Bộ đề, đáp án thi học sinh giỏi toán 9 các tỉnh thành cả nước 2020 2021 ( bộ 2, 45 đề, đáp án chi tiết) (2)

Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2019... Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một t

CHIA 3 BỘ 93 FILE TẢI LÊN TỔNG 135 ĐỀ, ĐÁP ÁN BỘ

1

BỘ ĐỀ, ĐÁP ÁN CHI TIẾT THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH THÀNH NĂM 2020-2021 CÁC TỈNH THÀNH

TRÊN CẢ NƯỚC GIÁO VIÊN CHIA THÀNH 3 BỘ (3 FILE)

(BỘ 1 GỒM 45 ĐỀ) (BỘ 2 GỒM 45 ĐỀ) (BỘ 3 GỒM 45 ĐỀ)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 2019-2020

Câu 1: (3.0đ)

1 Tồn tại hay không các số nguyên tố , ,a b c thỏa mãn điều kiện a b2011c

2 Tìm giá trị nguyên của ,x y thỏa mãn x2  4xy5y2 2(x y )

Cho tam giác nhọn ABC AB AC , Ba đường cao AD,BE và CFcắt nhau tại H Gọi I là giao điểm(  )

EF và AH Đường thẳng qua I và song song với BCcắt AB BE lần lượt tại B và Q.,

1 Chứng minh: AEF∽ABC.

2 Chứng minh: IP IQ 

3 Gọi M là trung điểm của AH chứng minh I là trực tâm của tam giác BMC

Câu 5: (2.0đ)

Trong mặt phẳng cho 6 điểm A ; A ; A ; A ; A ; A trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Với1 2 3 4 5 6

ba điểm bất kỳ trong số 6 điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhở hơn

673 Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu

vi nhỏ hơn 2019

(Hết)

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM

2019-2020

Câu 1: (3.0đ)

1 Tồn tại hay không các số nguyên tố a, b,c thỏa mãn điều kiện ab 2011 c

2 Tìm giá trị nguyên của x, y thỏa mãn x2 4xy 5y 2 2(x y).

Nếub2thì c222011 2015 5   c là hợp số (trái với giả thiết)

Nếu b3thì là số nguyên tố lẻ  b2k3(với k N )

 c a b   c là hợp số (trái với giả thiết)

Vậy không tồn tại các số nguyên tố a, b,c thỏa mãn điều kiện a b 2011c

y x y

y x y

y x y

x  x1

* Trường hợp 2: 6x 1 2 x2 3 3 2 x2 3 6x 4 x2 3 3x2

Cho tam giác nhọn ABC (AB AC , Ba đường cao  ) AD BE v CF cắt nhau tại H Gọi I là giao, à

điểm EF và AH Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB BE lần lượt tại B và Q.,

1/ Chứng minh: AEF∽ABC.

1.EF2

H A

D

F

E N

K

Trong mặt phẳng cho 6 điểm A A A A A A trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Với1; ; ; ; ;2 3 4 5 6

ba điểm bất kỳ trong số 6 điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhở hơn

673 Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu

vi nhỏ hơn 2019

I

H A

F

E M

J

Lời giải

- Trong 15 đoạn thẳng trên các đoạn thẳng A A m n(với m n; 1; 2;3;4;5;6 ; 6}) có độ dài

nhỏ hơn 673 được tô bởi mà đỏ Các đoạn thẳng còn lại được tô bởi màu xanh.

- Khi đó, trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ và các tam giác có 3

cạnh được tô cùng màu đỏ có chu vi nhỏ hơn 2019.

- Vì thế, ta chỉ cần chứng minh luôn tồn tại một tam giác có 3 cạnh đều là màu đỏ.

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

A A ; A A ; A A ; A A ; A A

- Theo nguyên lí Dirichlet trong 5 đoạn thẳng này luôn tồn tại 3 đoạn thẳng được tô

cùng màu.

- Không mất tính tổng quát, Giả sử A A ; A A ; A A1 2 1 3 1 4có cùng màu xanh, khi đó tam

một cạnh màu đỏ)

- Nếu 3 đoạn thẳng A A ; A A ; A A1 2 1 3 1 4có cùng màu đỏ, khi đó tam giác A A A2 3 4 có một

cạnh được tô bởi màu đỏ (trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ)

Giả sử cạnh A A2 4 được tô bởi màu đỏ, Ta có tam giác A A A1 2 3 có З cạnh được tô cùng

Ngày thi: 23/10/2018 Thời gian làm bài: 150 phút

Đỏ Đỏ Đỏ

Đỏ

Đỏ Đỏ

Đỏ

Xanh

Xanh

Xanh Xanh Xanh

ĐỀ CHÍNH THỨC

2 Nhà toán học De Morgan (1806 – 1871) khi được hỏi tuổi đã trả lời: Tôi x tuổi

vào năm x2 Hỏi năm x2đó ông bao nhiêu tuổi

3 Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một

1 Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BI, CK

a) Chứng minh rằng tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB;

b) Biết S AKI S BKH S CHI Chứng minh rằng: ABC là tam giác đều

2 Cho tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) và đường cao AH

2 Nhà toán học De Morgan (1806 – 1871) khi được hỏi tuổi đã trả lời: Tôi x tuổi

vào năm x2 Hỏi năm x2đó ông bao nhiêu tuổi

3 Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một

5

x

x TM x

Vậy phương trình có nghiệm x 2

2 Nhà toán học De Morgan sinh năm 1806, ông x tuổi vào năm x2 nên ta có:

x  x x N

( 1) 42.43

x x   mà x và x – 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên x = 43  x2 1849

Vậy năm 1849 ông De Morgan 43 tuổi

3 Nếu mệnh đề b) đúng thì A + 51 có chữ số tận cùng là 2 và A – 38 có chữ số tậncùng là 3 nên cả hai số này đều không là số chính phương Vậy mệnh đề b) sai và các mệnh đề a) và c) đúng

Bài 4 (6,0 điểm)

1 Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BI, CK

a) Chứng minh rằng tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB;

b) Biết S AKI S BKH S CHI Chứng minh rằng: ABC là tam giác đều

2 Cho tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) và đường cao

rằng ba điểm M, N, O thẳng hàng

Lời giải

1a) Vẽ hình đúng đến câu a)

C/m tam giác AKC đồng dạng với tam

giác AIB suy ra

cos

AIK ABC

BHK ABC

S

B

2cos

CHI ABC

S

C

Mà S AKI S BKH S CHI nên cos2 Acos2Bcos2C A  B C  nên tam giác ABC

là tam giác đều

C/m NAO∽ KAC (c.g.c) AON ACK

C/m ACK 90  AON ACK 90

x y z

(Trái với giả thiết)Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐIỆN BIÊN NĂM HỌC

x y x y

BE, CF cắt (O)lần lượt tại M và N.

2 Cho điểm O thuộc miền trong của tam giác  ABC . Các tia

AO, BO, CO cắt các cạnh BC, AC và AB lần lượt tại G, E và F.

2 Giải hệ phương trình:

3

3

6 2 8

x y x y

x y

MinA

x y

BE, CF cắt (O) lần lượt tại M và N.

AO, BO, CO cắt các cạnh BC, AC và AB lần lượt tại G, E và F.

E

F

IH

M

N

C

BA

Do: ON OM   R gt ( )  A O , cách đều MN  AO là trung trực của MN.

Chứng minh tương tự ta được:

(2) (3)

2 ABO ACO BCO 2 2

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9 n11 là tích của k k,k2 số tựnhiên liên tiếp.

z x luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1

b) Với các số thực dương , ,a b c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2b2c22abc1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ab bc ca abc    .

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại AAB AC  Đường tròn  I nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với các cạnh BC CA AB lần lượt tại , ,, , D E F Gọi S là giao điểm của AI

và DE

a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS

b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của BC.Chứng minh rằng ba điểm , ,K O S thẳng hàng.

c) Gọi M là giao điểm của KI và AC. Đường thẳng chứa đường cao AH của

tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N Chứng minh rằng AM AN

Câu 5: (1,0 điểm)

Xét bảng ô vuông cỡ 10 10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị Người

ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1 Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần

-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC

2018-2019 Câu 1: (5,0 điểm)

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9 n11 là tích của k k,k 2 số tự

nhiên liên tiếp

Vậy cả a vàb đều chia hết cho 3.

b) Ta có tích của từ ba số tự nhiên liên tiếp trở lên thì chia hết cho 3

Theo đề bài 9n11 là tích k số tự nhiên liên tiếp mà 9n 11không chia hết cho 3 nên k 2.

Đặt 9n 11a a 1 với a là số nguyên dương.

Từ 1 và  2 ta có 4a 2 14  a3 9n11 12  9n 1 n0 (Loại).

z x luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1.

b) Với các số thực dương , ,a b c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2b2c22abc1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ab bc ca abc   

Do đó trong các số

,4

Cho tam giác ABC vuông tại AAB AC  Đường tròn  I nội tiếp tam giác ABC

tiếp xúc với các cạnh BC CA AB lần lượt tại , ,, , D E F Gọi S là giao điểm của AI

và DE

a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS

b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của BC Chứng minh rằng ba .

M O

K

D

E F

I A

  C

.Mặt khác EAS IAB (Tính chất tia phân giác).

Do đó: IAB #EAS (g - g).

b) Ta có: IAB #EAS  ASEABI IBD 

Tứ giác IBDS có IBD ISD ASE ISD   180  Tứ giác IBDS nội tiếp

 ISB IDB   (Góc nội tiếp cùng chắn BI nhỏ) mà

452

IAB BAC

(Tính chất

tia phân giác)  ASB vuông cân tại S

ASB vuông cân tại S có SA là đường trung tuyến nên SA là đường trung trực

của AB. *

Mặt khác ABCvuông có AO là trung tuyến nên

12

Xét bảng ô vuông cỡ 10 10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị Người

ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1 Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần

Có 100 ô vuông trên bảng nên theo nguyên lý Dirichle thì sẽ có một số

xuất hiện trên bảng ít nhất là

100

1 619

3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2y2 17 – 2xy

Câu 4.(3,0 điểm)Cho , , a b c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

AC AB

và diện tích tam giác ABC là

2

24 cm

2 Qua điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song

với 3 cạnh tam giác Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh

,

AC BC lần lượt tại E và D ; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh

AB và AC lần lượt tại M và N ; đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại F và H Biết diện tích các tam giác

, ,

ODH ONE OMF lần lượt là a b c 2, 2, 2

a) Tính diện tích S của tam giác ABC theo , ,a b c

Điều kiện xác định của M là x2  2x 3 0

x x

(x- 2) + ¹2 0 " nên pt này vô nghiệm.x

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= -{ }1

Nếu x2 =1 x y 2 13 (loại)

AC AB

và diện tích tam giác ABC là

2

24 cm

2 Qua điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song

với 3 cạnh tam giác Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh

,

AC BC lần lượt tại E và D ; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh

AB và AC lần lượt tại M và N; đường thẳng song song với cạnh AC cắt

cạnh AB và BC lần lượt tại F và H Biết diện tích các tam giác

, ,

ODH ONE OMF lần lượt là a b c 2, 2, 2

a) Tính diện tích S của tam giác ABC theo , , a b c

E

D F

H

b) Chứng minh rằng: Nếu c a ,  c b thì   c a b

3.2 Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn x2019y2019z20193 Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức: E x 2y2z 2

Câu 9: (4,0 điểm)

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Hai điểm M , N lần lượt di

động trên hai đoạn thẳng AB , AC sao cho  1

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O , gọi M là

trung điểm của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC Tính diện tích của tam giác

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HOÀI NHƠN NĂM HỌC

2018-2019 Câu 6: (4,0 điểm)

b (thỏa)36

.b)Ta có

Giả sử  * đúng khi n k , nghĩa là

Câu 8: (5,0 điểm)

3.1 Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:

 2  2  2

2 2 2

a b c a b b c c a a) Tính a b c  , biết rằng ab bc ca  9.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có các đánh giá sau:

Dấu “” xảy ra khi x y z   1

Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z   1

Cách 2.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có các đánh giá sau:

Suy ra 6x3 x y3 y z3zCosi2x2y2z2 x2 y2z2 3

Dấu “” xảy ra khi

3 3 3

Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z   1

Câu 9: (3,0 điểm)

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Hai điểm M , N lần lượt di

động trên hai đoạn thẳng AB , AC sao cho  1

Không mất tính tổng quát ta giả giử AM AN Kẻ MH AC như hình vẽbên.

c) Gọi K , E lần lượt là trung điểm của AB , AC

D là tâm đường tròn nội tiếp ABC

Kẻ DIMN IMN Khi đó ta dễ dàng tính được:

36

Câu 10: (3,0 điểm)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

 O , gọi M là trung điểm của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K

là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC Tính diện tích của tam giác ABC,

E K

D A

C B

I

Lời giải

Gọi D là trung điểm của AC

Ta chứng minh được AHB#MOD (ba cặp cạnh song song)

O

C A

B

Tính giá trị của biểu thức:

22

x x

a, Cho plà số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p  2 1 24.

b, Tìm số tự nhiên n sao cho A n 2 n 6là số chính phương.

c, Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn: y22xy 3x 2 0 .

Cho đường tròn tâm O, đường thẳng  d cố định nằm ngoài đường tròn M di

động trên đường thẳng  d , kẻ 2 tiếp tuyến MAvà MBvới đường tròn O R; ,

OMcắt ABtại I .

a, Chứng minh tích OI OM không đổi.

b, Tìm vị trí của M để MABđều.

c, Chứng minh rằng khi M di động trên  d thì ABluôn đi qua một điểm cố

định.

Cho các số thực dương x y z; ; thỏa mãn x y z  1 Chứng minh rằng:

94

x yz  y zx z xy   

……….HẾT……….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

……….

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM

x x

b, Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi

Xét ba số tự nhiên liên tiếp p  1; p; p 1 Ta có  p1 p p 1 3 .

Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 Mà 3 là số

nguyên tố nên suy ra  p 1 p 1 3 (2).

(d) K

Vế trái của (*) là số chính phương; Vế phải của (*) là tích của 2 số nguyên liên

tiếp nên phải có 1 số bằng 0 Suy ra ta có:

Cho đường tròn tâm O, đường thẳng  d cố định nằm ngoài đường tròn M di

động trên đường thẳng  d , kẻ 2 tiếp tuyến MAvà MBvới đường tròn O R; ,

OMcắt ABtại I .

a, Chứng minh tích OI OM không đổi.

b, Tìm vị trí của M để MABđều.

c, Chứng minh rằng khi M di động trên  d thì ABluôn đi qua một điểm cố

định.

Lời giải

Yêu cầu học sinh vẽ hình đúng đến câu a.

OA MA

OB OI OM  OI OM R không đổi (đpcm)

Để AMB đều thì góc AMB 60o  góc BMO 30o.

N , trên tia đối của tia DBlấy điểm Ksao cho AN DK 2a Gọi giao

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

……….

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC

Lập luận ta được p16p12 p8p41chia hết cho 5.

* Xét x 2 0  x2: thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Xét x2 x 1 0: Loại.

* Xét x 2x2 x1 ta có: x 1.

* TH x2; x1 Với x nguyên ta chứng minh được x1;x2 x1 1

Nên x3 3x2 x 2 là số chính phương khi x  2 và x2 x1 cùng là số chính phương.

2 Chứng minh DM BN a  2 Từ đó tính số đo góc BPD.

3 Tìm vị trí điểm N và Kđể diện tích tứ giác ADKN lớn nhất.

Lời giải

C

D A

B

N

K

Vì S ABDkhông đổi  S ADKNlớn nhất khi S ADKN S ABDlớn nhất hay S NBKlớnnhất

Thật vậy ta có:

1 .sin 602

o NBK

Dấu “=” xảy ra khi BN BK 2a, mà AN DK 2a , BA BD a  Vậy

thỏa mãn: a b c  và a3b3c33abc Chứng minh rằng: P Q . 9

Câu 17: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a) Chứng minh: ADC∽ BEC Cho AB m , tính BE theo m

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:……….

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUẬN BẮC TỪ LIÊM

1

x y A

ab a b b c bc ac a c a b b c a c P