Bài 81 đ: Chứng minh rằng tổng của tích bốn số nguyên dương liên tiếp với 1 là một số chính phương... Giải hệ trên đưa về giải tìm được x và y..[r]
Trang 1HUYỆN ĐỨC TRỌNG NĂM HỌC 2009- 2010 MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1(1đ): Tính giá trị biểu thức sau:
A=
Bài 2(1,5đ): Tìm đa thức bậc hai P(x) Biết rằng đa thức đó chia cho các đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư lần lượt là 6027; 2009; 6030
Bài 3(1,5đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 28x2 - 31x + 58
Bài 4(1đ)): Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm với mọi xR
x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
Bài 5(2 đ): Giải hệ phương trình sau:
1
x y xy
x y x y
Bài 6(1 đ): Với a; b; c là các số dương thỏa
2901 2901 2 2901
a b c
Chứng minh rằng: a b 2c
Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: (2 3 1) 13 2 2 2 14 4 6 là số vô tỷ
Bài 8(1 đ): Chứng minh rằng tổng của tích bốn số nguyên dương liên tiếp với 1 là một số chính phương
Bài 9(1,5 đ): Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, thì phân số sau:
n n
tối giản Bài 10(1 đ): Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên lẻ, thì A 3.17n 2 32n n1 29
Bài 11(2 đ): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh rằng :
sin sin
CB A
CA B Bài 12(2 đ): Cho AB, BC, CA là ba dây cung của đường tròn (O) Gọi AE là phân giác của góc BAC, EBC Chứng minh : AB.AC - EB.EC=AE2
Bài 13(3 đ): Cho tam giác ABC cân tại A Gọi BN; CM lần lượt là các đường cao (MAB; N
AC)
a/ Chứng minh rằng: MN // BC
b/ Cho AB = c ;BC = a Tính MN theo a và c
Trang 2
-HẾT -HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 MÔN TOÁN
NĂM HỌC : 20009 -2010
Bài 1(1đ):Tính giá trị biểu thức sau:
A=
=
(0,5 đ) Bài 2(1,5đ):Tìm đa thức bậc hai P(x).Biết rằng đa thức đó chia cho các đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư lần lượt là 6027; 2009; 6030
Lập luận được p(1)=6027; p(-1)=2009; p(-2)=6030 (0,5 đ)
Đưa được về hệ phương trình
6027 2009
a b c
a b c
a b c
(0,5 đ) Giải hệ tìm được a,b,c và kết luận được đa thức cần tìm :2010x2+2009x+2008 (0,5 đ)
Bài 3(1,5đ):Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 - 28x2 - 31x + 58
Tách số hạng hợp lý để nhóm :x3-27x2-x2-58x+27x+58 (0,5 đ) Đưa về (x-1)(x2-27x-58) (0,5 đ) Tách và phân tích (x2-27x-58) và đưa về kết quả cuối cùng
(x-1)(x+2)(x-29) (0,5 đ) Bài 4(1đ)):Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm với mọi xR
x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0 (0,5 đ) Phân tích được vế trái đưa về phương trình tích
(x2+1)(x2-x+1)=0 (0,5 đ) Lập luận được vế trái luôn dương với mọi x,kết luận phương trình vô nghiệm
Bài 5(2 đ):Giải hệ phương trình sau:
1
x y xy
x y x y
Đưa hệ đả cho về hệ 2 2
1
x y xy
x y xy
(0,5 đ)
Đặt biến phụ u=x+y ;v=xy và đưa về hệ
2
1
u v
u v
(0,5 đ)
Giải hệ trên đưa về
1 0 4 15
u v u v
; (0,5 đ) giải tìm được x và y (0,5 đ)
Trang 3
a b c
Chứng minh rằng: a b 2c
Chứng minh và vận dụng được bất đẳng thức 2(x2 +y2) (x+y)2 (0,5 đ)
2( a2901 b2901 ) ( a2901 b2901) 4 c2901
2(a+b)4c Từ đó có đpcm (0,5 đ)
Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: (2 3 1) 13 2 2 2 14 4 6 là số vô tỷ
Biến đổi và khai phương được dấu căn trong cùng (0,5 đ) Biến đổi và khai phương được dấu căn tiếp theo (0,5 đ) Biến đổi và đưa về được kết quả 11 và kết luận (0,5 đ)
Bài 8(1 đ): Chứng minh rằng tổng của tích bốn số nguyên dương liên tiếp với 1 là một số chính phương
Viết được A= n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 (0,5 đ) Đặt y=n2+3n; và đưa về được y2 +2y+1=(y+1)2 và kết luận (0,5 đ)
Bài 9(1,5đ): Với n nguyên dương ,thì phân số sau :
n n
tối giản
Cần chứng minh ƯCLN(21n+4;14n+3)=1
Gọi ƯCLN(21n+4;14n+3)=d, với d 1
suy ra 21n+4=kd;14n+3=hd;với k,h nguyên dương (0,5 đ) Suy ra 7n+1=(k-h)d;do đó 21n+3=3(k-h)d (0,5 đ)
Vì vậy :1=(3h-2k)d; d=3h-2k=1.kết luận (0,5 đ)
Bài 10(1 đ):Nếu n là số tự nhiên lẻ, thì A=A3.17n2 32n n129
Viết được A=3(17n+12n) với n lẻ; Vận dụng Xn+Yn= (X+Y)(Xn-1-… ); (0,5 đ) A=3(17+12).B kết luận A chia hết cho 29 (0,5 đ) Bài 11(2 đ):Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh rằng :
sin sin
CB A
CA B
Vẽ thêm đường kínhCD (0,5 đ) vận dụng hệ thức lượng trong
Tam giác vuông ACD ; và tam giác vuôngBCD có
2
2
AC AC
CD R
BC BC
A CDB
CD R
Suy ra điều cần chứng minh (0,5 đ) Bài 12(2 đ):Cho AB,BC,CA là ba dây cung của đường tròn (O).Gọi AE là phân giác của góc BAC,(EBC).Chứng minh :AB.AC - EB.EC=AE2
Nối AE cắt đường tròn (O)tại D Vận dụng tính chất góc nội tiếp chứng minh được
T am giác ADB đồng dạng tam giác ACE Viết được hệ thức AB.AC=AE.AD (1) (0,75 đ)
Trang 4Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh (0,5 đ) Bài 13(3 đ):Cho tam giác ABC cân tại A, gọi BN; CM lần lượt là các đường cao (M(AB;N
AC)
a/ Chứng minh rằng :MN // BC
b/ Cho AB= c ;BC=a Tính MN theo a và c
câu a/
chứng minh được MB =MC (0,5 đ)
Lập được tỷ lệ thức
MB NC
AB AC suy ra MN//BC (0,5 đ)
câu b/ viết được tỷ số
MN AN
BC
AC
(1) (0,5 đ)
kẻ đường cao AK Chứng minh tam giác ACK đồng dạng BCN Viết được hệ thức
2
2
;tính AN=AC-CN (2) (1 đ)
Từ (1)và (2) tính được MN (0,5 đ)