Bộ đề đáp án thi học sinh giỏi toán 9 các tỉnh thành năm 2020 2021 (bộ 1, 45 đề)

1 điểm Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn thì diện tích tam giác nhỏ hơn... Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏhơn thì diện tích tam giác

CHIA 3 BỘ (3 FILE TẢI LÊN TỔNG 135 ĐỀ, ĐÁP ÁN BỘ

1

BỘ ĐỀ, ĐÁP ÁN CHI TIẾT THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH THÀNH NĂM 2020-2021 CÁC TỈNH THÀNH

TRÊN CẢ NƯỚC GIÁO VIÊN CHIA THÀNH 3 BỘ (3 FILE)

(BỘ 1 GỒM 45 ĐỀ) (BỘ 2 GỒM 45 ĐỀ) (BỘ 3 GỒM 45 ĐỀ)

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 4 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 3. (4 điểm)

b.Choba số dương , , thỏa mãn điều kiện

.Tìm giá trị lớn nhất của

Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác nhọn, có các đường cao

cắt nhau tại .Gọi lần lượt là hình chiếu củađiểm trên các đường thẳng Chứng minh rằng

có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng diện tích tam giác

Câu 5. (1 điểm)

Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ

hơn thì diện tích tam giác nhỏ hơn

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHỌN HSG TOÁN 9 CỤM

CHUYÊN MÔN SỐ 4 Năm học: 2020-2021

Câu 6. (4 điểm)

b)

Vậy

c)

Ta có:

(luôn đúng)Tương tự:

b)

Tương tự:

Từ , và

Dấu “=” xảy ra khi

Câu 9. (6 điểm) Cho tam giác nhọn, có các đường cao

cắt nhau tại .Gọi lần lượt là hình chiếu củađiểm trên các đường thẳng Chứng minh rằng

có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng diện tích tam giác

Lời giải

K I

F

H E

(5)

b) Ta có (hai góc so le trong)(1)

trí đối nhau nên tứ giác là tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung )(2)

Chứng minh tương tự ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung )(3)

Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ

hơn thì diện tích tam giác nhỏ hơn

Vậy tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích

tam giác nhỏ hơn

HẾT

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 14/11/2020

1 Cho ba số thực khác không thỏa mãn điều kiện:

đoạn thẳng , một nửa mặt phẳng bờ , dựng hai hình

là điểm , giao điểm của đường thẳng và là

Biết khi đạt hình hộp chữ nhật đó đặt lên mặt bàn

thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là

(minh họa bằng hình vẽ bên) Tìm giá trị nhỏ nhất của

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN ĐỐNG ĐA

1 Cho ba số thực khác không thỏa mãn điều kiện:

2 Tìm tất cả các bộ số nguyên thỏa mãn

Lời giải

1 Ta có

- Nếu là số chẵn và chia 4 dư 2 là sốchẵn.

Dấu “ =” xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là khi

Câu 4. (7 điểm)

đoạn thẳng , một nửa mặt phẳng bờ , dựng hai hình

là điểm , giao điểm của đường thẳng và là

a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

.Suy ra tam giác vuông cân ở , suy ra

Xét tam giác có là các đường cao và cắt nhau tại,

suy ra là trực tâm tam giác , suy ra hay

Suy ra minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

Xét tứ giác , có nên nội tiếp, suy ra

(1)

Tương tự (2)

trung điểm AB.

Câu 5. (1 điểm)

là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm,

có thể tích

Biết khi đặt hình hộp chữ nhật đó lên mặt bàn

thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là

(minh họa bằng hình vẽ bên) Tìm giá trị nhỏ nhất của

UBND HUYỆN GIA LÂM

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2020-2021

MÔN: TOÁN Câu 1 (2.0 điểm) Cho đa thức trong đó

Biết rằng khi chia đa thức cho đa thức thì được dư là

5, còn chia đa thức cho đa thức thì được dư là – 4

Câu 6 (2.0 điểm) Cho là một điểm nằm trong hình chữ nhật

Câu 7 (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19

của một bệnh viện chỉ có bác sĩ và bệnh nhân Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn

Câu 8 ((2.0 điểm) Cho , trong đó và

Hãy biểu diễn theo

Câu 9 (2.0 điểm) Cho các số dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 10 (2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính

chất: Tổng của hai phần tử tùy ý của S là một số chính

mãn điều kiện trên) Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (2.0 điểm) Cho đa thức trong đó

Biết rằng khi chia đa thức cho đa thức thì được dư

là 5, còn chia đa thức cho đa thức thì được dư là – 4

Câu 5 (2.0 điểm) Cho các số và là các số nguyên tố

Từ (3), (4) suy ra là hợp số (trái với đề bài)

Vậy thỏa mãn bài toán

Câu 6 (2.0 điểm) Cho là một điểm nằm trong hình chữ nhật

Lời giải

Qua kẻ đường thẳng

Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ta có:

Ta chứng minh được

Câu 7 (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19

của một bệnh viện chỉ có bác sĩ và bệnh nhân Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn

Theo đề bài ta có:

Mà khác nên

Vậy số bác sỹ và số bệnh nhân bằng nhau

Câu 8 (2.0 điểm) Cho , trong đó và

Hãy biểu diễn theo

Lời giải

Vẽ tam giác vuông tại

có Khi đó số đo góc chính là

số đo

Áp dụng định lý Pytago vàotam giác ta có:

Khi đó ta có

Câu 9 (2.0 điểm) Cho các số dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

Tương tự ta có:

Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta có:

Câu 10 (2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính

chất: Tổng của hai phần tử tùy ý của S là một số chính

mãn điều kiện trên) Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ

 Nếu là các số lẻ và chẵn thì ,

Suy ra là số chẵn (mâu thuẫn với lẻ)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SÊ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 12/11/2020

Câu 6. (5.0 điểm)

.b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn

Câu 7. (5.0 điểm)

a) Chứng minh rằng không thể biểu diễn dưới dạng

với là các số hữu tỉ và dương

minh rằng

vuông góc tại vuông góc tại

a) Chứng minh rằng khi di chuyển trên cạnh thì đườngthẳng qua và vuông góc với luôn đi qua một điểm cố định

b) Xác định vị trí của điểm trên cạnh để diện tích tam giác có giá trị nhỏ nhất

Câu 10. (3.0 điểm)

Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100

Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thànhmột tam giác

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SÊ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 12/11/2020

Câu 1. (5.0 điểm)

.b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn

Do là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau:

a) Chứng minh rằng không thể biểu diễn dưới dạng

với là các số hữu tỉ và dương

minh rằng

Lời giải

+ Nếu là số chính phương hoặc là số hữu tỉ có dạng

Điều này vô lý vì là số vô tỉ

+ Nếu không là số chính phương hoặc không là số hữu tỉ

b) Lại có: vuông ở có đường cao

(Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Thay (3) vào (*) ta dưọc:

Câu 4. (4.0 điểm)

Cho tam giác vuông cân tại , trên cạnh lấy một điểm bất kỳ ( không trùng với và ) Từ kẻ

vuông góc tại vuông góc tại

a) Chứng minh rằng khi di chuyển trên cạnh thì đườngthẳng qua và vuông góc với luôn đi qua một điểm có định

b) Xác định vị trí của điểm trên cạnh để diện tích tam giác có giá trị nhỏ nhất

(hai góc tương ứng)

Lại có (hai góc so le trong) nên ta có:

Câu 5. (3.0 điểm)

Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100

Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thànhmột tam giác

Lời giải

đọan thẳng này có thể lập thành một tam giác

Giả sử ngược lại:

Khi đó theo giả thiết:

Mâu thuẫn với giả thiết cho dộ dài mỗi đoạn thẳng nhỏ hơn 100

tại 3 đoạn thẳng để có thể ghép thành tam giác

 HẾT 

PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN QUỲ HỢP

KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 1 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN 9 Câu 11. (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

2 Cho biểu thức

a Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn

b Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên

Câu 12 Giải các phương trình sau :

c Cho các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Câu 4.

1 Cho tam giác vuông tại , vuông góc với , là

đường phân giác Gọi , là đường phân giác của tam giác ,

b Gọi là đường phân giác của tam giác , Chứng minh

2 Cho tam giác đều , đường cao Lấy điểm nằm giữa

và , vẽ vuông góc với tại , vuông góc với tại

Tìm vị trí của điểm trên để diện tích lớn nhất

Câu 5 ( 1,0 điểm)

Bảy người câu được 100 con cá Biết rằng không có hai

người nào câu được số cá như nhau Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá

HẾT

ĐÁP ÁN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUỲ HỢP VÒNG 1

NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN 9 Câu 1 Rút gọn biểu thức

1

2 Cho biểu thức

a Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn

b Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên

Lời giải

1 Ta có:

2 Cho biểu thức

Và vế phải:

Vậy phương trình có nghiệm

Câu 3 ( 6,0 điểm)

a Xác định đa thức bậc bốn biết: và

với

c Cho các số dương thỏa mãn

.b)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cặp số :

Suy ra điều phải chứng minh

Câu 4.

1 Cho tam giác vuông tại , vuông góc với , là

đường phân giác Gọi , là đường phân giác của tam giác ,

b Gọi là đường phân giác của tam giác , Chứng minh

2 Cho tam giác đều , đường cao Lấy điểm nằm giữa

và , vẽ vuông góc với tại , vuông góc với tại Tìm vị trí của điểm trên để diện tích lớn nhất

Lại có là phân giác nên là hình thoi Hơn nữa,

b) Chứng minh

Q P

H K

E D

B

A

C M

(1)

Hơn nữa (2)

Vậy giá trị lớn nhất của là (đvdt) khi là trung điểm của

Câu 5 Bảy người câu được con cá Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn con cá

Nếu người thứ tư câu được không ít hơn 15 con cá, thì ba

Nếu người thứ tư câu được 14 con cá hoặc ít hơn thì cả bốn

ba người đầu câu được không ít hơn 50 con

Vậy ba người đầu luôn câu được tổng cộng không dưới 50 con cá

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 1

2) Tính giá trị của biểu thức biết:

Câu 4. (4,0 điểm).Giải các phương trình sau:

Cho tam giác vuông tại có Kẻ đường cao (

), phân giác ( ) Kẻ vuông góc với tại ; vuông góc với tại

2) Chứng minh rằng = và là tia phân giác

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 1

Thay vào biểu thức

Vậy thì giá tri của biểu thức

Câu 2. (4,0 điểm).Giải các phương trình sau:

1)

Lời giải

1)

ĐKXD:

Giả sử là một số chính phương thì tồn tại số nguyên

Vậy không là một số chính phương

Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác vuông tại có Kẻ

góc với tại ; vuông góc với tại

1) Cho =9cm, =12cm Tính độ dài các đoạnthẳng và

Suy ra: đồng dạng với ( )

2) Choa, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2) Choa, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dấu "=" xày ra khi

Vậy Max

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

Năm học: 2020-2021

3) Cho là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: chia

Câu 11. (7,0 điểm).Cho tam giác có ba góc nhọn, ba đường

cao , , cắt nhau tại

4) Chứng minh: = và + CHCE=

6) Gọi là trung điểm của Đường thẳng qua vuông

góc với cắt đường thẳng , lần lượt tại và

Câu 12. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên

tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần

xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng

lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

 Với ta có :

hoặc Vậy phương trình có tập nghiệm là

1) Cho là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: chia

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện:

Lời giải

1) Cho là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: chia

Ta có:

Giả sử đều chia dư 1 chia dư 1 (2)

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều già sử là sai

Trong ba số ít nhất có một số chia hết cho 2

Biến đổi phương trình thành: Mà

.Vậy không tồn tại ba số nguyên thỏa mãn điều kiện:

2) Cho số thực thỏa mãn Tìm GTNN của biểu thức:

Vậy MinA =2093 khi và chi khi

Câu 4. (7,0 điểm).Cho tam giác cóba góc nhọn, ba đường cao

Xét tam giác: đông dạng

có:

chung

đồng dạng nên

Chứng minh đồng dạng

Do

cân tại

Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên

tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần

xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng

lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

Lời giải

Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng:

.Qua mỗi bước ta thấy tồng giàm đi 2

Lúc đầu tồng sau 99 bước số còn lai sẽ là

 HẾT 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN

QUẬN NAM TỪ LIÊM MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1 (4,0 điểm)

1 Cho biểu thức

với

a) Rút gọn biểu thức

b) Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

một số nguyên

Bài 2 (4,0 điểm)

tự nhiên)

2 Cho là các số nguyên thỏa mãn

Chứng minh rằng: viết được dưới dạng hiệu của hai

2) Chứng minh:

3) Gọi là giao điểm của và Tìm vị trí của điểm

để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 (1,0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm

được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh khi

đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các

điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng

một màu hoặc đôi một khác màu

HẾT

ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN

QUẬN NAM TỪ LIÊM MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021 Bài 1 (5,0 điểm)

1 Cho biểu thức

với

a) Rút gọn biểu thức

b) Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

một số nguyên

Lời giải

1 a) Rút gọn biểu thức

Do đó: Dấu “=” xảy ra

2 Ta có:

( Vô lí)Vậy là một số nguyên

Bài 2 (4,0 điểm)

tự nhiên)

2 Cho là các số nguyên thỏa mãn

Chứng minh rằng: viết được dưới dạng hiệu của hai

số chính phương

Lời giải

dư

Vì và vai trò của x,y như

Giải phương trình bình phương 2 vế ta có :

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho hình vuông độ dài cạnh bằng và có tâm là .Điểm là một điểm di chuyển trên ( khác và ).Gọi là giao điểm của tia và đường thẳng là giao

3) Gọi là giao điểm của và Tìm vị trí của điểm

để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

O

C B

Gọi là giao điểm của và

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH

ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN 9

Câu 13.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác

Câu 18.

Lời giải

a)

Vậy

Vậy là nghiệm của phương trình

Vì a; b; c là ba số tự nhiên liên tiếp nên ta có:

Cho hình vuông tâm , trên cạnh lấy tương

C D

B A

a) Chứng minh vuông cân

+) Khi thì là đường trung bình của

là trung điểm của

Vậy khi lần lượt là trung điểm của thì tứ giác

là hình bình hành

là trung điểm của (chứng minh trên)

+) Khi là trung điểm của , mà hay

là trung điểm của

Mặt khác, khi lần lượt là trung điểm của thì

là hình vuông

.Vậy khi lần lượt là trung điểm của thì tứ giác