Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại lần lượt tại M, N.. Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên ?..[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN TOÁN : ĐỀ THI CÁ NHÂN
I- PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tìm số a, b trong sơ đồ sau
Câu 2: Trong hộp có 45 viên bi màu, gồm 20 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh và 10 bi màu vàng Cần lấy ra
ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên bi:
a) Màu đỏ b) Cùng màu
Câu 3: Gí trị của biểu
thức (16166161+161616616161+1616161661616161):1661(16166161+16161 6616161+1616161661616161):1661 là bao nhiêu ?
Câu 4: Gọi a là nghiệm âm của phương trình x2−x−1=0x2−x−1=0 Giá trị của biểu
thức A=√2−a+3√5+8aA=2−a+5+8a3 là bao nhiêu ?
Câu 5: Tìm số nguyên n biết n2−4n+7n2−4n+7 là số chính phương
Câu 6: Tìm nghiệm của phương trình 4x2+6x+1=4√6x+44x2+6x+1=46x+4
Câu 7: Tìm nghiệm của hệ phương
trình {4x2−y=3y2−4xy+2x=−1{4x2−y=3y2−4xy+2x=−1
Câu 8: Cho a1a1 và an+1=annan+1an+1=annan+1 với mọi n nguyên dương Tìm a64a64
Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của P=a+1a+a(a+1)2P=a+1a+a(a+1)2 với a > 0 là bao nhiêu ?
Câu 10: Cho ABC biết độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7 Đường phân giác trong của các góc A và B cắt nhau tại O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại lần lượt tại M,
N Tìm chu vi của MNC
II- PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và ˆBAC=600BAC^=600 Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng tam giác INP đều
b) Giả sử IA là phân giác của ˆNIPNIP^ Tính số đo của ˆBCPBCP^
Câu 12: Viết các số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng Ta thực hiện phép thay thế các số theo quy luật sau: Ở mỗi bước, nếu có hai số a, b nào đó thỏa mãn a−b≥2a−b≥2 thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số a – 1, b + 1 Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên ?
Trang 2Đáp án :
Câu 1 : a=11,b=13
Câu 2: a,28
b,7
Câu 3:3
Câu 4:2
Câu 5:1 hoặc 3
Câu 6:Phương trình có 1 nghiệm :x=√13+1413+14
Câu 2:
a) Cần bốc ít nhất 28 viên bi vì giả sử nếu trong 28 viên bi chỉ có ít hơn hai viên bi đỏ thì tổng số bi xanh và vàng phải từ 26 trở lên, mà tổng số bi xanh là vàng là 25 ( vô lý)
Nếu bốc 27 viên bi thì có khả năng bốc phải hai viên bi đỏ Ví dụ như ta có thể bốc phải 15 viên bi xanh, 10 viên bi vàng và 2 viên bi đỏ
b) Trường hợp này thì dễ hơn Ta chỉ cần chọn 7 viên bi thì theo nguyên lý dirichlet sẽ có ba viên cùng màu Còn giả sử bốc sáu viên thì có thể có hai viên đỏ, hai xanh, hai vàng
Câu 7 : Cộng 22 vế của phương trình cho ta (2x−y)2+2x−y=2(2x−y)2+2x−y=2
Đặt t=2x−yt=2x−y suy ra t=1t=1 hoặc t=−2t=−2
t=1t=1 suy ra 2x=y+12x=y+1 suy ra (x,y)=(1,1),(−12,−2)(x,y)=(1,1),(−12,−2)
t=−2t=−2 suy ra 2x=y−22x=y−2 suy ra (x,y)= (x,y)= nghiệm lẻ quá
Câu 9: 9494
Câu 10: 13
Câu 12 : Nhận thấy tổng các số sau mỗi bước là không đổi và bằng 15 và SnSnlà tổng bình phương các
số sau khi thực hiện ở bước ngiảm xuống
(Do Sn−Sn+1=a2+b2−(a−1)2−(b+1)2≥2Sn−Sn+1=a2+b2−(a−1)2−(b+1)2≥2 với mọi n
Do vậy quá trình quá trình sẽ dừng lại ở bước thứ k, với k là số bước tối đa có thể thực hiện được
Ở bước cuối cùng, còn lại x số bằng p và 5 - x số bằng p + 1với 0≤x≤50≤x≤5
Ta có xp+(5−x)(p+1)=15xp+(5−x)(p+1)=15 nên 5|x5|x, suy ra ở bước sau cùng các số hạng bằng nhau và bằng 3
Do đó Sk=45Sk=45.Ta có S0−Sk≥2k⇒k≤12+22+
+52−452=5S0−Sk≥2k⇒k≤12+22+ +52−452=5
Với k = 5, ta có cách biến đổi như sau: (12345)->(22245)->(22335)->(22344)->(23334)->(33333)