Chuyên đề elip

Hình dang và tính chất cúa Elp} Elip có phương trình 1 nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng... Lập phương trình chính tắc của ?.. Nhận xét: Đây là bài tậ

Trang 1

6/13/13 Chuyên đề elip - Chuyên đề toán THPT - Diễn đàn Toán học

Diễn đàn Toán học —› Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học -› Chuyên đềtoán THPT

=F Chuyén dé elip

Bắt đầu bởi leminhansp, 15-02-2013 - 17:42

elip, hình học phẳng, ôn thì đại học,

leminhansp

CHUYEN DE: ELIP

A - TOM TAT LY THUYET

1 Dinh nghia:

Cho hai điểm có định #1, F2 với F F› = 2c và một độ dài không đổi 2ø(œ > c) Elip là tập hợp những điểm M

sao cho:

Fị,M + FyM = 2a

Ta goi: F, Fo: Tiêu điểm, F1 F› — 2c: Tiêu cự, F M, F'› M: Bán kính qua tiêu

A

By

Bì

app=core&module=attach&section=attach&attach_rel_module=post&attach_id=13702)

2 Phương trình chính tắc của Elip Trong mặt phẳng tọa độ 2ø với F1 (—e; 0), Fa(c; 0):

M(x; y) € (E) © =+z=10)

Trong đó: b= a2 — c?

(1) được gọi là phương trình chính tắc của (E)

3 Hình dang và tính chất cúa Elp}

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái #1 (—c; (), tiêu điểm phải 2 (c; 0) + Các định: 41 (—a; 0), A2(a; 0), By (0; —b), Be (0; b)

+ Trục lớn: Ay Ap = 2a, namtrén truc Oz; Truc nhé: By By = 2b, namtréntruc Oy + Hinh chi nhat co sé: La hinh chi nhat tao béi cc dong thing x = +a, y = +b

Từ đó ta thấy hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là 2ø và chiều rộng là 2b

c

+ Tâm sai: \fbox{e = — < 1}

a, + Bán kính qua tiêu của diém M(x, yy) € (BE) la:

+ Đường chuẩn của Elip:

Duong thing Ay : x + — = Ö được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm # (—c; 0)

€

Đường thắng À2 : # — — = 0 được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm #'› (c; 0)

€

Tính chất của đường chuẩn:

d(M;,) — d(M; Az) ~

Trang 2

6/13/13 Chuyên đề elip - Chuyên đề tốn THPT - Diễn đàn Tốn học

B -GIẢI TỐN

I - VIET PHUONG TRINH CHINH TAC CUA ELIP

Các bước thực hiện:

Bước 1: Giả sử phương trình chính tắc của elip là: — + = =l(ø>b>0) (E)

a

Bước 2: Sử dụng các đữ kiện bài tốn thiết lập các phương trình để tìm ø,„ Ư

Chú ý các kiến thức liên quan đến œ, b, chẳng hạn: tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tâm sai, bŸ — ø2 — cỶ

Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng toa d6 Oxy, cho digém M(— V3; 1), đường elip (E) đi qua điểm jM và khoảng cách giữa hai đường chuẩn của (#) là 6 Lập phương trình chính tắc của (?)

Nhận xét: Đây là bài tập cơ bản với các yếu tố đã được cho khá rõ ràng, để làm được bài tốn chỉ yêu cầu thuộc các khác khái niệm và kĩ năng biến đổi giải hệ phương trình cơ bản

Lời giải:

x Gia sử phương trình chính tắc của (2) là: =t z =l(a>b>0)

a

=> Hai duong chudn cua (2) c6 phuongtrinh la: Ay : e+ — = 0; Ag: r—- —=0

Do d6 khoang cach gitta hai duéng chudn 14:2 — = ——

C

Đáp sé: (E) : we yt =1 (8): + =1

Ví dụ 1.2: Thi thử lần 1 -THPT Bim Sơn - Thanh Hĩa Trong mặt phẳng tọa độ (1, lập phương trình chính tắc của elip () biết nĩ cĩ một đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành

một tam giác đều và chu vi của hình chữ nhật cơ sở của (#) là 12(2 + v3) +

By

Nhận định:

Dữ kiện: chu vỉ hình chữ nhật cơ sở và tam giác đều sẽ thiết lập được hai phương trình tìm a và b

+ Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là: 2(2ø + 26) + Các đỉnh là 4 (—1; 0), A2(1;0), By (0; —b), Bo (0; b) và các tiêu điểm là #1 (—c; 0), #2 (c; 0)

— ABI1F\Fa và AB¿F\F› đều > Fạ Đạ — F\F›

+à?—c? =b?

Lời giải:

ey?

Gọi phương trình chính tắc của elip (#) là: 2 + 2 l(a>b>0) Khi đĩ chu vi của hình chữ nhật cơ sở là 2(2ø + 2)

= 2(2a + 2b) = 12(2+ V3) œ©a+b=3(2+v3) (1)

Do cdc dinh A; (—a;0), Ag(a;0) va Fy (—c;0), Fo(c; 0) cing nim trén Oz nén theo gia thiét #1, F'› cùng với đỉnh Ưạ (0; b) trên tạo thành một tam giác đều © B) Fp = Fi Fy = BoF, (*)

Trang 3

Tatháy: F1, F¿ đối xứng nhau qua (+ nên A.Ðạ F1 F2 luôn là tam giác cân tại

Do đó: (*) BạFs = FLF¿ © Vé? +b? = 9c © bŸ = 3c Laicé:a” — c? = b* => 3a? = 4b? (2)

Từ (1) và (2) suy ra:ø = 6vab = 34⁄3

x2 y?

Dap sé: (#) : — + — = 1

Vi dụ 1.3:(B-2012) Trong mặt phẳng tọa độ (2z, cho hình thoi A BƠ D có AC = 2D) và đường tròn tiếp xúc

với các cạnh của hình thoi có phương trình + + ? =4.Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh

A,B,C, D của hình thoi Biết điểm A nằm trên trục Ox

Nhận định

- Các đặc điểm của hình thoi:

Đường tròn nội tiếp có phương trình: øˆ -+ ? = 4 (Tâm O(0; 0), bán kính Ö = 2)

Tâm đường tròn nội tiếp là tâm của hình thoi —> Gốc tọa độ (0; 0) là tâm của hình thoi

-A, B,C, D (#) nên A, B, Œ, D) là các định của (2#)!

- Như vậy ta đã xác định được mối liên hệ giữa đinh của elip với hình thoi, với hai điều kiện AŒ — 2D và đường

tròn nội tiếp hình thoi có bán kính đẻ — 2 ta sẽ thiết lập được hai phương trình đề xác định tọa độ các đỉnh của elip

¢ 0 A > (http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?

Lời giải:

Giá sử phương trình của elip () la: — + —— = 1(a > b > 0)

a2 p

Ta có: Đường tròn (C): ae? + ụ? = 41a đường tròn nội tiếp hình thoi Á BC D, có tâm O(0; 0), bankinh R = 2

Vì tâm của (C ) là tâm của hình thoi nên Á va BD vuông góc với nhau tại trung điểm Ó của mỗi đường

MAA € Or > € € Oz và??, D € Oy

Laicd: A, B,C, D € (E) => A, B,C, D là bón đinh của (E) Nếu đổi chỗ A và C cho nhau hoặc B và D cho nhau thì Elip không thay đổi nên ta có thé gid si A, B lan lượt nằm ở nửa trục duong cia Ox va Oy, khi dé toa d6 cia chúng là Á(ø; 0), (0; b)

=> OÁ =a,OB = b.Vì AC = 2BD nénOA = 20B => a = 26

Kẻ ÓH vuông góc với AB tai H > OH = R= 2

> ( H OA? OB? 4 a2 a2

Ụ

Vậy ậy phương trìn ( ph trình () là: — + — = 1 )là sa + 5

II - TIM DIEM THUOC ELIP Các bước thực hiện:

Bước 1: Xác định các "từ khóa" liên quan đến điểm cần tìm, cố găng chuyên chúng thành công thức tương ứng

Bước 2: Từ giá thiết, thiết lập phương trình tìm tọa độ của điểm Chú ý rằng điểm cần tìm luôn thuộc (E) nên tọa độ của

nó luôn thỏa mãn phương trình (“) , đây là một phương trình

Ví dụ 2.1: Trong mặt phẳng toa d6 Oxy cho elip (E) : 7 + _ = 1 Tìm trên (E) những điểm t/m:

1 Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu điểm kia?

Trang 4

2 Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông

Lời giải

(BE): + T=1>>a=3,b=1=>e= a? — 6? = 2/2

1 Từ khóa cần quan tâm "bán kính qua tiêu"

Goi M(2o, y,) là điểm phải tìm Khi đó bán kính qua tiêu của Äƒ là:

Tw gia thiét suy ra:

= 0(1)

Khai triển rút gọn ta được:

(1) © 16ME1 ME¿ — 3(ME\ + MEFs)Ÿ = 0 © 16(ø + e,)(œ — ez,) — 3(9a)” = 0

< oe = Te = Ge 39 7? 0 = 3

=> (MF, — 3MF›;)(ME; — 3MF;)

Lại có: M € (E) > ye =1—-— = 35 Y= t——

9/2 v46 9/2 v46 9/2 /46

M,\ — 9v2 ;—

Nhận xét:

— Trong giải toán, ta thường chỉ quen với chiều biến đổi 4 — 0 => l5 _ 0 nhưng trong nhiều trường hợp biến đổi theo chiều ngược lại sẽ giúp việc giái bài toán ngắn gọn hơn rất nhiều, mà bài toán trên là một ví dụ

— Ở bài toán này, việc biến đổi rút gọn cũng là một công việc khá vắt vả nếu không có những nhận xét tỉnh tế, cần chú

y ring MPF, + MF = 2a

— Khi kết luận cần chú ý lấy đủ nghiệm, nhiều bạn thường nhằm lẫn chỉ lấy hai nghiệm Ä⁄q, Äa,

2 Từ khóa "góc vuông"

è

Voigoc F; MF — 907 thì ta có các "công thức" tương đương:

Với từng "công thức" ta sẽ được các hướng làm khác nhau tương ứng, đưới đây tôi trình bày hai cách có thể nói là khá

ngắn gọn

Goi M(29; y,) là điểm cần tìm M € (F) nen 2 +y2=1 (1)

Cach 1:

Chay ring MF, MF, 1a ban kinh qua tiéu, nén ta cé:

F{MF, =90° = MF? + MF? = FF? © (a+ ea,)* + (a — ese)” = 32 © z2 \\

ge

Từ (1) suy ra: yg = 3"

Cach 2:

Điểm Mƒ nhìn #1, È'2 dưới một góc vuông nên AM F1 F› vuông tại M

FiF

Mà dễ thấy Ó là trung điểm của #1 F2 nên 2M = sO? os 2 -L t2 — (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Trang 5

2

Nhận xét: Ở cách 2 có thê giải thích theo cách khác như sau:

Do Ä nhìn E1, #; dưới một góc vuông nên #⁄ƒ nằm trên đường tròn (C) nhận #" #'2 làm đường kính

Fi FP 1+2 =92V2

=> Ä là giao điểm của (E2) va(C) : 2” + ˆ” = 8 Do đó tọa độ M là nghiệm hệ (7)

Tức là (C) có tâm Ó bán kính

4 3/14 V2 3/144 v2 3/14 v2 Dap so: My i pi Me > ;Mạ| ————: 7 |)

M.|=“—:-*^

Ví dụ 2.2: Thi thử Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 2

Trong mặt phẳng với hệ tọa d6 Oxy cho elip (E) : = + = = Ì và các điểm Á(—3; 0), I(—1; 0) Tìm tọa độ các điểm Ö, C € (2) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A4 BƠ

Lời giải:

=

C

Gọi (C) là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A4 BƠ, (C) có tâm Ï(—1; 0) bán kính Ï A = 2

Phương trình (Ở) : #7 + ˆ + 2z — 3 =0

— Với = —3 > y=0 => B tac latring vii A hoac C tring véi A (khong thoa man)

— Với# —= — >> y= t+——_

Dap sé: By | — =; —— ],C1 | ->; -—— ]5 B:|—-=:-—— |:C›:|-=:—

leminhansp

III - BAI TAP TONG HOP LIEN QUAN DEN ELIP

Vi du 3.1: Trong mat phing toa dé Oxy, cho elip (E) : S + = = Ì có các tiêu điểm F',, F’y Dudng thing d

đi qua F2 và song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất cắt (E) tai A, B Tinh dién tích tam giác ABF,

Lời giải:

Do giả thiết đã cho đủ đề viết được ngay phương trình đường thẳng đ chứa , ( đi qua một điểm đã biết và song song

với đường thăng cho trước) nên ta định hướng tính diện tích theo cong thie: Sypr = 5 AB d(F,;d)

Trang 6

> (http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?

A

(E) : => =1=>?=8,i? =4=c= Va2T— b2 =3 = F¡(—3;0), Fz(2;0)

Đường phân giác À của góc phần tư thứ nhất có phương trình là: — #

Tacó đ// Avà Fa € dnênphương trình ở là: = x — 2

—=ø_— 2

Khi đó tọa độ của BvaC langhiémhé: ¢ 72 2 1

= A(0;—2), Bl —;— | hoae B(O;—2), A[ —;— }

8/2

=> AB= sv d(F\, đ) = 22

Dap so: SABF, = 3

Ví dụ 3.2: Thi thử Hocmai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Đề o2

x

Trong mặt phẳng toa d6 Oxy cho duong thingd : 2a + y+3 =O vaelip (E): T + = = Ì Viết phương trình đường thẳng A vuông góc với đường thẳng đ cắt () tại hai điểm A, B sao cho điện tích tam giác 4B bằng 1}

Lời giải:

> (htrp://diendantoanhoc.net/forum/index.php?

Vì A_L ở nên phương trình đ có dạng: # — 2 - rn„ = 0 Khi đó, A, là nghiệm hệ:

# — 2U — Tn

8y? — 4my-+rm?ồ—4—=0 (x)

+?

2

a9

œ — 2 +rn = 0Ö

Dé d cit (F/) tại hai điểm phân biệt A, thì hệ phải có hai nghiệm phân biệt

= (*) có hai nghiệm phân biệt

«©® A' =32- 4m? >0 ©mc€ (-2V2;2v2) (1) Goi A(2y, — m; y,), B(2y2 — m; yz), trong đó #1, ta là nghiệm (+)

5

= AB = 5(0; — ị) = 5|(ui +2} — 4| =1 (8 — m7)

=4<©>m =+2

Đáp số: À1 : z— 2u+2—=0, Asz: z— 2u—2=(0

Duong cao OH = d(, A)

Trang 7

Ví dụ 3.3: Thi thử lần 2 - THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh

x“ „ ; »

Trong mặt phẳng tọa độ 2# cho elip (#) : KT: + = = Ì và điểm /(1; 2) Viết phương trình đường thẳng (đ)

di qua I’, sao cho ở cắt (#2) tại Á và thỏa mãn Ï là trung điểm của đoạn AB.}

Lời giải:

, (http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?

Goi a = (ø, b) là véctơ chỉ phương của đ

z=1l-+at

=2+bi

Giả sử (đ) cắt (E) tai A(1 + at); 2 + bt,), B(1 + ate; 2 + bee)

Ta có đ đi qua (1; 2) nên phương trình d có dang: { teR

Theo eo dinh định lí Viet ta Hi Viet ta co: £4 c6:t + ty = 2 — —2( 16 — + aa 9 : a + p 16 9 (2)

2b —>

Từ (1) và (2) suy ra + 77 0 Chona = 32,6 = —9taduoe u — (32; —9) là một VTCP của đ

—>

=> n = (9; 32) là một VTPT của d

Vậy phương trình đ là: 9z -L 32 — 73 = 0

BÀI TAP DE NGHI

Bài 1.1: Trong mặt phẳng tọa dé Ory, cho điểm A(0; 5) Lập phương trình chính tắc của elip (#) biết (E⁄) đi qua Á

và có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn (C) : #2 + ụ? = 41

z a x Ụ

Đáp sé: (E) : oie?

Bai 1.2: Trong mat phang voi hệ trục tọa độ 2#, cho đường thắng đ : # — Jd = 0 Lap phvong trinh chinh tac

cua elip (#), biét mét cạnh hình chữ nhật cơ sở của (#7) nằm trên đ và hình chữ nhật đó có độ dài đường chéo bằng 6

2

x

Đáp số: (E) : zt — = 1

Bài 1.4: Trong mặt phẳng tọa độ 2z, cho điểm M (-/3 ; 1) đường elip (#) tổi qua điểm M va cé khoang céch

giữa hai đường chuẩn là 6 Lập phương trình chính tắc của (2)

&

Đáp số: (E) : — + 7 1

&

Tương tự với M(-¥5; 2), khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 10.\quad Đáp số: (#) : TE + a = 1,

Bai 1.4: Thi the Hocmai - Thay Lé BG Tran Phương - Dé 04

Trong mặt phẳng tọa độ 2+, một elip (#) đi qua điểm M(—2; —3) và có phương trình một đường chuẩn là

x + 8 = 0 Viét phuong trinh chính tic cia (E).\\

Đápsố:(E\): ps:(EI): Tet a1, (Ba) B2 | 39/4 — + — =1, (E): =+——-—I

Bai 1.5: A-2012

~ 2 ^ x ` 2 2 ok ` # “ 3 +

Bai 2.1: Trong mặt phing voi hé truc toa d6 Oxy, cho elip (E) cé độ dài trục lớn là 6 và qua điểm

Trang 8

Bài 2.2: Thi thử Diễn đàn Truonghocso - Lần 1

Trong mặt phẳng toa d6 Oxy cho elip (E) : 100 + a= = 1 Timtoa d6 diém K namtrén elip sao cho K nhin

các tiêu điểm đưới một góc 120”

Bài 2.3: Thi thử Hoemai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Dé 01

Trong mặt phẳng toa do Oxy, cho elip (E) : 16 + > = Ì và đường thắngđ : 3z + 4 — 12 — 0Ú Chứng mỉnh rằng đường thắng ở cắt (#/) tại hai điểm phân biệt Á, Ö Tìm điểm thuộc (#) sao cho A.A BƠ có diện tích

bằng 6

Dap sé: Cy (208 — 5] ; Ca [z4 =)

Ụ

Bài 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho diém M di động trên elip (#) : > + TT 1 Gọi H, K là hình

chiếu của ÄMƒ lên các trục tọa độ Xác định tọa độ của jMƒ diện tích Ó.H ME đạt giá trị lớn nhất

Dap sé: (2 ; =3] ; § „ : +3

Bai 2.5: A-2011

Trong mặt phẳng toa d6 Oxy, cho elip (E) : 7 + T — Ì Tìm tọa độ các điểm Á, Ö € (), có hoành độ đương sao cho tam giác Ó_Ä cân tại và có diện tích lớn nhất

Bài 3.1: Thi thử Diễn đàn K2pïi - Lần 5

Trong mặt phẳng tọa độ (2+ cho elip có phương trình (.) : s + — = 1 va diém I(1; —1) Mét dudng thing

A qua Ï cắt () tại hai diém phan biét A, B Tim tọa độ cdc diém A, B sao cho d6lén cia tich JA IB dat gid tri nhỏ nhất.\\

Bài 3.2: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (F) : 8 + = = 1 Viét phương trình đường thăng đ cắt (#) tại hai

điểm phân biệt có tọa độ là các số nguyên

Bài 3.3: Trong mặt phẳng 2# cho elip (E) : > + — = 1 va diém M(1; 1) Lap phương trình đường thẳng

A di qua M sao cho A cat (£) tai hai điểm phân biet A, B sao cho MA = MB

Đáp số: A : 4z + 9ụ — 13 = 0

Bài 3.4: Trong mặt phẳng 2z cho elip () : 8 T = ] và đường thẳng d : = # + m d cắt (2) tại hai

điểm P, Q Gọi PP Ý, Qƒ làn lượt là điểm đối xứng của P, Q qua Ó Tìm zn đề PQP “QÏ là hình thoi

Bai 3.5: B-2010

Trong mặt phẳng tọa độ 2# cho A(2, sgr¿3) và elip (#) : + = = 1 Gọi F1, E2 là các tiêu điểm của (E) CF! có hoành độ âm), Ä là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng Á #1 với (#), jN là điểm đối xứng của

E› qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ÁN F2

oOo

TAI LIEU THAM KHAO

[1] Tran Thanh Minh - Giải toán hình học 12 - NXB Giáo Dục - 2001

[2] Các đề thi thứ Đại học năm học 2012 - 2013 [3] Diễn đàn Boxmath - Tuyển tập HHGT trong mặt phẳng

leminhansp

Ban PDF: ¥* (http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?

app=core&module=attach&section=attach&attach_id=13713) Elip - Leminhansp - VMFer.pdf

(http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?app=core&module=attach&section=attach&attach_id=13713)

673 Số lần tải

Trang 9

Bắt đầu bởi zorrono1, 26-05-2013 @ hinh học phăng, phép đổi xứng và

Bắt đầu bởi duong ngoc nhu quy nh, 03-04-2013 hình học phẳng 3-04 3

2 Doe ` ` ye ` Se7 ventran

Bat dau béi se7ventran, 18-03-2013 @ hinh hoc phang

Bat dau béi lightphantom, 16-01-2013 @ on thi dai hoe, ôn thi dai hoc va

Bat dau béi lightphantom, 16-01-2013 @luyen thidaihocva

Diễn đàn Toán học — Todn Trung hoc Phé théng va Thi Đại học — Chuyén détodn THPT

Tiêu đề	Chuyên đề elip
Trường học	University of Science
Chuyên ngành	Mathematics
Thể loại	Chuyên đề
Thành phố	Hanoi

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	4,05 MB