Tìm hai số đó.[r]
Trang 1Dạng 3.3: Luỹ thừa
A - Tìm số dư:
Bài 3.3A.1:
a)Tìm số dư khi chia 200610 cho 2000
b) Tìm số dư trong phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91
Bài 3.3A.2: Tìm số dư khi chia 29455 - 3 cho 9
Bài 3.3 A.3: Tìm số dư khi chia (19971998 +19981999 + 19992000)10 cho 111
Bài 3.3 A.4: Tìm số dư khi chia 15325 - 1 cho 9
Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số dư khi chia 10! cho 11
2) Tìm số dư khi chia 17762003 cho 4000
Bài 3.3 A.6: a) Tìm số dư khi chia 13! cho 11
b) Tìm số dư trong phép chia: 715 : 2001
Bài 3.3 A.7: Tìm số dư khi chia 570 + 750 cho 12
Bài 3.3 A.8: Tìm số dư khi chia 512002100cho 41
Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có:
5120041 51200(mod 41) 32(mod 41)
Mặt khác:21 2(mod 41) , 22 4(mod 41) , 23 8(mod 41) , 24 16(mod 41) , 25 32(mod 41) , 26 23(mod 41) , 27 5(mod 41)
2100 = 214.7+2 = (27)14.22 (5)14.22(mod 41)
Ta có:52 25(mod 41) , 53 2(mod 41)
514 = 53.4 +2 =(53)4.52 24.52(mod 41) 31(mod 41)
Nên: 2100 (5)14.22(mod 41) 31.22(mod 41) 1(mod 41)
ABC
2100 = 41q +1 (qN)
Vậy: 512002100=5120041q +1 = (5120041)q.51200 (32)q 51200(mod 41)
(32)q 32(mod 41) (32)q+1 (mod 41) (qN)
Cách này không ra!
Cách khác:Ta có:5120040 1(mod 41) ,51200 32(mod 41)
Mà: 22 -1(mod5) (22)48 1 (mod5)
(22)48 2 1.2 (mod5)
297 2 (mod5)
297 23 2.23 (mod5.23)
2100 16 (mod 40)
Nên: 2100 = 40q +16
Cho nên: 512002100=5120040q +16 = (5120040)q.5120016 3216(mod 41)
Mà: 3216 = 280 = (240)2 1(mod 41)
Vậy: 512002100 1(mod 41)
Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số dư khi chia (515 + 1) cho (212 +1)
b) Hãy tìm số dư r
Bài 3.3 A.10: Tính phần dư của các số 70 ; 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 79 ; 710 ; 711 khi chia cho 13 và điền vào bảng sau:
Số dư
Bài 3.3 A.11:
a) Tìm số dư khi chia 19972008 cho 2003
Trang 2b/ Tìm số dư khi chia 19972001cho 2003
c/ Tìm số dư khi chia 2100 cho 100
d/ Tìm số dư khi chia 9100 cho 100
e/ Tìm số dư khi chia 11201 cho 100
Bài 3.3 A.12: Tìm số dư khi chia 102007200708 cho 111007
B - Chứng minh chia hết:
Bài 3.3B.1:
1) Chứng minh rằng: 42n+1 + 3n+2 13
2) Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dương n thì biểu thức:
[7.52n + 12.6n] 19
Bài 3.3B.2:
a/ Chứng minh rằng: 24n - 1 15
b/ Chứng minh rằng: 6969+1919 44
Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 18901930 + 19451975 7
b) 192007+132004 5
Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 22011969+ 11969220 +69220119 102
Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng:
a) 25n - 1 31 b) (n2 + n - 1)2 - 1 24
Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: 225
+ 1 461
Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng:
a) 1n + 2n + 3n + + mn 0 (mod m )
b) A = n8 - n6 - n4 + n2 chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ
c) B = 9n3 + 9n2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n
Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222 7
Giải: Ta có:2222 3(mod7) , 5555 4(mod7)
Mặt khác:22226 1(mod7) , 5555 = 5(mod6)
5555 = 6q +5 (qN) nên 22225555 = 22226q +5 = (22226)q.22225 3(mod7) Tương tự: 55552222 4(mod7)
Vậy: 22225555 + 55552222 7(mod7) 0(mod7) đpcm
Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng:nN* ta có:
a) 42n 22n 1 7 b) 22n 15n 1 9
Giải:a) Với n = 1 thì:42n 22n 1 421 221 1 21 7
Giả sử mệnh đề đúng với n = k (kN , k 1) tức là: 42k 22k 1 7
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là: 42k1 22k1 1 7
Thật vậy:4 2k1 2 nếu k chẵn và 4 nếu k lẻ
2 2k1 4 nếu k chẵn và 2 nếu k lẻ
Vậy: 42k1 22k1 1 7
với k *
đpcm
Bài 3.3 B.10: CMR:
a)2 22n1+3 7 b)2210n1 19 23 c)226n2 21 37
Trang 3Giải: c) Ta có:236 1 (mod 37)
Mà: 26 1(mod 9) nên:(26)n 1(mod 9)
(26)n 22 1.22 (mod9 22)
26n +2 4 (mod36)
26n +2 =36q +4 (qN)
Nên: 2 26n2 = 236q+ 4 =(236)q.24 16 (mod 37)
Vậy: 226n4 21 16 21(mod 37) 0(mod 37) dpcm
Bài 3.3 B.11: Số 312 - 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79 Tìm hai số đó
Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng:
a/20012004 + 20032006 10
b/ 7 + 72 + 73+ …+72008 400
Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì :
3n+2 - 2n+2 +3n - 2n 10
C - Số tận cùng:
Ta có: abcde a 104b.103c.102d.101e
Cho nên:
- Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng dư mod 101
- Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 102
- Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 103
- Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10n
Bài 3.3C 1:
a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:999
b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 141414
c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 521
Bài 3.3 C 2: Tìm chữ số tận cùng của số:234
Bài 3.3 C 3: Tìm chữ số tận cùng của số:141414
Giải:Ta có:14 4(mod 10)
Mà: 14 - 1 (mod 5) 1413 - 1 (mod 5)
1413 7 - 1.7 (mod 5)
1413 7 2 - 1.7.2 (mod 5.2)
1414 - 14 (mod 10) 6 (mod 10)
Nên: 1414 =10q +6 (qN)
Vậy: 141414
= 1410q +6 = 14(5q+3).2 = (145q +3)2
Vì : qN nên 145q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6
Do đó: (145q +3)2 luôn có chữ số hàng đơn vị là 6
Cách 2: Ta có:142 6 (mod 10)
Nên: (142)7 67 (mod 10) 6 (mod 10)
1414 = 10 q +6 (q N)
141414
= 1410q +6 = (142)5q 146 6 146 (mod 10)
6 (142)3 (mod 10)
Trang 46 63 (mod 10)
64 (mod 10)
6 (mod 10)
Vậy: Chữ số tận cùng là 6
Bài 3.3 C 4: Tìm 2,3,4,5, 6 chữ số tận cùng của số:521
HD: 521=514 .54 .53 203125 (mod 106)
Bài 3.3 C 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:51995
Bài 3.3 C 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 999
b)Tìm 2 chữ số tận cùng của: 11 99
Giải: a) Vì 100 = 22.52 nên: (100)
100(1 )(1 ) 40
Ta có: 940 1(mod 100)
Mặt khác: 92 1(mod 40)
(92)4 1(mod 40)
(92)4 9 1.9(mod 40)
99 = 40q + 9 (q N)
Vậy: 999
= 940q + 9 = (940)q.99 99 (mod 100) 89 (mod 100)
KL: Hai chữ số tận cùng của 999
là:89 b) Ta có: 999
89 (mod 100) nên 999
= 100k + 89 (k N)
9
9
11 = 11100k + 89 = (11100)k 1189 mà 115 51(mod 100)
(115 )2 1(mod 100)
(1110 )10 1(mod 100)
11100 1(mod 100)
Nên: 11 99 1189(mod 100) 1140.2+9(mod 100) (1140)2.119(mod 100) 119(mod 100)
91 (mod 100)
KL: Hai chữ số tận cùng của 11 99là: 91
Bài 3.3 C 7: Tìm chữ số tận cùng của 21 + 35 + 49 + + 20048009
Bài 3.3 C 8: Tìm số tận cùng của các số: 6713 và 21000
Bài 3.3 C 9: Tìm hai số tận cùng của số: 21999 + 22000 + 22001
Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng của số:2999
Bài 3.3 C.11: Tìm 3 số tận cùng của số:
2010
Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng của số:2007200820072008
Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng của số:
9
9 9
Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng của số:1012 + 1023+1034+1045