Giáo trình Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace

1 L ỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết về hàm biến phức và phép biến đổi Laplace là một phần quan trọng của kiến thức toán học mà các kỹ sư và các nhà khoa học cần phải nắm vững.. Đó là vì hàm biến p

1

L ỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết về hàm biến phức và phép biến đổi Laplace là một phần quan trọng của

kiến thức toán học mà các kỹ sư và các nhà khoa học cần phải nắm vững Đó là vì hàm biến

phức và phép biến đổi Laplace cho ta nhiều phương pháp dễ dàng và hiệu nghiệm để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật

Giáo trình Hàm phức và phép biến đổi Laplace được biên soạn theo chương trình hiện hành, dùng cho sinh viên các ngành Điện - Điện tử, Điện tự động và Kỹ thuật điện - Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định Giáo trình gồm bốn chương:

Chương 1 là chương "Hàm biến phức" Trong chương này, được bổ sung và chính xác hóa khái niệm mà ở cấp phổ thông còn đề cập sơ sài hoặc không được đề cập đến Cốt lõi của chương này cần nắm được các dạng đại số, lượng giác, dạng mũ của số phức và các phép toán; khái niệm hàm biến phức, giới hạn, sự liên tục của hàm biến phức, một số hàm

và Laplace ngược của các hàm cơ bản và một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace như:

2

giải phương trình, hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, đặc biệt là ứng dụng trong giải tích mạch điện qua đó giúp người học thấy được tầm quan trọng của môn học đối

với chuyên ngành của mình

Với mục đích tinh giản nhưng vẫn khoa học, đầy đủ do đó có một số định lý chúng tôi không trình bày phần chứng minh và một số mục chúng tôi đưa vào để các sinh viên khá

tự nghiên cứu thêm Cuối mỗi chương có phần bài tập, phần hướng dẫn và đáp số để người

học củng cố kiến thức và kiểm tra kết quả học tập của mình

Giáo trình được biên soạn lần đầu nên không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để giáo trình được hoàn thiện hơn

Cuối cùng, chúng tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Khoa học và hợp tác quốc tế, các bạn đồng nghiệp Bộ môn Toán - Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định đã nhiệt tình giúp đỡ để hoàn thành giáo trình này

Nam Định, 2010

Các tác gi ả

6

3.3.3 Khai triển một hàm thành chuỗi Taylor 100 3.3.4 Không –điểm và định lí về tính duy nhất của hàm giải tích 102

3.4.2 Khai triển một hàm thành chuỗi Laurent 103

7

3.5.2 Xác định các hệ số theo phương pháp Euler – Fourier 107

3.5.4 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 111

3.6.3 Mối liên hệ giữa chuỗi Laurent và điểm bất thường cô lập 122

3.7.2 Tính thặng dư dựa vào khai triển Laurent 122

3.8.1 Ứng dụng thặng dư tính tích phân phức 126 3.8.2 Ứng dụng thặng dư tính tích phân thực suy rộng 129

8

4.1.2 Điều kiện để phép biến đổi Laplace tồn tại 152 4.1.3 Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng 152 4.1.4 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 155

4.2.2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace ngược 165

4.3.1 Sử dụng tính chất của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi ngược

170

4.5.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 177 4.5.2 Ứng dụng giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 185 4.5.3 Các hàm kì dị và biến đổi Laplace của chúng 190

9

Chương 1 HÀM BI ẾN PHỨC 1.1 S ố phức

gọi là đơn vị ảo ) là nghiệm của phương trình x2 1 0

Định nghĩa 1 Mỗi biểu thức dạng z a ib trong đó 2

ph ức

a gọi là phần thực của số phức z Ký hiệu Re z

b gọi là phần ảo của số phức z Ký hiệu Im z

Nếu b 0 khi đó za là số thực Vậy ¡ £

Nếu a 0 khi đó zib gọi là số thuần ảo

Định nghĩa 2 (Hai số phức bằng nhau)

e Lũy thừa bậc n c ủa số phức

Tích của n số phức z gọi là lũy thừa bậc n của số phức z

Ký hiệu: n

z

1 2

4 3535

i z

i z

1.2 Bi ểu diễn hình học của số phức

1.2.1 Bi ểu diễn hình học của số phức

Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Descartes Oxy và ta biểu diễn số phức

z a ib bởi một điểm M a b( , ) trong mặt phẳng xOy Như vậy, các số thực sẽ được biểu

diễn bởi các điểm trên trục Ox, các số thuần ảo được biểu diễn bởi các điểm trên Oy Khi đó

mặt phẳng xOy còn gọi là mặt phẳng phức, Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo

Ngược lại, với mỗi điểm M có tọa độ là ( , )a b của mặt phẳng xOy ta đặt tương ứng

với số phức z a ib

Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập số phức £ và tập tất cả các điểm của mặt phẳng

Ta gọi:

r OMuuuur là môđun của số phức z Ký hiệu là z

 là góc có cạnh đầu là Ox, cạnh cuối là tia Oz gọi là argument của số phức z

Ký hiệu Argz

Số phức z 0có vô số argument sai khác nhau 2k,k¢

Nếu 0  2 gọi là argument chính của z Ký hiệu argz

b Kho ảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa 2 điểm M a b1 1, 1,M2a b2, 2 bằng môđun của số phức z1 z2 và

y

M(a;b)

M’(a’;b’)

r x y  z gọi là bán kính cực của điểm M

Số đo 0, 2 của góc lượng giác OX OMuuur uuuur, 

22

Điểm O có r 0 và  không xác định Dễ dàng chứng minh được:

cossin

2) Nếu x0,y0

02

2

y y

b D ạng lượng giác của số phức

Cho số phức z x iy ta có thể biểu diễn z ở dạng zr c osisintrong đó ,

r z  Argz gọi là dạng lượng giác của số phức z

Ví d ụ 1.Viết các số phức sau sang dạng lượng giác:

y x

3

y x

2

y x

24

32

Dùng công thức nhân với z   z 1 z 2  z n ta được:

26

2,

n n

28

3 2 4

, z

z z z

Giải

Ta có

3 4

Trong nhiều trường hợp, điểm vô cùng có vai trò quan trọng không thể bỏ qua được

Để hiểu rõ bản chất của điểm vô cùng, Rieman đã biểu diễn tập các số phức bằng cách sau:

Trong không gian Euclid ba chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc O x y z; , ,  Xét

r Lấy mặt phẳng xOy làm mặt

phẳng phức, gọi N(0, 0,1) là cực bắc của mặt cầu S Từ mỗi điểm w a b( , ) của mặt phẳng

phức ta kẻ tia Nw, tia này cắt mặt cầu S tại điểm w1x y z, ,  Ngược lại, từ mỗi điểm

 

1

w S\ N ta kẻ tia Nw1; tia này cắt mặt phẳng phức tại w a b( , )

Phép tương ứng này gọi là phép chiếu nổi Khi w1 dần tới điểm cực bắc N, tia Nw1

trở thành song song với mặt phẳng $xOy$ Do đó, ta có thể xem điểm NS tương ứng với điểm w  

Mặt phẳng phức có bổ sung thêm điểm  gọi là mặt phẳng phức mở rộng Ký hiệu là

Tập hợp những điểm z£ thỏa mãn hệ thức zz0  trong đó z0  £ cho trước,

 là số dương tuỳ ý , gọi là lân cận của điểm z0 Ký hiệu: V z0

w

W1

1.3.3 Điểm

Cho z0 £ ,A £

+) Điểm trong: z0 gọi là điểm trong của tập A nếu   0 sao cho V z0  A

+) Điểm ngoài: z0 gọi là điểm ngoài của tập A nếu   0 sao cho V z0   A +) Điểm biên: z0 gọi là điểm biên của A nếu   0 sao cho:

Cho tập hợp B 0;1  z £ / z  1 (hình cầu đóng tâm $0$, bán kính $1$) Khi đó:

Mọi điểm z£ có z 1 là điểm trong của B 0;1

Mọi điểm z£ có z 1 là điểm ngoài của B 0;1

Mọi điểm z£ có z 1 là điểm biên của B 0;1

1.3.4.T ập

+) Tập mở: Tập A£ được gọi là tập mở nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A

Ví d ụ 1

+) Phần trong: Tập hợp tất cả các điểm trong của tập A gọi là phần trong của A

Tập K£ (hoặc £ £   ) được gọi là tập compak nếu  z k K đều tồn tại dãy con

 z n k hội tụ tới một điểm thuộc K

Giả sử    t , t là các hàm thực, liên tục, xác định trên đoạn  a b; Khi đó

phương trình z t  t i t t,  a b, cho biểu diễn tham số một đường cong trong mặt phẳng phức

Ví d ụ Đường tròn tâm O bán kính r có phương trình là:

+) Đường cong kín: Đường cong  gọi là đường cong kín nếu ( )a ( )b

O

y

x

O C

x

+) Đường cong trơn từng khúc: Nếu  là hợp của một số hữu hạn đường cong trơn thì 

gọi là đường cong trơn từng khúc

1.3.6.Mi ền

Miền là 1 tập con D của mặt phẳng phức £ thoả mãn 2 tính chất:

1) Với mỗi xD tồn tại hình tròn tâm x chứa trong D,

2) x y, D có thể nối x, y bằng một đường cong nằm hoàn toàn trong D

+) Miền đóng: Tập hợp gồm tất cả các điểm của miền D và các điểm biên của D gọi là miền đóng Ký hiệu: D

34

+) Miền đơn liên, đa liên: Miền D có biên là 1 tập liên thông thì được gọi là miền đơn liên ngược lại D gọi là miền đa liên

Ví d ụ 1 Miền D z £ / z  1 là miền đơn liên

Tập A gọi là miền xác định của f

Vì z, w là những số phức nên ta có thể biểu diễn như sau: z x iy, w=u+iv Khi đó

O

1.4.2 Bi ểu diễn hình học của hàm phức

Cho hàm phức w f z ,z E £ , lấy hai mặt phẳng phức Oxy (mặt phẳng z) và

1

O uv (mặt phẳng w) Ứng với mỗi z0 E hàm w f z  xác định một điểm w0  f z 0

trong mặt phẳng O uv1 Điểm w0 gọi là ảnh của điểm z0 ngược lại, điểm z0 gọi là nghịch ảnh

w0

37

2 cos

0; 22sin

4 cos 24sin 2

Định nghĩa 1 Giả sử f z( ) xác định trong một lân cận của z0  £ (có thể trừ z0) Số phức

A  gọi là giới hạn của hàm số f z( ) khi z dần tới z0 nếu:

Giải

x y x y x y x y

x x

0, ( 1)

0 0 , ,

Định lý 2 Nếu hàm số f z( ) liên tục tại z0 thì hàm f z  cũng liên tục tại z0

Định lý 3 Tổng, hiệu, tích, thương ( mẫu khác không) của các hàm liên tục là hàm liên tục Định lý 4 Hàm số liên tục trên tập compak thì bị chặn và đạt giá trị lớn nhất và bé nhất về

môđun trên tập hợp này

Định nghĩa 2 Hàm số f z( ) gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D

Chú ý Về mặt hình thức, định nghĩa đạo hàm của biến phức cũng giống như định nghĩa đạo hàm của biến thực Tuy nhiên ở đây đòi hỏi f

Định lý 3.(Điều kiện Cauchy- Rieman (C-R))

Cho hàm số f z( )u x y( , )iv x y( , ) xác định trong lân cận của điểm z0 x0 iy0 Giả

sử u,v ( khả vi theo nghĩa thực ) tại điểm x y0, 0 khi đó điều kiện cần và đủ để f khả vi tại

45

Vì f khả vi tại z0 nên tồn tại giới hạn

 0   0  

0 0

lim

z

f z z

Theo giả thiết, u,v khả vi tại ( ,x y0 0 ) nên ta có:

Trong nhiều trường hợp, các hàm u,v được cho theo các biến r, lần lượt là bán kính

cực, góc cực trong hệ tọa độ cực Khi đó điều kiện Cauchy - Rieman trở thành:

47

r r

r r

r r

49

22

u x x u y y

v x x v y y

v x v y

50

10

1.7.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số f z( ) có đạo hàm trên D £ , ( )f z0  0,z0 D

a Ý nghĩa hình học của Argf z ( )0

Phép biến hình f z( ) biến điểm z0 thành điểm f z( ) 0 Gọi M0 là toạ vị z0, P0 là toạ

vị f z( ) 0 Cho đường cong  L : ( )z t x t( )iy t( ) đi qua M0 Giả sử z t ( ) 0 x t ( ) 0 iy t ( ) 0  0nghĩa là hai số x t ( ) 0 và y t ( )0 không đông thời triệt tiêu khi tt0 Vậy đường cong ( )L có

51

Gọi   là ảnh của đường cong ( )L qua phép biến hình f ,   đi qua P0 và có

phương trình w( )t  f z t ( )

Hình 1.19

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp w ( ) t  f z z t ( ) ( ) 0  0

Theo giả thiết f z ( ) 0  0, ( )z t 0  0 nên w( )t 0 Như vậy tại P0 đường cong   có

tiếp tuyến là P0 Bây giờ ta lấy z z0 ( )L và có ảnh là f z( ) ( )  Theo định nghĩa đạo hàm

0

0

0 0

0

( ) ( )( ) lim

 uuur uuur  uuur uuur  uur uuuur  uur uuuuur

Vậy góc giữa hai đường cong (L) và (L') bằng góc ảnh của nó là   ,   qua phép

biến hình f Do đó f bảo toàn góc giữa hai đường cong ( góc giữa hai đường cong tại z0 là góc giữa 2 tiếp tuyến với đường cong tại điểm z0

0 0

lim( ) ( )

V z D sao cho f khả vi trong lân cận đó

Hàm f xác định trên miền D được gọi là giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi điểm

53

Nh ận xét

1) Hàm f giải tích tại điểm z thì khả vi tại điểm đó Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng

2) Trên miền D mở, hàm f giải tích trên D khi và chỉ khi f khả vi trên D

Ví d ụ 4 Hàm f z zz khả vi tại điểm z=0 nhưng không giải tích tại điểm đó

b Tính ch ất

1) Tổng tích của hai hàm giải tích là một hàm giải tích

2) Thương của hai hàm giải tích( trừ những điểm làm cho mẫu số triệt tiêu) là hàm

Ví d ụ Xét hàm số   2 2

u x y x y  x y ta có:

  Vậy u x y( , ) là hàm điều hòa

1.7.6 Quan h ệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa

Định lý Cho f z( )u x y( , )iv x y( , ) giải tích trong miền đơn liên D thì phần thực u x y( , ) và

phần ảo v x y( , ) là những hàm điều hoà trong D nghĩa là:

Hàm lũy thừa là hàm số có dạng f z( ) z n n,  ¢, xác định và liên tục trên £ f z( )

khả vi trên £ và có đạo hàm tại điểm z là 1

z z z

57

os cot

*)Tính chất: Các hàm lượng giác biến phức có tính chất như các hàm lượng giác biến thực

*) Đạo hàm của các hàm lượng giác:

Hàm Jucôpski xác định, đơn trị trên £ \ 0  Ta đặt f(0)0

Hàm Jucôpski khả vi trên £ \ 0  và đạo hàm của nó là   1 12

1 2

59

f) 3 4

1 2

i i

 

 



b)

2

1 lim

z i

z z

Re( )

30 Tìm a, b, c để f z( ) x ay i bx cy (  ) giải tích trên £

31 Chứng minh hàm số f z( ) xy, z x iy thỏa mãn điều kiện Cauchy - Rieman tại

0 0

z  nhưng không khả vi tại z0  0

32 Chứng minh hàm f z( )zRez khả vi tại điểm z=0, nhưng không giải tích tại điểm đó Tính đạo hàm tại z=0

33 Cho hàm số f z( ) xác định như sau:

Chứng minh hàm số f z( ) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Rieman tại z0  0. nhưng không khả vi tại z0  0

k i

73

26

Liên tục nhưng không liên tục đều

27

a) Không liên tục tại z 0

b) Không liên tục tại z1

c) Không liên tục tại z 0







75

Chương 2 TÍCH PHÂN PH ỨC

2.1 Khái ni ệm và các tính chất cơ bản

2.1.1.Khái ni ệm

Định nghĩa Cho hàm số f z( )u x y( , )iv x y( , ) xác định và liên tục trên đường cong   ,

  là đường cong Jordan trơn từng khúc với 2 đầu mút $a, b$ Chia   một cách tuỳ ý thành n cung nhỏ (n¥) bởi các điểm chia : az z1 , 2 ,.,z z n, n1 b Trên cung



  , trong đó   là cung tròn thuộc nửa mặt phẳng trên nối 2 điểm a và

a lấy theo chiều từ a đến a

Giải

Phương trình tham số của   là :

cossin

79

2.3 Tích phân Cauchy

2.3.1 Các định lý Cauchy về tích phân của hàm giải tích trên đường cong kín

Định lý 1 (Định lí Cauchy cho miền đơn liên)

Cho hàm số f z( ) giải tích trong miền đơn liên, hữu hạn D Khi đó với mọi đường cong Jordan trơn hoặc trơn từng khúc, kín   chứa trong D ta có:

z dz z

80

2

sin( )

Định lý 2.(Định lí Cauchy mở rộng trên biên)

Nếu f z( ) là hàm giải tích trên miền đơn liên, hữu hạn D và liên tục trên biên của D, thì   0

Định lý 3.(Định lí Cauchy đối với miền đa liên)

Giả sử D là miền hữu hạn m+1 liên (m ¥ ) Biên   của D gồm m + 1 đường cong Jordan đóng, trơn từng khúc:   0 , 1 ,., m sao cho các miền hữu hạn giới hạn bởi các

D D’

rộng cho miền đơn liên thì

f z dz

i z z

   

Hình 2.10

2.4 Tích phân lo ại Cauchy

Định nghĩa Cho   là đường cong Joran đóng hoặc không đóng, trơn hoặc trơn từng khúc, f z( ) liên tục trên   , z0 £ / ;

i z z

 Ñ 

gọi là tích phân loại Cauchy

Định lý.Tích phân loại Cauchy

n

 ¥ ta có:

( )

1 0

85

( )

1 0

i i

2.5.1.Tích phân không ph ụ thuộc đường đi

Định lý Giả sử f z( ) là một hàm giải tích trên miền đơn liên G và z0 là một điểm cố định thuộc G Khi đó tích phân của hàm f z( ) dọc theo một đường cong kín nằm trọn trong G, đi

 ) không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

Nếu cận trên z thay đổi thì tích phân đó là một hàm giải tích của z trong G và có đạo hàm được xác định bởi công thức:

Vì f t( ) giải tích, nên nó liên tục tại z Do đó có thể viết f t  f z  t với  t là hàm

giải tích, dần tới 0 khi t 0 Vậy:

87

Cho  z 0 thì z  z z Số hạng thứ hai bên phải dần tới o Thật vậy, do tích phân

không phụ thuộc đường đi nên trong tích phân z z  

Định nghĩa Cho hàm số f z( ) xác định trong D£ Hàm F z( ) xác định trên D được gọi

là một nguyên hàm của f z( ) nếu F z( ) f z( ), z D}

Định lý Nếu F z( ) là một nguyên hàm của f z( ) trên D thì F z( )C C, ( const) cũng là nguyên hàm của f z( )