phẩm x sao cho lợi nhuận thu được

là cao nhất Nhưng để đảm bảo chất lượng sản phẩm lại không làm hại đến môitrường thì công ty phải tìm một phương án sản xuất số lượng sản phẩm x saocho tỷ số giữa chi phí trong sản xuất của mỗi nhà máy với chi phí của cả công

ty là nhỏ nhất Vì vậy, thay vì tìm hàm cực đại f (x) trên các tập phương ánchấp nhận được, công ty phải thực hiện bài toán cực đại hàmf (x) trên tập hữuhiệu của bài toán (V P ) Tức là, tìm phương án sản xuất số lượng sản phẩm x

sao cho thu được lợi nhuận cao nhất trên các tập phương án sản xuất thỏa mãnyêu cầu tiết kiệm chi phí trong sản xuất những vẫn đảm bảo môi trường.Việc nghiên cứu bài toán (P ) và bài toán (W P ) gặp rất nhiều khó khăn, bởi

vì tập nghiệm của bài toán (V P ) thường không lồi, không còn là hợp của cácmặt đa diện ràng buộc và có cấu trúc phức tạp

Đối với bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp được xét trong bản luậnvăn này sẽ lần lượt tìm hiểu về: bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, cácđiều kiện tồn tại nghiệm cơ bản của bất đẳng thức biến phân đơn điệu Đồngthời, chúng ta cũng sẽ trình bày một bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập

nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu; và cũng tìm hiểu vềmột thuật toán sử dụng quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo có kết hợp phươngpháp của đạo hàm tăng cường và kỹ thuật cắt siêu phẳng để giải bài toán haicấp đã nói ở trên.

Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu bởi Hartman vàStampacchia năm 1966 Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quanđến việc giải bài toán điều khiển tối ưu và bài toán biên của phương trìnhđạo hàm riêng Chúng ta phải kể đến sự đóng góp của các nhà toán học, như:

D Kinderlehrer, Stampacchia, S Facchinei, J Pang đã có những công trìnhnghiên cứu công phu liên quan đến bất đẳng thức biến phân và các ứng dụngcủa nó Ở Việt Nam, cũng có nhiều nhà nghiên cứu theo đuổi lĩnh vực này, như:

Lê Dũng Mưu, Phạm Quốc Khánh, Nguyễn Đông Yên, đã có những nghiêncứu chuyên sâu về bất đẳng thức biến phân và xây dựng phương pháp giải chocác bài toán bất đẳng thức biến phân

Những năm gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bướcphát triển mạnh mẽ và thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứubởi tính ứng dụng rộng rãi của nó Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng

là xây dựng phương pháp giải Công cụ được cho là hữu hiệu hơn cả là phươngpháp dựa vào việc tính điểm bất động Tuy nhiên, nếu gặp phải bài toán bấtđẳng thức biến phân có tham số thì việc giải quyết nó lại không hề dễ dàng vìphải sử dụng đến các kỹ thuật của tối ưu toàn cục Ngay trong bản luận vănnày, chúng ta gặp phải trường hợp tương tự khi phải tìm điểm Pareto và Paretoyếu của bài toán (V P ), ta đã đưa về việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân

có tham số Điều này thật sự khó khăn

Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp được xét trong bản luận văn này

là một trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số.Bài toán được xây dựng bởi một bài toán tối ưu trên tập nghiệm của một bàitoán bất đẳng thức biến phân (điều này sẽ được trình bày rõ ràng hơn trongMục 2.2, Chương 2) Ta cũng lưu ý rằng trong các phương pháp hiệu chỉnh nhưhiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề, nếu bài toán bất đẳng thức biến phân làđơn điệu thì các bài toán con cần giải quyết cũng là đơn điệu, nhưng nếu bàitoán bất đẳng thức biến phân là giả đơn điệu thì các bài toán con cần giải quyết

lại không kế thừa được tính đơn điệu Vấn đề được đặt ra là: Xây dựng thuậttoán để giải bài toán BVI với ràng buộc là một bất đẳng thức biến phân giảđơn điệu trên tập nghiệm của nó Vấn đề này đã dẫn tới việc xây dựng thuậttoán trong ([4]) Thuật toán này có thể được coi là sự kết hợp của phương phápđạo hàm tăng cường bằng cách sử dụng các nguyên tắc của bài toán phụ với kỹthuật cắt siêu phẳng.

Mục đích của luận văn này là trình bày về hai bài toán tối ưu hai cấp: bàitoán tối ưu trên tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thứcaffine và bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp cùng các thuật toán có liênquan để giải hai bài toán này Qua luận văn, ta có thể thấy được cách tiếp cậnbất đẳng thức biến phân đối với bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toántối ưu đa mục tiêu phân thức affine

Luận văn có 2 chương:

Chương 1 Trình bày về bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine(bài toán (V P )), bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán (V P )( gọi là bàitoán(P )), bài toán tối ưu trên tập Pareto yếu của bài toán (V P )(gọi là bài toán

(W P )) Cuối cùng, trình bày về phương pháp giải bài toán (W P ) bằng phươngpháp tính cận đối ngẫu Lagrange

Chương 2 Trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, sựtồn tại và duy nhất nghiệm của nó Trình bày về bài toán (BV I) và thuật toán

để giải quyết nó Cuối cùng trình bày một định lý để khẳng định sự hội tụ củathuật toán

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS TSKH Lê Dũng Mưu Mặc dù, tácgiả đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề được nghiên cứu là phức tạp và mới mẻ,lại do thời gian có hạn và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên khó tránhkhỏi thiếu sót Tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn

Chương 1

Bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm

phân thức affine

Bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine, còn được gọi là bài toán tối

ưu véc tơ phân thức affine là sự mở rộng của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyếntính, nhưng lớp các bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine thực sự rộnghơn lớp các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Các kết quả nghiên cứu chothấy rằng, tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine khác biệt

và phức tạp hơn nhiều so với tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyếntính Nhiều tính chất của trường hợp tuyến tính không còn đúng cho trường hợpphân thức affine Nhiều vấn đề nghiên cứu cho lớp các bài toán tối ưu đa mụctiêu phân thức affine vẫn chưa có kết quả

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu về bài toán tối ưu véctơ hàm phânthức affine Cụ thể, chúng ta sẽ tìm hiểu các kiến thức cơ bản, như: bài toán tối

ưu véc tơ phân thức affine, điểm Pareto (hay nghiệm hữu hiệu), điểm Paretoyếu (hay nghiệm hữu hiệu yếu), định lý về điều kiện cần và đủ của điểm Pareto

và Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine Đồng thời,chúng ta cũng sẽ trình bày một thuật toán nhánh-cận để giải bài toán tối ưutrên tập Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine (còngọi là Thuật toán LB) Các kiến thức ở chương này được trích dẫn từ các tàiliệu [6], [7], [8], [9], [10] và [11]

1.1 Bài toán tối ưu véc tơ

Cho D ⊂ Rn là tập lồi, đóng, khác rỗng; K ⊂ Rp là nón lồi, đóng Cho

f = (f 1 , , f p ) : D →Rp là hàm véc tơ Xét bài toán

được gọi là hàm phân thức affine xác định trên tập lồi đa diện X (ở đó A và B

là các véc tơ n chiều, t và s là các số thực) nếu Bx + s 6= 0, ∀x ∈ X

Nhận xét 1.2 Nếu φ xác định trên X thì mẫu số của φ cũng có dấu xác địnhtrên X Không giảm tính tổng quát, từ nay về sau, nếu hàm phân thức affine φ

xác định trên X thì chúng ta sẽ giả thiết mẫu số của nó là dương trên X

Bổ đề 1.1 (xem [7]) Giả sử hàm phân thức affine φ xác định trên tập lồi đadiện X, khi đó

φ(y) − φ(x) = Bx + s

By + s h∇φ(x), y − xi , ∀x, y ∈ X. (1.4)Chứng minh Không làm giảm tính tổng quát, ta đặt zλ = x + λ(y − x).

Theo định nghĩa đạo hàm Fréchet, ta có

=A x + λ(y − x)
+t(Bx + s) −B x + λ(y − x)
+s(Ax + t)

=(Ax + t) + λA(y − x)(Bx + s) −(Bx + s) + λB(y − x)(Ax + t)

= (Ax + t)(Bx + s) + λA(y − x)(Bx + s) − (Ax + t)(Bx + s) − λB(y − x)(Ax + t)

= λA(y − x)(Bx + s) − B(y − x)(Ax + t).

Biến đổi mẫu số trong phân thức cuối của (1.5), ta được

Nếu zλ∈ X thì theo Bổ đề 1.1, với mọi λ0∈ [0, λ], ta có

(i) h∇φ(x), y − xi > 0 khi và chỉ khi φ(zλ) > φ(zλ0 ) với mọi λ0∈ [0, λ),

(ii) h∇φ(x), y − xi < 0 khi và chỉ khi φ(zλ) < φ(zλ0 ) với mọi λ0 ∈ [0, λ),

(iii)h∇φ(x), y − xi = 0 khi và chỉ khi φ(zλ) = φ(zλ0 ) với mọi λ0∈ [0, λ).

Vậyφ(x)là đơn điệu trên các đoạn hoặc tia nằm trong X Hơn nữa, φ(x)hoặc

là đơn điệu chặt hoặc là hàm hằng trên các tia trong X

Định nghĩa 1.4

(i) Hàm số φ : X → R được gọi là tựa lõm trên X, nếu

φ(1 − λ)x + λy≥ minφ(x), φ(y) ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0, 1).

(ii) Hàm số φ : X →R được gọi là bán tựa lõm chặt trên X, nếu φ(x) là tựa lõm

và bất đẳng thức trên là chặt khi φ(x) 6= φ(y).

(iii) Hàm số φ : X → R được gọi là tựa lõm chặt trên X, nếu φ(x) là tựa lõmchặt và bất đẳng thức trên là chặt khi x 6= y.

Hệ quả 1.2 Nếu hàm phân thức affine φ(x) xác định trên X thì φ(x) là bán tựalõm chặt trên X

Chứng minh Giả sử x, y ∈ X, x 6= y, λ ∈ (0, 1) Ta xét 2 trường hợp sau:Trường hợp 1: φ(x) = φ(y). Khi đó, theo Hệ quả 1.1, ta có

φ(1 − λ)x + λy= φ(x) = φ(y) = minφ(x), φ(y) .

Trường hợp 2: φ(x) 6= φ(y). Chẳng hạn φ(x) < φ(y). Cũng do Hệ quả 1.1, ta có

φ(1 − λ)x + λy> φ(x) = minφ(x), φ(y) .

Vậy hệ quả đã được chứng minh

Nhận xét 1.3 Hàm phân thức affine chưa chắc là tựa lõm chặt trên miền xácđịnh của nó Ví dụ hàm φ(x) = 0, với mọi x ∈ X

1.3 Bài toán tối ưu véc tơ phân thức affine

Gọi X ⊂Rn là một tập lồi đa diện được cho bởi

(với các hàm f1(x), , fp(x) đã định nghĩa ở trên) được gọi là bài toán tối ưu véc

tơ phân thức affine (hay còn gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine)xác định bởi hàm véc tơ F (x) = f1(x), , fp(x)
và tập X

Định nghĩa 1.6 Ta nói rằng một véc tơ x ∈ X là điểm Pareto của bài toán

(V P ) nếu không tồn tại y ∈ X sao cho F (y) ≤ F (x) và F (y) 6= F (x) Tương tự,một véc tơ x ∈ X là điểm Pareto yếu của bài toán (V P ) nếu không tồn tại y ∈ X

sao cho F (y) < F (x)

Ký hiệu tập Pareto và tập Pareto yếu của (V P ) lần lượt là E(F, X) và

W E(F, X) Dễ thấy E(F, X) ⊆ W E(F, X).

Mệnh đề 1.1 (xem [7]) Cho x ∈ X, khi đó x ∈ E(F, X) khi và chỉ khi

Chứng minh Thật vậy, một véc tơ x ∈ E(F, X) khi và chỉ khi không tồn tại

y ∈ X sao cho F (y) ≤ F (x) và F (y) 6= F (x), tức là không tồn tại y ∈ X để

Định lí 1.1 (xem [7]) Một véc tơ x ∈ X là một điểm Pareto khi và chỉ khi tồntại λ > 0 (tức là λ = (λ1, , λp) , λi> 0 với mọi i = 1, , p) sao cho

thuộc lớp bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số Việc nghiên cứu và đưa

ra phương pháp giải cho lớp bài toán này là một điều khó khăn Tuy trong nội

dung của luận văn này có đề cập đến bất đẳng thức biến phân, nhưng cũng chỉdừng lại ở lớp bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bài toán bất đẳngthức biến phân hai cấp với toán tử F là giả đơn điệu (sẽ được giới thiệu trongChương 2).

Định lí 1.2 (xem [7]) Một véc tơ x ∈ X là một điểm Pareto yếu khi và chỉkhi tồn tại các số thực λi ≥ 0 và có ít nhất một λi nào đó khác không với mọi

i = 1, , p sao cho

hλ, Q x (y − x)i ≥ 0, ∀y ∈ X. (1.11)

Hệ quả 1.3 (xem [7]) Giả sử y ∈ X, ký hiệu Mj là hàng thứ j của ma trận cỡ

(p × n) của miền ràng buộc X, đặt

I(y) =j ∈ {1, , p} : Mjy = bj

là tập chỉ số tích cực tại điểm y

Khi đó y ∈ E(F, X) (hoặc y ∈ W E(F, X)) khi và chỉ khi tồn tại các số thực

λi > 0 (hoặc λi ≥ 0 và có ít nhất một λi nào đó khác không) với mọi i = 1, , p

và µj ≥ 0, j ∈ I(y) sao cho

Nhận xét 1.5 Chúng ta có thể tìm điểm Pareto (hoặc Pareto yếu) bằng cách

cố định λ > 0 (hoặc λ ≥ 0), khi đó nghiệm của bất phương trình (1.10) cho tamột điểm Pareto (hoặc Pareto yếu) ứng với một λ đã chọn Chúng ta cũng cóthể sử dụng (1.12) trong Hệ quả 1.3 để đặc trưng tập Pareto và tập Pareto yếucủa bài toán (V P ).

1.4 Phép tính cận đối ngẫu Lagrange để giải bài

toán tối ưu trên tập Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine

1.4.1 Bài toán tối ưu trên tập Pareto

Cho bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine

minF (x) = f1(x), , fp(x)
| x ∈ X , (V P )

trong đó X ⊂Rn là một tập lồi đa diện cho bởi

X = {x ∈Rn| M x ≤ b} ,

với M ∈Rp×Rn là ma trận cỡ (p × n) và b ∈Rp

Chúng ta xét bài toán tối ưu trên tập Pareto và tập Pareto yếu của bài toán

(V P ) Các bài toán này lần lượt được cho dưới dạng:

E(F, X) =x ∈ X| 6 ∃y ∈ X : F (y) ≤ F (x), F (y) 6= F (x) ,

W E(F, X) =x ∈ X| 6 ∃y ∈ X : F (y) < F (x) .

Vì X là compact nên tập Pareto yếu W E(F, X) cũng là compact Trái lại, tậpParetoE(F, X) nói chung không đóng cũng không mở VìW E(F, X) là compactnên bài toán (W P ) luôn có lời giải tối ưu toàn cục Trong suốt phần này, chúng

ta luôn giả sử (P ) có lời giải tối ưu toàn cục

Trái ngược với trường hợp hàm tuyến tính, ta có thể chỉ ra được rằng các bàitoán (P ) và (W P ) có thể không đạt được nghiệm tối ưu trên đỉnh của đa diệnràng buộc X, ngay cả khi hàm mục tiêu f (x) là tuyến tính

Sau đây chúng ta sẽ biến đổi bài toán(P ) và bài toán (W P ) Ta nhắc lại định

lý sau đây của Malivert

Định lí 1.3 (xem [7]) Một véc tơ x ∈ X là một điểm Pareto (hoặc điểm Paretoyếu) khi và chỉ khi tồn tại các số thực λi > 0 (hoặc λi≥ 0, không bằng 0 tất cả)với mọi i = 1, , p sao cho

trong đó Λ = Λ0 đối với (P ) và Λ = Λ đối với (W P )

Đặt v1, , vq là các đỉnh của X Khi đó, bài toán (IP ) có thể được giản lược

vì mệnh đề sau:

Vậy mệnh đề được chứng minh.

Để cho đơn giản, ta đặt

Mk(λ, x) ≤ 0, ∀k = 1, q.

Rõ ràng,

(i) M (λ, x, ) là hàm affine trên X đối với mỗi (λ, x) cố định

(ii) Với mỗi k, hàm Mk(λ, x) là song tuyến tính trên Λ × X

Với mỗi đỉnh vk ta định nghĩa

Ký hiệuG(λ)là ma trận cỡ (q ×n) mà hàng thứk của nó làGk(λ)vớik = 1, 2, , q

và b(λ) là véc tơ q chiều mà tọa độ thứ k là bk(λ) Giả sử rằng

X = {x ≥ 0| Gx ≤ b}

Sau đó, bằng cách sử dụng Mệnh đề 1.2 và định nghĩa của G(λ) và b(λ), chúng

ta có thể viết lại bài toán (IP ) như sau

X =

(

x = (x 1 , , x n )

1.4.2 Phương pháp giải

Từ phần trước, chúng ta đã thấy rằng các bài toán tối ưu một hàm f trêncác tập Pareto (hoặc Pareto yếu) của bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thứcaffine (V P ) có thể được trình bày như là một bài toán có ràng buộc song tuyếntính dạng (P Λ) với Λ = Λ0 (hoặc với Λ = Λ) Điểm khác biệt chính giữa hai bàitoán này là việc Λ là một đơn hình đơn vị, còn Λ0 = intΛ Vì thế mà bài toán

(P Λ) dễ xử lý hơn

Quy hoạch song tuyến tính là một đề tài quan trọng trong quy hoạch toánhọc Một số phương pháp đã được đề xuất cho việc giải các bài toán quy hoạchsong tuyến tính Hầu hết các phương pháp đã có đều dựa trên giả thiết rằngthành phần song tuyến tính chỉ xuất hiện trong hàm mục tiêu Trong chươngnày, chúng ta mô tả phương pháp phân rã để giải bài toán (P Λ)với Λ = Λ, bằngcách sử dụng cấu trúc riêng biệt của nó

Thông thường, với ε ≥ 0 cho trước, chúng ta gọi một điểm x là một lờigiải ε-tối ưu (ε-optimal solution) của bài toán (P ) nếu x là chấp nhận được và

f (x) − f∗≤ ε(kf (x)k + 1), trong đó f∗ là giá trị tối ưu của bài toán (P )

Thuật toán được trình bày dưới đây là một thủ tục nhánh-cận sử dụng đốingẫu Lagrange và phép chia đơn hình Không giống như các thuật toán đã đượcgiới thiệu bởi các nhà nghiên cứu khác, thuật toán này chỉ sử dụng quy hoạchtuyến tính cho việc tính toán điểm cận trên và cận dưới

Đặt

H(λ) =



G G(λ)



, h(λ) =



b b(λ)



trong đó H(λ) được xây dựng bằng cách thêm q hàng vào ma trận G của miềnràng buộc X, q hàng đó chính là ma trận G(λ) Do đó, H(λ) chỉ có q hàng phụthuộc vào biến λ Tương tự, h(λ) cũng chỉ có q thành phần phụ thuộc vào biến

λ Khi đó bài toán (P Λ) có thể viết lại như sau:

Phép tính cận theo đối ngẫu Lagrange

Mệnh đề 1.3 (xem [11]) Một điểm (λ∗, x∗) là nghiệm tối ưu của bài toán (BΛ)

khi và chỉ khi x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (W P ), λ∗ là nghiệm tối ưu củabài toán (M P ) và w∗ = f (x∗) = ϕ(λ∗).

Chú ý rằng, một điểm chấp nhận được của bài toán (BΛ) có thể đạt đượcbằng cách giải một quy hoạch tuyến tính Thật vậy, nếu λ ∈ Λ cố định và xλ làlời giải tối ưu của bài toán tuyến tính(Pλ) thì (λ, xλ)là nghiệm chấp nhận đượccủa bài toán(BΛ) nên xλ là nghiệm chấp nhận được của bài toán (W P ) Do đó,các cận trên củaw∗ được tính bằng cách giải bài toán quy hoạch tuyến tính Bởi

vì quá trình thực hiện thuật toán sẽ tìm thấy ngày càng nhiều các điểm chấpnhận được, do đó các điểm cận trên của w∗ có thể được cải thiện dần

Bây giờ chúng ta tính cận dưới của w∗ bằng cách sử dụng phương pháp đốingẫu Lagrange Đặt S là một đơn hình con có thứ nguyên đầy đủ của đơn hình

Λ Đặt V (S) là tập đỉnh của S Xét bài toán (BΛ) hạn chế trên S sau:

Từ Định lý đối ngẫu Lagrange (xem [1]), ta có

ta đạt được một cận dưới β(S) của w∗(S)

Hệ quả sau sẽ chỉ ra rằng cận dưới này có thể được tính bằng cách giải cácbài toán quy hoạch tuyến tính, mỗi bài được xây dựng từ một đỉnh của S

Hệ quả 1.4 (xem [8]) Đặt λi (i = 1, , p) là các đỉnh của S Khi đó cận dưới

Hệ quả được chứng minh.

Phép chia đôi đơn hình

Tại mỗi một bước lặp k của thuật toán được mô tả sau đây, một đơn hìnhcon của đơn hìnhΛ sẽ được chia đôi theo cách mà thuật toán thực hiện sao cho

cận trên và cận dưới tiến về cùng một giới hạn (khi k tiến tới vô cùng) Điềunày có thể được thực hiện bằng cách sử dụng phương pháp chia đôi đơn hình(theo cạnh dài nhất) đã quen thuộc trong tối ưu toàn cục Phương pháp chiađôi đơn hình này có thể được mô tả như sau:

Giả sử Sk là một đơn hình con có số chiều đầy đủ của đơn hìnhΛ, vàSk cũng

là đơn hình mà ta muốn chia đôi tại bước lặpk Gọivk, wk là hai đỉnh của Sk saocho cạnh nối hai đỉnh này là dài nhất Đặt uk = tkvk + (1 − tk)wk với 0 < tk < 1.(khi đó uk nằm trên cạnh dài nhất, là đoạn nối vk và wk) Chia Sk thành haiđơn hình con Sk1 và Sk2, trong đó Sk1 và Sk2 có được từ Sk bằng cách lần lượtthay vk và wk bởi uk Ta đã biết rằng, Sk = Sk1 ∪ Sk2 và nếu {Sk} là một dãy vôhạn của các đơn hình lồng nhau (nested simplices) được sinh ra bởi tiến trìnhchia đôi đơn hình sao cho 0 < δ0< tk < δ1 < 1 đối với mỗi k thì dãy {Sk} hội tụ

về một điểm duy nhất (xem [8])

Bây giờ chúng ta mô tả thuật toán giải bài toán (P Λ) với Λ = Λ

Thuật toán dựa trên cách tính cận Lagrange (Thuật toán LB)

Khởi tạo Chọn ε ≥ 0 và đặt S 0 = Λ Đối với mỗi v ∈ V (S 0 ), giải quy hoạchtuyến tính

khi x∗ nghiệm tối ưu toán (W P ), λ∗ nghiệm tối ưu củabài toán (M... data-page="22">

1.4.2 Phương pháp giải

Từ phần trước, thấy toán tối ưu hàm f trêncác tập Pareto (hoặc Pareto yếu) toán tối ưu đa mục tiêu phân thứcaffine (V P ) trình... trị tối ưu toán (P )

Thuật tốn trình bày thủ tục nhánh-cận sử dụng đốingẫu Lagrange phép chia đơn hình Khơng giống thuật tốn đượcgiới thiệu nhà nghiên cứu khác, thuật toán