Chuyên đề tính thể tích khối đa diện nguyễn trung kiên

Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có mặt phẳng SAB và SAC cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC - Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc

Chuyên đề luyện thi đại học

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH

Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều học sinh bối rối Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán

⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có:

A

⊻ Thể tích khối đa diện:

Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp:

- Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao

- Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ

mặt bên đến giao tuyến

- Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao

tuyến của 2 mặt kề nhau đó

- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc

bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy

- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao

chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy

Sử dụng các giả thiết mở:

- Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy góc α thì chân

đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC

- Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB SC, cùng tạo với đáy một góc α thì chân

đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC

Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển

Phần 3: Các bài toán về tính thể tích

A Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao:

Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường cao và sử dụng các công thức

Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D , có AB=AD=2 ,a CD=a Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB), (ABCD)bằng 600 Gọi I là trung điểm AD biết 2 mặt phẳng (SBI)và (SCI)cùng vuông góc với đáy ABCD Tính thể tích khối

chóp SABCD

HD giải:

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’2 mặt phẳng (SBI)và (SCI)cùng vuông góc với đáy ABCD ’’

Vì 2 mặt phẳng (SBI)và (SCI)cùng vuông góc với đáy ABCD mà (SBI)và (SCI)có giao tuyến là SI nên SI ⊥(ABCD) Kẻ IH ⊥BC ta có góc giữa 2 mặt phẳng (SCB), (ABCD)là

SABCD

Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ' ' ' B

, AB=a AA, '=2 ,a A C' =3a Gọi M là trung điểm của đoạn B C , ' ' I là giao điểm của BM và '

B C Tính thể tích khối chóp IABC theo a

HD giải:

Dấu hiệu để nhận biết đường cao trong bài toán này là:’’I nằm trong mặt bên (BCC B' ')

vuông góc với đáy (ABC)’’

S

D

C

B A

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD, =a 2,SA=a

và vuông góc với mặt phẳng(ABCD Gọi ) M N, lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC vuông góc với mặt phẳng ) (SMB Tính thể tích khối tứ diện ANIB )

+) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Ta thấy khối chóp ANIB cũng chính là khối chóp NAIB

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Điểm N nằm trong mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy (ABCD)’’

Do NO là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có: NO/ /SA và 1

a

NO= SA=

Do đó NO là đường cao của tứ diện ANIB

Diện tích tam giác đều AIB là:

A S

O

Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với AB= AC=3 ,a BC =2a Các mặt bên đều hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp 0 SABC

Lời giải:

Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là:

‘’Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường

tròn nội tiếp đáy hình chóp’’

Từ đó ta có lời giải sau:

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC và ) I H J, , lần lượt là hình chiếu của O trên

AB BC CA

Theo định lý ba đường vuông góc ta có:SI ⊥ AB SJ, ⊥AC SH, ⊥BC

Suy ra:


SIO SJO SHO lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên , , (SAB) (, SAC) (, SBC và mặt đáy )Theo giả thiết ta có:


0

60

SIO=SJO=SHO=Các tam giác vuông SOI SOJ SOH, , bằng nhau nên OI =OJ =OH

Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Mặt khác: ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa

là đường trung tuyến

Suy ra A O H, , thẳng hàng và H là trung điểm của BC

Tam giác ABH vuông tại H, ta có:AH = AB2−BH2 = 9a2−a2 =2a 2

Diện tích tam giác ABC là: 1 1.2 2 2 2 2 2

p= AB+AC+BC = a và r: bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC

Tam giác SOH vuông tại O , ta có: tan 600 6

O C

B A

N

H M

C

C'

B' A'

I

K B A

- Hạ C H' ⊥(ABC)⇒∆C HA' = ∆C HB' = ∆C HC' ⇔ HA=HB=HC

Suy ra H là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vuông tại A nên H

là trung điểm của BC Ta có: d B ACC/( ') =2d H/(ACC')

Bài toán này được cho theo kiểu giả thiết mở

Dấu hiệu để tìm ra đường cao khối chóp là:’’ SAB là tam giác đều

Tức là SA=SB''

Gọi E là trung điểm của CD F, là trung điểm của ED

Với giả thiết SA=SB ta suy ra chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường

trung trực của đoạn thẳng AB

Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên (ABCD) thuộc đường thẳng chứa HF

C B

S

Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3

C

B A

H

Trong ví dụ này chìa khóa để giải quyết bài toán là phát hiện ra tam giác SBD vuông tại S

Các em hãy rèn luyện dạng toán này qua bài tập sau:

‘’Cho hình chóp SABCD có cạnh SD=x (x>0), các cạnh còn lại của hình chóp bằng nhau và

bằng a (x>0) Tìm x biết thể tích khối chóp SABCD bằng

3

26

a

.’’

B Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp

Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện

đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian đơn giản hơn

Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau:

D

O S

C B

A

H

′ = (2) Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BADˆ =600, SA vuông góc

với đáy ABCD , SA=a Gọi C là trung điểm của SC , mặt phẳng ' ( )P đi qua AC song song 'với BD cắt các cạnh SB SD, của hình chóp tại B D', ' Tính thể tích khối chóp SABCD

HD giải:

Để xác định mặt phẳng ( )P các em cần tính chất:

’’Mặt phẳng ( )P song song với đường thẳng ∆ thì mặt phẳng ( )P sẽ cắt các mặt phẳng chứa ∆

(nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ∆ ’’

Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra AC và SO cắt nhau tại trọng tâm ' I của tam giác SAC

Từ I thuộc mặt phẳng kẻ đường thẳng song song với BD cắt các cạnh SB SD, của hình chóp tại B D', ' là 2 giao điểm cần tìm

S

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a AD, =2a cạnh SA vuông góc

với đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy M sao cho 3

3

a

AM = Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp SBCMN

HD giải:

Ta cần tính chất: ’’Mặt phẳng ( )P song song với đường thẳng ∆ thì mặt phẳng ( )P sẽ cắt các mặt phẳng chứa ∆ (nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ∆ ’’

Từ đó có lời giải như sau:

Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB

D

C B

A S

O

Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi M N P l, , ần lượt là trung điểm

của AB AD SC Ch, , ứng minh mặt phẳng (MNP)chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau

O

D A

S

Ví dụ 6) Cho khối lập phương ABCDA B C D' ' ' ' cạnh a Các điểm E và F lần lượt là trung

điểm của C B' ' và C D' '

1) Dựng và tính diện tích thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng(AEF)

2) Tính tỉ số thể tích của hai phần khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF)

S

Trong tam giác vuông AA K ta có: '

3 '

D'

C' B'

A'

D

C B

A

Gọi V V l1, 2 ần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng (AEF)

⊻ BÀI TOÁN CƠ BẢN

Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC )

(Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của khối chóp)

+

H

M C

B A

S

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu của S lên

mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABD Mặt bên SAB tạo với đáy một góc 600 Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAD

Trong bài toán này G là chân đường cao của khối chóp Để tính khoảng cách từ B đến (SAD )

ta đã quy bài toán về trường hợp cơ bản là tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAD)

Ví dụ 2) Cho hình lăng trụđứng ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD là hình thoi , AB=a 3,

H

N M

D A

S

Gọi C M' là đường cao của tam giác đều C A D' ' ' thì C M' ⊥(ADA D' ') nên C AM' ˆ =300

Trong bài toán này việc nhìn ra AK là đường cao của khối chóp AKC M' để quy khoảng cách

về bài toán cơ bản là yếu tố quan trọng quyết định thành công

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng SBC và ABC là 600 Các tam giác

SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từđỉnh B đến mặt phẳng SAC

B'

Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS=BA=BC Gọi O là chân

đường cao hạ từ B xuống mp (SAC O chính là tâm vòng tròn ngo) ại tiếp tam giác SAC Gọi

Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC

Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA là CN (N

là trung diểm của SA) Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm

Ở cách giải này ta đã sử dụng dấu hiệu ‘’ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân

đường cao là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy’’

S

Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang

0

90

ABC=BAD= ,

BA=BC=a AD= a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 2, gọi H là hình chiếu của

A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD ) (TSĐH D 2007)

HD giải:

Cách 1:

Dựa vào tam giác

2 2

23

F

C B

D A

K

D

C B

H

A

S

2 2 2 2 2 2 2

32

A S

O

N G

M

Gọi M là trung điểm của AB , N là trung điểm của AE Ta có BE song song với (SCD , )

SA SC

+

(Ta cũng có thể lập luận tam giác SAC vuông cân suy ra AH =a)

Trong bài toán này ta đã quy khoảng cách từ G đến (SCD thành bài toán c) ơ bản là tính khoảng cách từ A đến (SCD )

Ví dụ 6) Cho hình lăng trụ ABCA B C' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền

2

BC=a cạnh bên AA'=2 ,a biết A cách ' đều các đỉnh , ,A B C Gọi M N l, ần lượt là trung

điểm của AA AC Tính th', ể tích khối chóp C MNB' và khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (MNB )

1416

B Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian

Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau:

- Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1

điểm bất kỳ trên b đến mp(P)

- Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã trình bày ở mục A

B H

C P

E

Q N M

A K

H

I

E N

Ví dụ 1) Cho lăng trụđứng ABCA B C' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên AA′ =a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA B C′ ′ ′ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B C' (TSĐH D2008)

chính là khoảng cách giữa AM và B’C

Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều

kiện B’C song song với (AMN) Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩđiều này

Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P)

Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối

xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC

Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC

(TS B2007)

HD giải: Gọi P là trung điểm của SA , ta có tứ giác MPNC là hình bình hành

Nên MN/ /PC Từđó suy ra MN / /(SAC M) ặt khác BD⊥(SAC) nên BD⊥PC

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB=BC=2 ,a hai

mặt phẳng (SAC và () SBC cùng vuông góc v) ới đáy ABC Gọi M là trung điểm của AB , mặt

phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N Biết góc tạo bởi (SBC và () ABC b) ằng 600 Tính thể tích khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

(TSĐH A 2011)

Giải

O

K N

P M

E

D

C B

A

S

Ta có SA⊥(ABC ABC); ˆ =900 ⇒SBAˆ =600⇒SA=2a 3

Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm của AC

Từđó tính được V = 3a3

- Kẻđường thẳng ( )d qua N song song với AB thì AB song song với mặt phẳng ( )P chứa

SN và ( )d nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến ( )P

S

Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Chân đường cao hạ

từ S lên mặt phẳng (ABC là ) điểm H thuộc AB sao cho HA


= −2HB




B A

S

Ta suy ra

3 0

Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằnga SA vuông góc với

đáy góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB là 30) 0 Gọi ,E F lần lượt là trung điểm của BC và SD

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF

2

DE CF DE CFI D CFI H CFI

d =d =d = d với H là chân đường cao hạ từ F lên AD

Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính

khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI) Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 7) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết AC vuông góc với SD

tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

D F

B

A S

Gọi H là trung điểm AB O là giao , điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ; SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ⇒SH ⊥(ABCD)

Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản

Phần 6

Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian

Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường

thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b

Ví dụ 1) Cho lăng trụ ABCA B C' ' ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông

tại A , AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của A lên m' ặt phẳng (ABC là trung )

điểm của cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp A ABC' và tính côsin góc tạo bởi AA và '

N

E

K H

M

D

C B

A S

Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA=a SB, =a 3 mặt

phẳng (SAB vuông góc v) ới mặt phẳng đáy Gọi M N l, ần lượt là trung điểm của các cạnh,

B

C

C'

B' A'

Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

Kẻ HI ⊥AB HJ; ⊥ AC; do tam giác ABC vuông tại A nên HI/ /AJ và HJ/ /AI

Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥AB và SJ ⊥AC

Hai tam giác vuông SIA và SJA bằng nhau, vì có SA là cạnh chung và

0

60

SAB=SAC=

N

E H

M

D A

S

Do đó SI =SJ =SAsin 600=a 3 và AI =AJ =SAcos 600 =a, từđó HI =HJ

Suy ra AH là đường phân giác trong của góc A

Vậy tứ giác AIHJ là hình vuông cạnh bằng a

Khi đó AH =a 2

Tam giác SHA vuông tại H, ta có:SH = SA2−AH2 = 4a2−2a2 =a 2

Diện tích tam giác ABC là: 1 13 4 6 2

S