Câu 5: 4,0 điểm Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và mặt phẳng SAD vuông góc với mặt phẳng ABCD.. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và DC.[r]
Trang 1UBND TỈNH HÒA BÌNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 1 trang)
Môn thi: TOÁN Ngày thi: 15/12/2016
Thời gian làm bài: 180 phút.
Họ tên thí sinh:… ………
Số báo danh:………… Phòng thi:………
Câu 1:(4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số
2 3 1
x y x
b) Tìm m để hàm số y2x3 3(2m1)x2 12mx1 có cực đại, cực tiểu (m là tham số)
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 1
2
log (x 1) 12log (1 x) 8 0
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3: (4,0 điểm).
a) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn điều kiện a b c
b) Anh B vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà và được hưởng lãi suất ưu đãi là
0,5% một tháng Anh B trả ngân hàng theo phương thức trả góp, mỗi tháng trả 5,5
triệu đồng Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh B sẽ trả hết số tiền vay? (làm tròn đến số nguyên)
Câu 4: (2,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh B3;3 Gọi M N, lần lượt
là trung điểm của cạnh BC và CD Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD, biết A thuộc đường thẳng :xy 2 0 và
11 7
;
5 5
H
là giao điểm của AM và BN
Câu 5: (4,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và DC
a) Tính thể tích khối tứ diện SMCN
b) Chứng minh rằng đường thẳng AM vuông góc với mặt phẳng (SBN)
Câu 6 (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng 3x4 1 4x3 với mọi giá trị của x
b) Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
M
x y z
Hết
Trang 2-UBND TỈNH HÒA BÌNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2015-2016 Hướng dẫn chấm môn: Toán Ngày thi: 15/12/2015
Hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang, 06 câu.
Xét giới hạn
3 2
2 3
1
x
x
, suy ra đt y 2 là TCN 0,5
, suy ra đt x 1 là TCĐ
KL: ……
1,0 1b Để hs có CĐ, CT điều kiện cần và đủ là: y ' 0có hai nghiệm phân biệt 0,5
Tính được ' 36m2 36m 9 9(2m1)2 0 0,5
1 2
m
Vậy
1 2
m
2 1
2
log (x 1) 12 log (1 x) 8 0 (1)
Điều kiện: 1 x 0 x 1 0,5 Với điều kiện trên:
(1) log (x 1) 12log (1 x) 8 0 2
4log (1 x) 12log (1 x) 8 0
2 2
log (1 ) 1
log (1 ) 2
x x
Vậy tập ng của phương trình đã cho là S 1; -3 0,5
2 4 1 (2)
Từ pt (1) ta có:
2 y −1¿2+1
¿
¿
√x2 +1+x= √ ¿
0,5
Xét hàm số f (t)=√t2+1+t t
f ' (t)= t+√t2+ 1
√t2+ 1 >0 ,∀ t ∈ R (vì̀√t2 +1> |t|, ∀ t ∈ R)
⇒ Hàm số đồng biến trên R Suy ra (1) f x( )f(2y1) x2y1
0,5
Thay 2y = x+1 vào pt (2) ta được: x33x22x0 0,5 Giải tìm được x = 0; x = -1; x = -2,
từ đó tập nghiệm của hpt là:
(0; );( 1;0);( 2; )
S
0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 33a
TH 1 : Nếu a=b<c có C92 =36 số thỏa mãn
TH 2 : Nếu a<b=c có C92 =36 số thỏa mãn
TH 3 : Nếu a=b=c có C91 =9 số thỏa mãn
1,0
TH 4: a < b < c có C93=84 số thỏa mãn
Vậy có 165 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
1,0
3b
Lập luận để tìm ra công thức tổng quát A n
Sau
tháng
thứ
Tiền gốc
lãi trả số tiền còn vay
1 A 0, 005A a A1 1,005A a
2 1,005 1,005
3 1,005 1, 005 1,005
……
…
1,005 n A 1,005n a 1,005n a 1,005 a a
1,0
Để trả hết tiền sau n tháng thì
Từ đó ta có pt:
1,005 1,005 1,005 1,005 0
(1,005 1) 1,005
0, 005
n n
a A
Thay A=300; a=5,5 ta được phương trình:
55
1, 005
40
n
Trang 44 Chứng minh được
AM BN
0,5
AH đi qua
11 7 ( ; )
5 5
H
và nhận vectơ
4 8 ( ; )
5 5
BH
làm vectơ pháp tuyến : 2 5 0
AH x y
tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
2 5 0
2 0
x y
( 1;3)
A
Đường thẳng BC đi qua B(3 ; 3) và nhận vectơ AB (4;0)
làm vectơ pháp tuyến, suy ra BC x : 3 0
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
2 5 0
(3;1) 3
x y
M x
0,5
Ta có AB DC
5a Gọi H là trung điểm của AD, suy ra
SH AD, lại có: (SAD) ( ABCD)
Chiều cao của khối chóp S ABCD. là :
3 2
a
SH
0,5
Ta có tỷ số thể tích
1 2
SMCN SBCN
.Diện tích tam giác BCN là :
2 4
BCN
a
S
.
.
S BCN
48
SMCN
a V
0,5
Trang 55b Ta chứng minh AM BN
Gọi E là trung điểm của BC, suy ra AE cắt BH tại trung điểm I của BH
MI SH MI (ABCD)
0,5
Dễ chứng minh được BN AE BN AM (ĐL ba đường vuông góc) 0,5
AM SB
Chú ý : Có thể chứng minh BN AM bằng cách sử dụng tích vô hướng, gắn
hệ trục tọa độ…
0,5
6a
3 1 4
( 1) 2 ( 1) 0.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1
Chú ý: HS có thể chứng minh sử dụng đạo hàm; sử dụng Cô si cho 4 số.
Có thể khg cần chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào.
1,0
6b
Theo kết quả phần a), ta có 3x4 1 4x3
3
M
x y z
3
4( ) 16
x y z
Chứng minh được:
3
x y
3
( ) 16
16
M
0,25
( ) 16(1 ) ( x y , 0;1 )
x y z
' ( ) 3 2 48(1 ) 2
f t t t
0,25
( ) 0
5
f t t
, lim ( ) 16; lim ( ) 1 0 1
t f t t f t
Bảng biến thiên
t
4
' ( )
f t - 0 +
( )
f t
16 1
16 25
4 16 ( ) ( )
5 25
f t f
,
( )
f t t
0,25
Vậy M
16 25
, M=
1
x
x y
x y z
x y
1 1 2
x y z
0,25
Chú ý: Tất cả các lời giải đúng khác đều được cho điểm tối đa