Gọi F là giao điểm của BE và CD.. Gọi I là giao điểm của AE và BF.. Chứng minh A, B, I, C cùng thuộc một đường tròn... Gọi F là giao điểm của BE và CD... Nên OJ là đường trung trực của
Trang 1Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận 3 (2015-2016)
Bài 1
a b c a b c
Chứng minh 20151 20151 20151 2015 20151 2015
a b c a b c
2
2a 1 x B
1 x x
2 a 1 a
9 4 5 9 4 5
Bài 2: Giải pt
x x x x x 2
8x
x 2
c)
1
y
1
z
1
x
M 5x 2xy 2y 14x 10y 1
Bài 4: Chứng minh rằng n
10 18n 28 27, n N
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), các đường cao BI và CK cắt nhau tại H Trên
đoạn BH lấy điểm D sao cho ADC bằng 0
90 Gọi F là giao điểm của BE và CD Chứng minh
AD DF DE
ABCACB50 Lấy N là điểm nằm trong tam giác ABC sao
NBC 10 và 0
Bài 7: Trên cạnh BC của hình vuông ABCD lấy BE BC
3
; trên tia đối của tia CD lấy F sao
2
Gọi I là giao điểm của AE và BF Chứng minh A, B, I, C cùng thuộc một
đường tròn
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 1 LỚP 9
Quận 3 (2015-2016) (Thi: thứ 7, 26-9-2015)
Trang 2Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận 3 (2015-2016)
Bài 1
a) Cho 1 1 1 1 (a, b, c 0)
a b c a b c
a b c a b c
a b
a b c a b c a b a b c c ab c a b c
2
ab c a b c ab c a b c abc a b c
a b b c c a 0
2015 2015 2015 2015
2015 2015 2015 2015
2015 2015 2015 2015
c
Vậy 20151 20151 20151 2015 20151 2015
a b c a b c
2
2a 1 x B
1 x x
2 a 1 a
2 a 1 a
2 1 1 a a
4 a 1 a
2 1 1 a a 4
4 a 1 a 4
2 1 1 a a
4 a 1 a
2
x 1
x 1
2 a 1 a
2
2a 1 x B
1 x x
HƯỚNG DẪN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 1 LỚP 9
Quận 3 (2015-20156)
Trang 3Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận 3 (2015-2016)
B
1 a a a
a
a 1 a 1 a
1 a 1 a
c) Tính : x 39 4 5 39 4 5
x 9 4 5 9 4 5
x 9 4 5 3 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5
x 18 3 x 1
3
2 2
x 3x 18 0
x 3 x 3x 6 0
3 15
x 3 x
2 4
x 3
Bài 2: Giải các phương trình sau:
x x x x x 2
x x x x x 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
x x x x x 2 0
x 2x x 2x x 2x x 2x x 2 0
x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x 2 0
x 2 x x x x 1 0
x 2
x x x x 1 0 1
Giải (1) : ta có: 4 3 2
x x x x 1 0
(vô lí)
8x
x 2
t t 0 x
4
t 2t 5t 16 0 t 2 2t 3t 4t 4 0 t 2
t 2
4
Trang 4Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận 3 (2015-2016)
c)
1
x 2 1
y
1
y 2 2
z
1
z 2 3
x
Điều kiện : x0, y0, z0,
Từ pt (1) ta suy ra y 1
2 x
Từ pt (3) ta suy ra z 2x 1
x
2x 1
x
Điều kiện: x 2, x 1
2
2x 1 x 2 x 2 2 x 2x 1
2 x 2x 1 2 x 2x 1
2
2
2x 1 x 2 x 2 2 x 2x 1
2x 1 2x x 2 4x 2x x 2
3x 6x 3 0
3 x 1 0
x 1
suy ra y =1 ; z =1
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x, y, z) = (1, 1, 1)
M 5x 2xy 2y 14x 10y 1
M 5x 2xy 2y 14x 10y 1
2 2
2M 4y 4xy 20y 10x 28x 2
2M 2y 2 2y x 5 x 5 x 5 10x 28x 2
2M 2y x 5 9x 18x 23
2M 2y x 5 3x 3 32
1
M 2y x 5 3x 3 32 16
2
2y x 5 0 y 2
Bài 4: Chứng minh rằng n
10 18n 28 27, n N
Ta có :
Trang 5Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận 3 (2015-2016)
= 10 1 10 10 1 18n 27
=9 9 1 9 1 9 1 9 1 1 18n 27
=9 9k n 18n 27
=8
1k 27n 27 =27 3k n 1 27
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), các đường cao BI và CK cắt nhau tại H Trên
đoạn BH lấy điểm D sao cho ADC bằng 0
90 Gọi F là giao điểm của BE và CD Chứng minh
AD DF DE
H K
I A
D
E F
Gọi O là giao điểm của AF và DE
Dễ chứng minh được:
2 2
AD AI.AC HTL
AE AK.AB HTL AD AE ADE cân tai A AI.AC AK.AB AIB AKC
Ta có:
0
FDE ADE FDA
FED AED FEA
ADE AED ADE cân tại A
AD AE
FD FE AF là đường trung trực của đoạn thẳng DE
AF DE tại O
O là trung điểm của DE.
AD DF DO DE
ABCACB50 Lấy N là điểm nằm trong tam giác ABC sao
NBC 10 và 0
Trang 6Trang 6 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận 3 (2015-2016)
J K
A
H
Kẻ đường cao AH cắt BN tại O, AK vuông góc với BN tại K, CN cắt AK tại J
BOC
OCH OCN 10
Mà OA OC Nên OJ là đường trung trực của AC OJ là phân giác của AOC
JOC 50 do AOC 100
Nên JON 30 0 JNO góc ngoài BNC OJN cân t ại J K là trung điểm của ON
AON
Vậy tanANB.tanNBC tan80 tan10 0 0 tan80 cot80 0 0 1
Bài 7: Trên cạnh BC của hình vuông ABCD lấy BE BC
3
; trên tia đối của tia CD lấy F sao
2
Gọi I là giao điểm của AE và BF Chứng minh A, B, I, C cùng thuộc một
đường tròn
G
F
I K
H
C
A
D
B
E
Trang 7Trang 7 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận 3 (2015-2016)
AI
CK CE 2
Mà BI = 2HK (Vì HK là đường trung bình của ABI)
Nên CK = 4HK
CH 5 CH 5
Xét GBC và EBA , ta có:
là hình vuông 90
BG BE cm t
A BE CBG
ECI BA E
Xét EI C và EBA , ta có:
2 góc đối đỉnh
90
CEI A EB
EI C EBA EI C EBA ECI BA E cmt
Vậy A, B, I, C cùng thuộc một đường tròn