Bài giảng Độ Đo và Xác suất

Trang 1

I TAP DO DUOC - DO DO DUONG

Dé tinh dién tich hinh thang mau vang,

ta có thể chia nó ra thành hai hình tam

Mặt khác ông Lebesgue đã chứng minh có một tập

hợp bị chận trong mặt phăng, mà ta không thê nào đo

được diện tích của nó

ĐÓ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 1

Thật ra việc đo không chỉ là đo diện tích, ta còn phải

đo nhiều thứ : nhiệt độ, chiều dài, thê tích, điện trở, nhiệt lượng , khả năng trị bịnh của một dược phẩm, Kế cả việc đo “lòng người” trong các cuộc thăm dò

ý kiến người dân về một vẫn đề nào đó

Ta sẽ mô hình toán học các phép đo trong thực tiễn như sau

Cho © là một tập hợp khác trông, xét Ø(O) là họ tất

ca cac tap con cua Q Ta quan sat 9, mdt tap con của Ø(O) Ø chính là các tập con mà chúng ta cần đo trong một công việc nào đó

Øf có thể băng hoặc nhỏ hăn hơn Ø(©)

Cho © là một tập hợp khác trống, xét Ø(©) là họ tất

cả các tập con của Q Ta quan sat Øf%, một tập con

của Ø(O) Ø chính là các tập con mà chúng ta cần đo

trong một công việc nào đó

Øf có thể băng hoặc nhỏ hăn hơn Ø(©)

Theo toán học việc đo các tập 4 € OI chỉ là một ánh

xạ

Hb: OC > |0,s]

Theo các thực tiên ngoài đời sống, ta mô hình toán

các tinh chat cua 9% va h như sau

(D1) QeM

(D3) U4, € # V{4 te OM

Luc dé ta ndi 9 14 mét o-dai s6 trongQ

Nay ta xem các tính chất của ánh xạ

Trang 2

Lúc đó ta nói h là một độ đo đương trên ML

Ta thường ding (Q, 9 1) dé chi mét tap hop © khác

trong, mot o-dai so A, trong QO va mot dé duong uw

trên Ø Ta cũng gọi (O, OM wy) la mot khong gian do

O day <i,j> la lan choi ban duoc mat i ở con xúc sac 1

va mat j 6 con xuc sac 2

ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 8

Trang 3

Chúng ta lay mau ngau nhiên 6549 người và ghi nhận

số liệu về mức thu nhập (thấp trung bình, cao) và sự

hút thuốc, chúng ta có bảng số liệu sau

Thấp Trung bình Cao

MN gdm: Q,o, A ={các người có thu nhập thap},

B= {các người có thu nhập trung bình} và

C = {các người có thu nhập cao}

2480 1954 — 2115

Thap Trung binh Cao

MN gdm: Q,o, A ={các người hút thuôc} và

B= {các người không hút thuốc}

u(©) =1, (6) =0, A — u(B =

Vậy trên cùng O, có thể xét nhiều Øf và u khác nhau

Thí dụ 1.6 Một nhà sản xuất piston biết rằng trung bình có 12% piston không đạt chuẩn vì to hoặc nhỏ

vượt mức chấp nhận được Vậy nếu lấy ngẫu nhiên 10

piston, xác suất có 4 piston không tốt trong các piston

đó là bao nhiêu?

Việc này có thé mô hình toán học như sau Nếu đối với một sự việc , thí nghiệm, van đề nào chỉ có đúng hoặc sai, tốt hoặc xấu, ta đặt q là xắc suất tốt, vậy xác suất xấu là (1-q) cho sự việc, thí nghiệm hoặc vấn dé

đó Nay tiến hành một thử nghiệm với ø thí nghiệm

đó, nếu có # thí nghiệm tốt, thì xác xuất của lần thử

nghiệm này là ø'⁄(1-a)**

Trang 4

xấu, ta dat g là xác suất tốt, vậy xác suất xấu là (1-q) cho sự

việc, thí nghiệm hoặc van đề đó Nay tiễn hành một thử

nghiệm với ø thí nghiệm đó, nếu có & thí nghiệm tốt, thì xác

xuất của lần thử nghiệm này là øX{1-g)”#

Goi A la tap hop ø thí nghiệm đó, Ö là tập hợp & thí nghiệm

tốt, C là tập hợp (z-&) thí nghiệm không tốt Nếu ta hoán vị các

phan tir trong A, ta lại có một thử nghiệm với ø thí nghiệm ,

trong đó có & thí nghiệm tốt Số hoán vị của 4 là ø! Khi ta

chỉ hoán vị các phân tử trong B, và để yên các phân tử trong €,

ta có một thử nghiệm trùng với thử nghiệm cũ, có &l hoán vi

như vậy Tương tự, khi ta chỉ hoán vị các phần tử trong

Œ, và để yên các phần tử trong B, ta có một thử

nghiệm trùng với thử nghiệm cũ, có (z-k)! hoán vi như

phân tử trong A, ta lại có một thử nghiệm với ø thí nghiệm , trong đó có k thi nghiệm tốt Sô hoán vị của 4 là m Khi ta

chỉ hoán vị các phân tử trong B, và đê yên các phân tử trong C;

ta có một thử nghiệm trùng với thử nghiệm cũ, có &l hoán vi

như vậy Tương tự, khi ta chỉ hoán vị các phần tử trong

C, và để yên các phần tử trong B, ta có một thử nghiệm trùng với thử nghiệm cũ, có (z-¿)! hoán vị như

Ta nói (O., ØC ) là không gian xác xuất có xác suất

nhị thức và ký hiệu là B(n,k)

Bài toán 1.1 Ở Mỹ xác suất một trẻ sơ sinh là bé gái

là 0,487 Hãy tính xác xuât trường hợp có hai bé gái

trong ba trẻ sơ sinh

Bài toán 1.2 Một loại thuốc trị bịnh các xác suất có

tác động trên bịnh nhân là 80% Hỏi xác xuất có ít

nhất 4 bệnh nhân có tác động của thuốc trong 6 bịnh

Nếu có ø phần nhỏ, nhưng tài nguyên vật lực của chúng ta chỉ đủ làm việc trên ø phần nhỏ thôi Chúng

ta đánh số ø phân nhỏ như là 4, , , 4„, dùng máy tính chọn ngau nhién & s6 trong tap {1, 2, , n}

Trang 5

Nếu có ø phần nhỏ, nhưng tài nguyên vật lực của

chúng ta chỉ đủ làm việc trên ø phần nhỏ thôi Chúng

ta đánh số ø phân nhỏ như là 4, , ., 4„, dùng máy

tính chọn ngẫu nhiên & số trong tập ƒ1,2 ø Ghi

các số nay nhu lan,, ,,, Dat B, latap hop các

con ray nau trén phan dat 4,

MOT SO o-DAI SO THUONG DUNG

Cho một tập hợp khác trông va m tập hợp con 41,

„ 4,„ của © Ta tìm một ø-đại sô Øf nhỏ nhật trên €2

Øf là o-dai so nho nhat trén O chtta 4,, , A,

Cho (O, ồ) là một không gian metric, ø-đại số Borel

trên © là ø-đại sô nhỏ nhât trên €2 chứa tat ca các tập

mo trong Q

KHONG GIAN DO DUGC LEBESGUE TREN R®

Có một ø-đại số 9£ và một độ đo dương L trên không gian IR" có các tính chất sau :

Trang 6

(iv) w(cE) =cu(E) VEEN, c €(0, ©)

Nếu có số thực M sao cho a, < Mvoi moi n Ta c6

fa,\ la mot day trong [0, M] Luc dé lima, được

nao

dinh nghia nhu trong giao trinh Giai tich Al

Nếu với mọi số thực Ä⁄ đều có một số nguyên ;„ sao

cho M<a, voimoin=N,, Ta dat

Trang 7

Cho {z„} là một day trong [0, °° |

Dat A=f la, : m=1,2,3, 5,É,-<3) :

n=]

> 4, = sup A

n=l

Bai toan 1.5 Cho tans la mot day trong [0, © ) Gia

sử chuỗi số thực » hội tụ theo nghĩa trong

giáo trình GIải tích Ä1 Chứng minh

Hỏi L phải là một độ dương hay không?

(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Néu {4, } là một

dãy các phân tử rời nhau trong OIC thi

wU4,) = Yas)

n=1 n=l

(ii) c6 B trong 9% dé cho p(B) < œ

Bài toán 1.7 Cho (Q, 9) la mot khong gian đo

duoc Cho 4,,4,, ,4,, € M Dat

A=|JA,

n=]

Chứng minh 4 là một tập con Øf-do được trong €2

Trang 8

(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Néu {4, } là một

dãy các phân tử rời nhau trong OIC thi

Bài toán 1.10 Cho (O, Øf,ju) là một không gian đo

được Cho 41,, 4;, 4,„ là các tập rời nhau trong

MO Ching minh ” m

uj4,) = > MA,)

n=]

n=1 (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Néu {4, } la mot

dãy các phân tử rời nhau trong Ø thì

Trang 9

Bai toan 1.12 Cho mot khong gian do duge (Q, Gy)

Cho {B } la mot day trong 9 Chttng minh

(YB, < Dats)

(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Néu {4, } la mot

dãy các phân tử rời nhau trong Ø thì

BUS — w(JB,)=lim a8)

Néu {4,, } la mot day các phân tử rời nhau trong OI

Bài toán 1.14 Cho (R,9W,H) là không gian do được

voi dd do Lebesgue u, va a la mot số thực Chứng minh u({a}) = 0

Bài toán 1.15 Cho (R,9f,H) là không gian đo được

với độ do Lebesgue h, và Q là tập hợp các số hữu tỉ Chứng minh u(Q) = 0

Bài toán 1.16 Cho (R,9fW,H) là không gian do được

voi dd do Lebesgue u, va c là một số thực dương Chứng minh có một mở 44 trong lR, sao cho bao đóng của 4 là IR và u(4) < e

Trang 10

Il KHONG GIAN XAC SUAT

Dinh nghia Cho mot khong gian do duge (Q, MN, 1)

Ta nói đây là một không gian xác suất với một độ đo

xác suất I, nêu n(O©) = l

Trong một không gian xác suất, độ đo thường được

ký hiệu là P thay vì u, chúng có dạng (©, I, P)

Lúc đó Q được gọi là không gian mẫu (sample space),

các tập A c Ø được gọi là các biên cô, và độ đo P(A)

được gọi là xác suât của biên cô A

Trong cac thi du 1.1, ,

Cây hông có th có hoa màu Màu | Số cây

đỏ, màu hông, hoặc trăng _ Đỏ 108

Trong một cuộc điêu tra cơ chê [3

À of „ ` £ k Hong 34

di truyén kiêm soát màu sac, thé -—,

giửa hai giông hoa hông đỏ và |„; ˆ

hoa hông trăng Kêt quả như Tong cộng 182

trong bang bén canh Q ={D6,H6ng, Trang}

P({Dd}) = g5 - P({Hong}) ==> P({Trding}) = —

Xác suất P được tính theo tần số Qua thí nghiệm này,

ta thầy gen đỏ mạnh hơn gen trăng

\

NP cac két qua) \⁄ A B Biến cố

Cây hong có thể có hoa mẻ màu Màu Số cây

đỏ, màu hông, hoặc trăng „ |Đỏ 108 Trong một cuộc điêu tra cơ chê

di truyện kiém soat mau sac, the ——

hệ con cháu 182 của một lai tạo | Trăng 40

giửa hai giông hoa hông đỏ và Tả ˆ 182 hoa hông trăng Kêt quả như Ons CONE trong bang bén canh

XÁC SUẤT CÓ ĐIÊU KIỆN

Thi du 2.1 Néu máy bay có hiện diện trong khu vực

Đà lạt, xác suất để radar báo có máy bay là 0,99 Nếu máy bay không hiện diện trong khu vực Đà lạt, xác suất để radar báo có máy bay là 0,10 Ta giả định : máy bay đang hiện diện trong khu vực Đà lạt với 0,05 xác suất Xác suất báo động sai (không có máy bay mà báo là có), và xác suất phát hiện sót (có máy bay mà báo là không có) là bao nhiêu?

A = {có máy bay trong khu vực Đà lạt}

B= {báo động có máy bay trong khu vực Đà lạt}

Œ = {không có máy bay trong khu vực Đà lạt}

D = thông báo không có máy bay trong khu vực Đà lạt}

Trang 11

11

C = {không có máy bay trong khu vực Đà lạt}

D= {thông báo không có máy bay trong khu vực Đà lạt}

Để giải bài này ta phải phân tích dữ liệu đề cho :

1 “Nếu máy bay hiện diện trong khu vực Đà lạt, xác

suất để radar báo có máy bay là 0.99” : câu này

không có nghĩa “AB”, mà là : dưới điều kiện “máy

bay hiện diện trong khu vực Đà lạt”, xác xuất để dữ

kiện “radar báo có máy bay” xãy ra là 0,99

Còn “AB” chỉ dữ kiện “máy bay hiện diện trong

khu vực Đà lạt và radar báo có máy bay”

02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 5

1.a “Nếu máy bay hiện diện trong khu vực Đà lạt,

xác suất để radar báo có máy bay là 0,99”

1.b “máy bay hiện diện trong khu vực Đà lạt và radar

báo có máy bay”

Xác suất 1.a như là tỉ lệ hai điện tích AB và A

Xác suất 1.b như là tỉ lệ hai diện tích AB và ©

11

2 “Nếu máy bay không hiện diện trong khu vực Đà lạt, xác suất để radar báo có máy bay là 0,10” : câu này không có nghĩa “CB”, mà là : dưới điều kiện

“máy bay không hiện diện trong khu vực Đà lạt”, xác xuất để dữ kiện “radar báo có máy bay” xấy ra là 0,1 Còn “CB” chỉ dữ kiện “máy bay không hiện diện trong khu vực Đà lạt và radar báo có máy bay”

Định nghĩa Cho một không gian xác suất (O, ØW, P),

A va B trong OW, voi P(A) > 0 Dat

P(B|A)= P(ANB)

P(A) |

và gọi đây là xác xuât của B có điêu kiện A

Trong thí dụ 2.I, P(Z5|A) = 0,99, P(5|C@)=0.,1 và

P(A) = 0,05 Ta phải tính P(Cz58B) và P(A¬3Đ), với

Trang 12

BÀI TOÁN 2.2 (Qui tắc Bayes) Cho A;, ,A,, lam

bién co trong mot khong xac xuat (Q, OIC, P) sao cho

JA =2

i=]

A{A,=@ Vi#zj P(A)>0 Vi=L -,m

Cho B 1a mot bién cé trong (Q, 91, P) voi P(B) >0

Chung minh v6i moii=1, ,m, ta cd

Cho Ö là một biến cố trong (O, 9t, P) Chứng minh

P(B) = P(A, ()B)+ P(A, () B)+ -+ P(A, 1B)

= P(A,)P(B| A,) + + P(A, )P(B|A,,)

BÀI TOÁN 2.3 Trong thí dụ 2.1, ta đặt

A¡= {có máy bay trong khu vực Đà lạt}

A, = {không có máy bay trong khu vực Đà lạt) B= {báo động có máy bay trong khu vực Đà lạt}

Ta c6 P(A,) = 0,05 , P(BIA,) = 0,99 va P(BIA,) = 0,1 Tính xác xuất của báo động đúng P(A,|B)

Trang 13

13

Dinh nghia Cho hai bién cé A va B trong một không

gian xac suat (Q,91, P), tandi A va B doc lap voi nhau

néu P(AMB) = P(A) P(B)

Khái niệm độc lập này có ý nghĩa như sau

P(AaB)_ P(A)

P() — P(2)

Vậy tỉ trọng của biên cô A đôi với toàn cục (2) băng

tỉ trọng của biên cô Az5B đôi với biên cô B

Định nghĩa Cho r biến cỗ A,., A„ trong một

không gian xác suât (3,9, P), ta nói A;, A„ độc

lập với nhau nếu P(4/¬ ^A„)=P(4)) P(4„)

e B là biến cô khi ta chọn đúng một quân bài già

e C là biến cố khi ta chọn đúng một quân bài cơ ()

Vậy khái niệm “độc lập với nhau” và “rời nhau”

không phải là một

Thí dụ Úp 52 lá bài lên một mặt bàn và chọn ngẫu

nhiên trong đó một lá bài Gọi A_ là biến cô khi ta chọn đúng một quân bài có hình (bôi, đầm, gia, K, O, J),

B là biến cố khi ta chọn đúng một quân bài già (K)

€' là biến cố khi ta chọn đúng một quân bài cơ ()

A= fbồi dam, gia}, B = {gia} , C= {co}

P(A)=—=— P(B)=—=—., P(C)=—=-, (4) 52 12 (8) 52 12 (6) 52 4 P(AoC)= = = P(A)P(C), P(BOAC)= = # P(B)P(C)

P(A¬B)= = + P(A)P(B)

Trang 14

A= fbồi " gia}, B= {gia}, C= {co} PANO == 5 PAPO, PBOO= S#WIRO

PAMB) _ zA)HĐ) Độc lập :A và C Không độc lập: A và B8, B và C

Bài toán 2.1 Cho một biến cố A trong một không gian

xác suat (Q,91, P) Gia su P(A) > 0 Ta dat

MO = {BOA : Be M}

_ P(E)

n(E) = P(A) VE €%

Ching minh (A,9%, n) là một không gian xác suất

Bài toán 2.2 Với các ký hiệu trong bài toán 2.]

Chứng minh

n(B)=P(B\|A) VWBeM

02/08/2012 BDO BO VA XAG SUAT - CH 2 19

Chung ta lay mau ngau nhiên 6549 người và ghi nhận

số liệu về mức thu nhập (thấp trung bình, cao) và sự hút thuốc, chúng ta có bảng số liệu sau

Thấp | Trung bình | Cao

Không hút thuốc | 1846 1622 1868 | 5336

2480 1954 2115 | 6549 Đặt A = {hút thuốc} và 8 = ƒthu nhập cao} Ta có pay- 2B p P(B py 21> AGAR

Chúng ta lay mẫu ngẫu nhiên 6549 người và ghi nhận

số liệu về mức thu nhập (thấp trung bình, cao) và sự hút thuốc, chúng ta có bảng số liệu sau

Thấp | Trung bình | Cao

Hút thuốc 634 332 247 | 1213 Không hút thuốc | 1846 1622 1868 | 5336

2480 1954 2115 | 6549

Đặt O, =ƒ{Hút thuốc},£ Không hút thuốc}} ,

Trang 15

Đặt O, ={ {Hut thudc}, {Khong hit thudc}} ,

Q, ={{Thap}, {Trung binh},{Cao}}, vaQ=Q,* Q,

Đặt O, ={ {Hut thudc}, {Khong hit thudc}} ,

Q, ={{Thap}, {Trung binh},{Cao}}, va =Q,* Q,

BÀI TOÁN 2.5 Chứng minh (,, đ(O)) P,),

(Q,, PQ), P53) va (Q, AQ), P) la các không gian xác

Trang 16

xuất Lúc đó có một ø-đại số 0 va mot dé đo dương Tị

trên Q = O,xQ, sao cho

(1) A,;xA, € 0 i A; € Mt, voi moi 7 =1,2

(ii) n (A; XA) = P, (A; ) x P, (Az ) ,

Độ đo rị này cũng là một độ đo xác xuat trén Q, va

(O.® n) là một không gian xác xuất

Tuy nhiên, theo các số liệu thu nhận được, có thể O

nhận ơ-đại số 9W và một độ đo dương P sao cho

(O,Øf.P) là một không gian xác xuất

Chúng ta sẽ thấy hiện tượng “độc lập” thường gặp khi

(O9, n) = (O.Ø%CP) Lúc đó ta nói các số liệu trên

(O;.,.P¡) và (Ó,.Ø.,P;) độc lập với nhau

Trang 17

17

Il HAM SO DO DUOC - BIEN SO NGAU NHIÊN

Dinh nghia Cho (Q,9Gu) là một không gian do

duoc, m s6 thuc c), , ¢,, vam tap do duoc Aj

Nếu (O,ØLu) là một không gian xác xuất và ƒ là một

rời rạc Nhiêu khi chúng ta gọi ƒ văn tắt là biên sô

05 A3: 3 triệu đồng A6: 3 triệu đồng

A trước, B sau B trước, A sau

Bài toán 3.2 Đặt 2= {A1,A2,A3}., Ø= PQ) va

P(A1) = 0,2 , P(A2) = 0,4 va P(A3) = 0,4 Chung

minh (Q, 9ICP) la mot khong gian xac xuat

Bài toán 3.3 Đặt X số tiền người chơi nhận được trong

timg bién c6 : X({A1}) = 0, X({A2}) = 1.000.000 va

X({A3}) = 3.000.000 Chứng minh X là một biến số ngẫu nhiên trên (O 9P)

17

Thí dụ 3.1 Một người tham gia một trò đồ vui Có

hai câu hỏi A và 8 Người chơi có quyên lựa thứ tự câu hỏi để trả lời Nếu trả lời đúng một câu thì có

quyền trả lời tiếp câu hỏi thứ hai Nhưng nếu sai một câu thì bị loại và không được đồng nào Nếu trả lời đúng câu hỏi A, sẽ được Ï triệu, xác suất đề trả lời

đúng câu này là 0,80 Nếu trả lời đúng câu hỏi ð, sẽ

được 2 triệu, xác suất để trả lời đúng câu này là 0,50 Nên chọn trả lời câu hỏi A rồi đến câu hỏi B, hay nên chọn trả lời câu hỏi 8 rồi đến câu hoi A?

Chúng ta sẽ dùng xác suất thống kê để tìm lời giải có

lý nhất

02/08/2012 ĐỘ DO VA XAC SUAT - CH 3 2

0.5

05 A3: 3 triệu đồng A6: 3 triệu đồng

Bai toan 3.4 Dat Q= {A4,A5,A6}, 910 = PQ) va P(A4) = 0,5 , P(A5) = 0,1 va P(A6) = 0,4 Ching minh (O, ,P) là một không gian xác xuât

Bài toán 3.5 Đặt Y số tiền người chơi nhận được trong từng biến cố : Y({A4})= 0 Y(ƒA5})= 2.000.000 và

Y({A6})= 3.000.000 Chứng minh Y là một biến số

ngẫu nhiên trên (O, Øf,P)

Trang 18

Dinh nghia Cho O= {w,, , w,}, 9IC= PQ) va P

là một độ đo xác xuất trong Q Cho Z là một biến số

ngâu nhiên trên không gian xác suat (Q, MP) Ta gọi

kỳ vọng của biến số ngẫu nhiên Z là

= EŒ⁄)= Z(w,)P(,})+-:-+ Z(M,)P((w,})

Bài toán 3.6 Tinh E(X) va E(Y) trong cac bai toán 3.3

và 3.5 Từ đó đưa ra cách chọn câu trả lời cho thí dụ

3.1

Thật ra E(X) và E(Y) không trùng với phân thưởng

trong mọi trường hợp Nhưng nó cho biết trị giá trung

bình giải thưởng nếu ta chơi nhiều lần

Sai lệch giữa kỳ vọng và giá trị X được tính như sau

Cho m sô thực c¡., , c„„ và m tập đo được Á¡,

Dinh nghia Cho O= {w,, , w,}, MC= PQ) va P

la mot độ đo xác xuất trong Q Cho Z là mot bién sd ngâu nhiên trên không gian xác suât (O, Ø£,P) Ta gọi phương sai của biến số ngâu nhiên Z là

ø=x|E(Z-Ï) Bài toán 3.7 Tính các phương sai trong các bài toán 3.2 và 3.4

Bài toán 3.8 Cho (O,Ø,u) là một không gian đo duoc Cho f la mot mot ham don trén Q Chung minh

c6k s6 thuc d,, ,d,, d,< <d,, vak tap do

được rời nhau ởị, B, sao cho

f(x)= D4 Lp Vx eQ

Định nghia Cho (Q,9iy) la mot không gian do được Cho ƒ là một ánh xạ từ © vào lR Ta nói ƒ là một ánh xạ đo được trên không gian đo được (,Øf£u) nêu

ƒ-1{,)) ED với mọi số thực a

một biến số ngẫu nhiên

Bài toán 3.9 Cho ƒ là một hàm đơn trên một không gian đo được (@,Ø,ù) Chứng minh ƒ đo được

Có k số thực đ đ,, đị < < đ,, và k tập đo

được rời nhau ?ị, B, sao cho

Tiêu đề	Bài Giảng Độ Đo Và Xác Suất
Trường học	Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội
Chuyên ngành	Đo Đạc Và Xác Suất
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	1,08 MB